URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла
Id: 165537
 
479 руб.

Развитие понятия интеграла. Изд.2

URSS. 2013. 424 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-03586-6.

 Аннотация

В настоящей монографии рассматривается развитие понятия интеграла от появления начатков интеграционных приемов до формирования понятия интеграла Лебега---Стилтьеса. Изложение тесно связывается с развитием анализа и его приложениями, различные обобщения понятия интеграла представляются как необходимые следствия развития анализа и теории функций.

Книга адресована широкому кругу математиков и историков науки.


 Оглавление

Введение
Глава I. Интеграционные методы в древности и в средние века
 § 1.О соотношении интегрирования и методов измерения
 § 2.Замечания об измерительных процедурах до возникновения инфинитезимальных задач
 § 3.Первый период инфинитезимальных процедур в Древней Греции
 § 4.Математический атомизм Демокрита
 § 5.Метод исчерпывания Евдокса
 § 6.Задачи, решавшиеся методом исчерпывания
 § 7.Интеграционные методы Архимеда
 § 8.Элементы интеграционных приемов у Паппа
 § 9.Квадратуры и кубатуры в средние века
Глава II. Интеграционные методы в XVI--XVII веках
 § 1.Первые исследования о центрах тяжести
 § 2.Интегрирования у Кеплера
 § 3.Интегрирования у Кавальери
 § 4.Вычисление интеграла inta0 xndx при целом п
 § 5.Вычисление интеграла inta0xndx при любом действительном п
 § 6.Некоторые другие результаты
 § 7.Некоторые результаты Грегори и Барроу
Глава III. Создание интегрального исчисления. Ньютон, Лейбниц и их последователи
 § 1.К проблеме математизации естествознания в XVII веке
 § 2.Замечания о развитии алгебры в XVII столетии
 § 3.Понятие функции; бесконечные ряды
 § 4.Дифференцирование
 § 5.Интегрирование у Ньютона и Лейбница
 § 6.Интегрирование у непосредственных продолжателей дела Ньютона и Лейбница
 § 7.Эйлеровский период интегрального исчисления
Глава IV. Интеграл Коши
 § 1.Еще несколько замечаний о математизации естествознания
 § 2.Проблемы обоснования анализа. Понятия функции и предела
 § 3.Обстоятельства, выдвигавшие на передний план понятие определенного интеграла
 § 4.Обнаружение непригодности рассмотрения определенного интеграла как разности значений примитивной в случае функций, принимающих бесконечные значения в промежутке интегрирования
 § 5.Подход к новому способу рассмотрения определенного интеграла
 § 6.Вопросы существования и неизбежность нового подхода к понятию интеграла
 § 7.Интеграл Коши и его свойства
Глава V. Интеграл Римана
 § 1.Определение Римана
 § 2.Необходимость введения R-интеграла
 § 3.Свойства интеграла Римана
 § 4.Условия интегрируемости
 § 5.Другое определение интеграла Римана
 § 6.Связь между дифференцированием и интегрированием в теории интеграла Римана
 § 7.Несобственные интегралы
 § 8.Кратный интеграл у Жордана
Глава VI. Интеграл Лебега и эквивалентные ему определения интеграла
 § 1.Условия возникновения понятия интеграла Лебега
 § 2.Подход Лебега к новому понятию интеграла
 § 3.Некоторые результаты лебеговской диссертации и его книги "Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций"
 § 4.Подход Юнга к обобщению интеграла
 § 5.Первые применения интеграла Лебега
 § 6.Интегрирование по Лебегу как обращение операции дифференцирования
 § 7.Вклад других ученых в разработку теории интеграла Лебега (первое десятилетие текущего века)
 § 8.Функции множества
 § 9.Распространение лебеговской теории интегрирования на функции нескольких переменных. Новый взгляд на неопределенный интеграл
 § 10.Дифференцирование функций множества
 § 11.О других определениях интеграла, эквивалентных лебеговскому
 § 12.Некоторые другие исследования по теории интеграла Лебега
 § 13.Некоторые общие замечания об интеграле Лебега
Глава VII. Интеграл Стилтьеса
 § 1.Проблема моментов; некоторые результаты П. Л. Чебышева и А. А. Маркова по этой проблеме
 § 2.Ранние исследования Стилтьеса, подводившие его к необходимости обобщения понятия интеграла
 § 3."Исследования о непрерывных дробях" Стилтьеса
 § 4.Обобщение понятия интеграла Кёнигом
 § 5.Интеграл Стилтьеса в исследованиях А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и A. M. Ляпунова
 § 6.Интеграл Стилтьеса и линейные функционалы
 § 7.Первая реакция Лебега на новое понятие интеграла
 § 8.Работы об интеграле Стилтьеса в 1910--1914 гг.
 § 9.Первые исследования У.Г.Юнга по теории интеграла Стилтьеса
 § 10.Мемуар Радона "Теория и применения абсолютно аддитивных функций множества"
 § 11.Первые работы относительно дифференцирования функции по функции
 § 12.Несколько работ 1919 г.
 § 13.Интеграл Стилтьеса и обобщенный предел
 § 14.Некоторые другие формы определений интеграла Стилтьеса римановского типа
 § 15.Несколько заключительных замечаний по поводу теории интеграла Стилтьеса
Заключение
Сокращения к списку литературы
Литература
Именной указатель

 Заключение

Тема "Развитие понятия интеграла" необъятна. Не имея возможности продолжить изложение в принятом плане, мы все же хотели бы на заключительных страницах совсем коротко охарактеризовать то, что следовало бы включить в эту книгу, упомянуть о тех существенных преобразованиях и модификациях понятия интеграла, которое оно претерпело в XX в.

Если придерживаться хронологического принципа, то начать нужно, видимо, с интеграла Данжуа Интегрирование по Лебегу не восстанавливало примитивную по ее точной производной, и еще в диссертации Лебег сделал первый шаг к интегралу Данжуа. Он, однако не пошел дальше в этом направлении, о чем сожалел впоследствии. Попытки соединить в интегрировании идеи Лебега и Гарнака в начале века делались неоднократно, и интеграл Лебега -- Гарнака на некоторое время привлек внимание математиков. После появления узкого интеграла Данжуа в 1912 г. эти попытки были забыты. Зато начался нескончаемый поток исследований Данжуа, Н. Н. Лузина, А Я. Хинчина, П. С. Александрова, Лумана, Лебега, А. С. Кованько, Сакса, Риддера, П. И. Романовского, Джеффери, Верблюнского, Кемписты, Г. П. Толстова и многих других по изучению свойств D-интеграла, его обобщениям в разных направлениях, соединению его с идеей стилтьесовско-го интегрирования и т. п. Упомянутые исследования зачастую переплетались с исследованиями по теории интеграла Перрона, и к указанным работам можно добавить работы Бауэра, Хаке, Бёркила, Кеннеди и Полларда, Уорда и т. д.

Рассматривая ранее понятие интеграла, мы не выходили за рамки n-мерного евклидова пространства. Построение в конце XIX в. общей теории множеств и первые шаги в создании функционального анализа на рубеже веков оказали мощное воздействие на всю математику, в том числе и на развитие понятия интеграла. Сам Фреше строил функциональный анализ как прямое обобщение теории функций, как учение о функциях, заданных на абстрактных множествах, т. е. функционалах. Естественно, что при таком подходе потребовалось создать главное орудие изучения функционалов -- интеграл. Основным препятствием для этого было то, что метрические элементы теории интегрирования были прочно привязаны к евклидовскому пространству. Это препятствие Фреше удалось преодолеть только в 1915 г.

Фреше отправлялся от абстрактных множеств, образующих аддитивный класс или сигма-кольцо, вводил понятие счетно-аддитивной функции множества, а затем и понятие интеграла от функционала по аддитивной функции множества. Решающим при этом было понятие измеримости множества относительно рассматриваемого сигма-кольца, что позволило избежать апелляции к свойствам евкли-довских пространств. После того, как определение Фреше интеграла углубил Никодим, и особенно после изложения теории такого интегрирования в замечательной монографии Сакса, интеграл Фреше, называемый иногда интегралом Лебега -- Стилтьеса, интегралом Радона, а часто и просто интегралом Лебега, стал обиходным в математике. Именно с ним связан большой цикл исследований по обобщенной теореме Ньютона -- Лейбница, чаще называемой теоремой Радона -- Никодима, отчасти подытоженный Гейсом и Пауком; как раз этот интеграл алгебраизировал Ка-ратеодори; к нему относятся работы В. М. Дубровского, Г. Я Арешкина, Л. Д. Кудрявцева и Ю. Д. Кащенко, Кафьеро, Л. Я. Лейфмана, И. П Натансона и многих, многих других.

Заметной вехой в развитии понятия интеграла оказался интеграл Вёркила. Если в предшествующих определениях интегральная сумма составлялась из произведений значения функции точки (или грани ее значений) на значение функции множества, то Бёр-кил строил интегральную сумму только из значений функции множества. Его изыскания в какой-то мере предвосхитил То-нелли, а продолжили их Сакс, Кемписты, П. И Романовский, Рингенберг, Хенсток, Кобер, Д. Ф. Проценко и др.

Работа А. Н. Колмогорова "Исследования о понятии интеграла" выделяется широким синтезом и обобщением абстрактного подхода Фреше, идей Вёркила о характере интегральных сумм, концепции обобщенного предела, представления о многозначных функциях множества, доставившего столько хлопот Р. Юнг. Интегралы А. Н. Колмогорова охватывают все предшествующие интегралы как пределы сумм и изучались затем многими: Гетчелом, Маедой, В. И. Гливенко, Гильдебрандтом, Паньи, Л. Я. Лейфманом, Д. Ф. Проценко и др. Небезынтересно, быть может, упомянуть, что интеграл А. Н. Колмогорова нашел широкое применение в книге Детуша, посвященной вопросам математической физики, а Маеда пользовался им для иного, нежели у Дирака и И. Неймана, математического обоснования квантовой механики.

Наряду с упомянутыми типами интеграционных процессов достаточно широкое распространение получили интеграл Хеллингера, изучавшийся также Риссом, Ганом, Радоном, Гобсоном, Н. М. Гюнтером и др.; интеграл Даниеля, схема построения которого оказалась удобной при рассмотрении интегрирования в функциональных пространствах; А-интеграл, восходящий к Титчмаршу, изученный Ю. С. Очаном и получивший важные применения в теории тригонометрических рядов в работах П. Л. Ульянова и его учеников, которые, кстати, существенно обогатили саму теорию А-интегрирования.

Кроме того, имеются многочисленные более или менее изолированные пока определения интегралов, построенные для решения тех или иных вопросов, не решающихся при помощи упомянутых интегралов. Взаимоотношения этих определений, их связи с названными определениями представляют собой довольно сложную математическую задачу, и решению ее посвящены многие работы, примером которых являются работы В. А Скворцова. Более того, построены целые шкалы интегралов от римановского до лебеговского и далее.

Сказанное выше относилось к интегрированию функций, значениями которых являются действительные числа Введение в обиход математиков векторозначных функций потребовало создания теорий интегрирования последних, и в конце 20-х годов начался процесс построения различных типов интегралов для функций, заданных на абстрактных пространствах и со значениями в абстрактных же пространствах различной структуры и различной степени общности.


 Об авторе

Медведев Федор Андреевич
Один из крупнейших отечественных историков математики второй половины XX века. Окончил Калужский педагогический институт (1952). В 1955 г. поступил в аспирантуру Института истории естествознания и техники АН СССР, в котором работал до конца жизни. Его основные труды посвящены истории теории множеств и теории функций действительного переменного. В их числе монографии: "Развитие теории множеств в XIX веке" (М., 1965), "Развитие понятия интеграла" (М., 1974), "Очерки истории теории функций действительного переменного" (М., 1975), "Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX–XX вв." (М., 1976), "Ранняя история аксиомы выбора" (М., 1982), переизданные в URSS, а также книга на английском языке "Scenes from the history of real functions" (Basel, 1991).
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце