|
Оглавление
 Предисловие редактора Предисловие Глава I. Основы теории специальных функций § 1. Дифференциальное уравнение для специальных функций § 2. Полиномы гипергеометрического типа § 3. Интегральные представления для функций гипергеометрического типа § 4. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования Глава II. Классические ортогональные полиномы § 5. Определение и основные свойства 1. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита. 2. Производные полиномов гипергеометрического типа. 3. Ортогональность полиномов гипергеометрического типа § 6. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов 1. Разложение произвольного полинома по ортогональным полиномам. 2. Единственность системы ортогональных полиномов при заданном весе. 3. Рекуррентные соотношения. 4. Формула Дарбу — Кристоффеля. 5. Свойства нулей. 6. Свойства четности полиномов, вытекающие из четности весовой функции § 7. Основные характеристики классических ортогональных полиномов 1. Вычисление квадрата нормы и коэффициентов при старших степенях. 2. Частные значения. 3. Качественное поведение и некоторые оценки для полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита. 4. Поведение второго решения дифференциального уравнения для классических ортогональных полиномов § 8. Производящие функции 1. Вывод формулы для производящих функций 2. Производящие функции для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита. Функции второго рода
1. Интегральное представление. 2. Асимптотическое представление. 3. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования. 4. Некоторые специальные функции, родственные функции Qo (z)
Классические ортогональные полиномы дискретной
переменной
1. Разностный аналог уравнения гипергеометрического типа. 2. Формула Родрига. 3. Свойство ортогональности. 4. Полиномы Хана, Чебышева, Мейкснера, Кравчука и Шарлье. 5. Основные характеристики. 6. Связь с полиномами Якоби, Лагерра и Эрмита
Глава III. Цилиндрические функции
§ 11. Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение 1. Решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах. 2. Определение функций Бесселя первого рода и функций Ханкеля
§ 12. Основные свойства цилиндрических функций. 1. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования. 2. Аналитическое продолжение и асимптотические представления 3. Функциональные соотношения. 4. Разложения в степенные ряды
§ 13. Интегральное представление Зоммерфельда. Теоремы
сложения
1. Интегральное представление Зоммерфельда для цилиндрических функций. 2. Интегральные представления Зоммерфельда для функций Ханкеля и функций Бесселя первого рода. 3. Теоремы сложения (106)
§ 14. Специальные классы цилиндрических функций.. 1. Функции Бесселя второго рода. 2. Функции Бесселя полуцелого порядка. Полиномы Бесселя. 3. Функции Бесселя мнимого аргумента
§ 15*. Квазиклассическое приближение
1. Квазиклассическое приближение для решений уравнений второго порядка. 2. Асимптотические представления для классических ортогональных полиномов при больших значениях n. 3. Квазиклассическое приближение для уравнений с особенностью. Квазиклассика для центрально-симметричного поля. 4. Асимптотика цилиндрических функций при больших значениях порядка. Формулы Лангера
§ 9*-
Глава IV. Гипергеометрические функции
§ 16. Уравнение гипергеометрического типа и его решение 1. Приведение к каноническому виду. 2. Построение частных решений. 3. Аналитическое продолжение
§ 17. Основные свойства функций гипергеометрического типа
1. Рекуррентные соотношения. 2. Разложения в степенные ряды. 3. Функциональные соотношения и асимптотические представления
4. Особые случаи
§ 18. Представление различных функций через функции
гипергеометрического типа
1. Некоторые элементарные функции. 2. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита. 3. Функции второго рода. 4. Цилиндрические функции
5. Эллиптические интегралы. 6. Функции Уит-текера
§ 19. Определенные интегралы, содержащие функции гипергеометрического типа
Глава V. Решение некоторых задач квантовой механики и математической физики
§ 20. Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных
1. Общая схема метода разделения переменных
2. Применение криволинейных систем координат
§ 21. Задачи квантовой механики, приводящие к классическим ортогональным полиномам
1. Постановка задачи. 2. Классические ортогональные полиномы как собственные функции некоторых задач на собственные значения. 3. Замкнутость системы классических ортогональных полиномов
§ 22. Разложение функций в ряды по классическим ортогональным полиномам
1. Теорема разложения. 2. Теорема сложения Гегенбауэра. 3. Разложение сферической и плоской волны по полиномам Лежандра
§ 23. Сферические функции
1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. 2. Свойства сферических функций. 3. Связь однородных гармонических полиномов и сферических функций. 4. Обобщенные сферические функции. 5. Теорема сложения
§ 24. Решение некоторых основных задач квантовой механики
1 Решение уравнения Шредингера для центрально-симметричного поля. 2. Решение уравнения Шредингера для кулоновского поля. 3. Решение уравнений Клейна — Гордона и Дирака для кулоновского поля
§ 25. Краевые задачи математической физики
1 Решение краевых задач методом разделения переменных. 2. Задача Штурма—Лиувилля. Основные свойства собственных значении и собственных функций. 3. Оспилляционныесвойства решении задачи Штурма—Лиувилля. 4. Разложение функций по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля. 5. Краевые задачи для уравнения Бесселя. 6. Разложения Дини и Фурье —Бесселя. Интеграл Фурье — Бесселя
Дополнение
A. Гамма-функция
Б. Аналитические свойства и асимптотические представления интеграла Лапласа
B. Квадратурные формулы типа Гаусса
Основные формулы
Литература
Указатель основных обозначений
Предметный указатель
|