Показать ещё...
Дифференциальное уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение – это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперед заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Понятно, что дифференциальные модели – это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей. Мы будем рассматривать лишь модели, описываемые так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, одной из характерных особенностей которых является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной. В процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей (да и не только их) важное, а подчас и первенствующее значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д. Конечно, на практике приходится иметь дело и с такими случаями, когда неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальное уравнение, и поэтому необходимо прибегать к различным предположениям (гипотезам), касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров – переменных. К дифференциальному уравнению тогда приводит предельный переход. При этом, если окажется, что результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуются с опытными данными, то это и будет означать, что высказанная гипотеза правильно отражает истинное положение вещей. Работая над книгой, автор ставил перед собой две цели. Первая из них заключалась в том, чтобы на примерах (в основном содержательных, а не чисто иллюстративных) из различных областей знаний показать возможности использования обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе познания окружающей нас действительности. Конечно, рассмотренные примеры далеко не охватывают тот круг вопросов, которые могут быть решены с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Но, во-первых, "никто не обнимет необъятного", а во-вторых, уже и приведенные примеры дают представление о той роли, которую играют обыкновенные дифференциальные уравнения при решении практических задач. Вторая цель – познакомить читателя с простейшими приемами и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, характерными для качественной теории дифференциальных уравнений. Дело в том, что лишь в редких случаях удается решить дифференциальное уравнение в так называемой замкнутой форме, т.е. представить решение в виде аналитической формулы, использующей конечное число простейших операций над элементарными функциями. И это тогда, когда известно, что дифференциальное уравнение решение имеет! Другими словами, оказывается, что решения дифференциальных уравнений в своем многообразии таковы, что для их представления в замкнутой форме конечного числа аналитических операций недостаточно. Такая ситуация схожа с имеющей место в теории алгебраических уравнений: в случае алгебраических уравнений первой и второй степеней их решения могут быть легко получены в радикалах; если обратиться к уравнениям третьей и четвертой степеней, то решения в радикалах еще могут быть получены, но формулы становятся весьма сложными; что же касается алгебраического уравнения общего вида степени выше четвертой, то решение такого уравнения в радикалах, вообще говоря, уже не может быть получено. Возвращаясь к дифференциальным уравнениям, отметим, что если для представления их решений пользоваться бесконечными рядами того или иного вида, то удается решить значительно больше уравнений, чем в замкнутой форме. Но, к сожалению, часто бывает так, что наиболее существенные и интересные свойства решений никак нельзя выявить из вида полученных рядов. Более того, даже если удается решить дифференциальное уравнение и в замкнутой форме, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать, ибо полученная зависимость между различными параметрами часто оказывается весьма и весьма сложной. Таким образом, становится очевидной необходимость в приемах и методах, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Так вот, такие приемы и методы существуют, и они и составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которой лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. Частичное обсуждение роли теорем существования и единственности решений проводится в параграфе "Зачем инженеру знать теоремы существования и единственности?". Что же касается качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений вообще, то, начиная с работ А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова (конец XIX-го века), в которых были заложены ее основы, она интенсивно развивается и ее методы широко используются в процессе познания окружающей нас действительности. Автор благодарен профессорам Ю.С.Богданову и М.В.Федорюку за полезные советы и замечания, высказанные в процессе работы над книгой. В.В.Амелькин
Амелькин Владимир Васильевич Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета. Специалист в области теории дифференциальных уравнений, научные интересы которого связаны с такими интенсивно развивающимися в настоящее время направлениями, как качественная теория дифференциальных уравнений, теория колебаний, теория устойчивости движения. Автор и соавтор более 200 печатных работ, среди которых 20 книг — монографий, учебных и справочных пособий, научно-популярных изданий.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |