URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред
Id: 162790
 
813 руб.

Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред

URSS. 2012. 416 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-396-00459-7.

 Аннотация

В настоящей монографии на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики исследуется разрешимость в слабом смысле начально-краевых задач для класса вязкоупругих сред типа Кельвина---Фойгта. Наряду с различными результатами о разрешимости рассматриваемых задач, для одной из таких моделей получены результаты о существовании минимального траекторного и глобального аттракторов и существовании решения задачи оптимального управления с обратной связью, минимизирующего заданный функционал качества. Также для удобства читателя приведены используемые в книге понятия степени Лере---Шаудера вполне непрерывных векторных полей, степени многозначных вполне непрерывных векторных полей с компактными выпуклыми значениями и теоремы о компактности вложения.


 Оглавление

 Введение
1.  Математические модели вязкоупругих сред
 1.1. Задача описания движения жидкости
 1.2. Реология наука о течении жидкости
 1.3. Метод механистических моделей
 1.4. Модель тела Кельвина Фойгта
  1.4.1. Структурная модель тела Кельвина Фойгта
  1.4.2. Вывод реологического соотношения для модели тела Кельвина Фойгта
  1.4.3. Свойства материалов, описываемых реологическим соотношением (1.4.2)
 1.5. Обобщенная модель тела Кельвина Фойгта
  1.5.1. Вывод реологического соотношения для обобщенной модели Кельвина Фойгта, состоящей из двух элементов
  1.5.2. Реологическое соотношение для обобщенной модели тела Кельвина Фойгта порядка L, (L 1 ,2,...)
 1.6. Модель движения жидкости Фойгта
 1.7. Обобщенная модель движения жидкости Кельвина Фойгта порядка L, (L = 1, 2,...)
 1.8. Математическая модель слабоконцентрированных водных полимерных растворов
 1.9. Модель жидкости Ривлина Эриксена второго порядка
  1.9.1. Принцип объективности поведения материала
2.  Две постановки начально-краевых задач для обобщенной модели движения жидкости Кельвина Фойгта. Существование и единственность слабого решения в каждой из постановок
 2.1. Об обобщенной модели движения жидкости Кельвина-- Фойгта
 2.2. Необходимые обозначения
 2.3. Вспомогательные утверждения
  2.3.1. Слабая и *-слабая сходимость
  2.3.2. Определение и свойства преобразования Лапласа
 2.4. Две постановки начально-краевых задач и формулировка основных результатов
  2.4.1. Первая постановка
  2.4.2. Вторая постановка
 2.5. Вспомогательная задача
  2.5.1. Постановка задачи о слабых решениях и формулировка основного результата
  2.5.2. Операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях задачи (2.5.1) (2.5.4) и исследование свойств операторов из этих уравнений
  2.5.3. Априорная оценка
  2.5.4. Доказательство теоремы 2.5.
  2.5.5. Доказательство теоремы 2.5.
 2.6. Доказательство теоремы 2.4.
3.  Существование и единственность слабого решения начально-краевой задачи для модели движения жидкости Фойгта в области с зависящей от времени границей
 3.1. О начально-краевых задачах в областях с зависящей от времени границей
 3.2. Постановка задачи о слабых решениях и формулировка основного результата
  3.2.1. Функциональные пространства и вспомогательные утверждения
  3.2.2. Определение слабого решения и основной результат
 3.3. Аппроксимационная задача
 3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи и свойства операторов
 3.5. Априорная оценка для слабых решений аппроксимационной задачи
 3.6. Теорема существования слаб]ого решения аппроксимационной задачи
 3.7. Предельный переход в аппроксимационной задаче (3.3.1) (3.3.4) при ε -->0
 3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ -->0
  3.8.1. Априорная оценка для решений задачи (3.7.13), (3.7.14)
  3.8.2. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ-->0
 3.9. Единственность слабого решения
4.  Слабая разрешимость начально-краевой задачи для математической модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов
 4.1. О модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров
 4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения
 4.3. Постановка задачи о слабых решениях начально-краевой задачи (4.1.2) (4.1.5)
 4.4. Аппроксимационная задача
  4.4.1. Операторная трактовка аппроксимационной задачи
  4.4.2. Свойства операторов из операторных уравнений (4.4.3) и (4.4.4)
  4.4.3. Априорная оценка
  4.4.4. Теорема существования решения аппроксимационной задачи
 4.5. Доказательство теоремы 4.3.
5.  Аттракторы математической модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров
 5.1. Постановка задачи
 5.2. Необходимые определения и утверждения из теории аттракторов
  5.2.1. Некоторые пространства функций, определённых на R+ и принимающих значения в банаховом пространстве
  5.2.2. Аттракторы неинвариантного пространства траекторий
 5.3. Вспомогательные утверждения и функциональные пространства
 5.4. Слабая постановка задачи и аппроксимация
 5.5. Свойства операторов
 5.6. Априорные оценки
 5.7. Существование решений
 5.8. Пространство траекторий и аттракторы
6.  Оптимальное управление в задаче с обратной связью для математической модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов
 6.1. О задачах оптимального управления
 6.2. Функциональные пространства
 6.3. Постановка задачи и основной результат
 6.4. Аппроксимационная задача и её операторная трактовка
  6.4.1. Свойства операторов из операторного включения (6.4.3)
 6.5. Существование решения задачи 6.4.
  6.5.1. Априорные оценки
  6.5.2. Теорема существования решения задачи 6.4.
 6.6. Доказательство теоремы 6.3.
 6.7. Доказательство теоремы 6.3.
7.  Слабая разрешимость начально-краевой задачи для математической модели движения жидкости второго порядка
 7.1. Модель движения жидкости второго порядка
 7.2. Постановка задачи
 7.3. Аппроксимационная задача
 7.4. Функциональные пространства и вспомогательные факты
  7.4.1. Неравенство Бихари
  7.4.2. Сведения из теории линейных фредгольмовых отображений
 7.5. Определения слабых решений поставленных начально-краевых задач
 7.6. Операторные уравнения
 7.7. Исследование свойств операторов из операторных уравнений (7.6.1) и (7.6.2)
 7.8. Априорные оценки решений
 7.9. Разрешимость аппроксимационной задачи
 7.10. Теорема существования и единственности слабого решения задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) при малых данных
А.  Теория топологической степени Лере Шаудера
 А. 1. Основные факты теории степени отображений конечномерных пространств
 А. 2. Вполне непрерывные отображения нормированных пространств
 А. 3. Определение степени Лере Шаудера вполне непрерывных векторных полей
 А. 4. Корректность определения степени вполне непрерывных векторных полей
 А. 5. Свойства степени вполне непрерывных векторных полей
 А. 6. Различные варианты теоремы Шаудера
 А. 7. Признаки гомотопии вполне непрерывных векторных полей
В.  Теория степени вполне непрерывных многозначных отображений с компактными выпуклыми значениями
 В. 1. Сведения из теории многозначных отображений
 В. 2. Определение и свойства степени для вполне непрерывных мультиотображений
  В. 2.1. Конструкция топологической степени для вполне непрерывных мультиполей
  В. 2.2. Свойства топологической степени вполне непрерывных мультиполей
С.  Теоремы о компактности вложения
 С. 1. Классические критерии компактности
 С. 2. Компактность в Lp(0, Т; Е)
 С. 3. Компактность множества функций со значениями "промежуточном" пространстве
 С. 4. Теорема Обена Дубинского Симона
 С. 5. Теорема о "частичной" компактности
 Литература

 Введение

Изучение движения жидкости с давних времен является источником большого числа задач в математике. При попытках изучения даже самых простых математических моделей движения жидкости возникает большое число проблем, многие из которых не решены и по сей день.

Исторически первой научной работой в этом направлении видимо является трактат Архимеда "О плавающих телах", в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Коши, Навье, Стокса, СенВенана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление и плотность жидкости как функции от времени и координат точки пространства.

В течение последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые и краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики системы уравнений Эйлера и системы уравнений Навье Стокса. Тем не менее, вот уже на протяжении более ста лет, основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье Стокса при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для системы уравнений Навье Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Данный подход изложен, например, в работе Ж.Лере [117], монографиях О.А.Ладыженской [40] и Р.Темама [71] и имеющейся в них библиографии. В частности в этих работах описаны различные функциональные методы решения начально-краевых задач гидродинамики. Для всех этих методов характерен переход к обобщенной постановке задачи, при которой исходное уравнение заменяется уравнением в некотором пространстве функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным решением. Отметим, что любое классическое решение всегда является обобщенным решением, обратное же удается установить не всегда. Переход от классической постановки задачи к обобщенной обычно обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность обобщенного решения доказывается намного проще. Например, для системы уравнений Навье Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

Основу функциональных методов составляют также априорные оценки решений. Данные оценки зачастую доказываются для точных решений и тогда существование решения показывается с помощью различных теорем о неподвижной точке или теории топологической степени. Однако, оценка не всегда доказывается для самих решений, скажем в широко распространенных методе Галёркина Фаэдо и методе конечных разностей априорная оценка получается для галеркинских или соответственно конечно-разностных приближений, а после уже показывается, что эти приближения сходятся к решению исходной задачи.

В последнее время получил развитие ещё один метод исследования, а именно аппроксимационно-топологический подход к решению такого рода задач [24], [148]. В этом случае переходят от исходной начально-краевой задачи к эквивалентным операторным уравнениям в естественных для данной задачи пространствах. При этом, если операторы в полученных уравнениях обладают достаточно хорошими свойствами, то разрешимость этих операторных уравнений доказывается на основе априорных оценок решений при помощи теории топологической степени (см., например, [73], [74]). Однако, для более сложных задач оказывается, что операторы из полученных уравнений не обладают необходимыми свойствами для прямого использования какой-либо теории разрешимости уравнений. При аппроксимационно-топологическом подходе рассматривают некоторые аппроксимационные уравнения в более гладких функциональных пространствах и обладающие в этих пространствах более лучшими свойствами чем исходные. Данные уравнения обычно получаются из исходных добавлением членов высшего порядка с малым параметром (см., например, [28], [148]) или сглаживанием нелинейных членов (см., например, [24], [98], [146], [147]) или каким-нибудь другим способом. После этого для аппроксимационных уравнений при помощи теории топологической степени доказывается существование решений во введенных более гладких функциональных пространствах и затем на основе априорных оценок этих решений в естественных для исходной задачи пространствах делается предельный переход, то есть показывается, что решения аппроксимационных уравнений сходятся в некотором смысле к решению исходных уравнений в более широком пространстве. Отметим, что аппроксимационные уравнения обладают как правило более естественными свойствами непрерывной зависимости решения от правой части и начального условия, то есть при малых изменениях начального условия и правой части уравнения мы получаем малое изменение множества решений в следующем смысле: для любой окрестности U множества решений аппроксимационного уравнения существует окрестность V правых частей и начальных условий такая, что множество решений аппроксимационных уравнений с правыми частями и начальными условиями из V содержится в U. Это свойство уравнений (см. подробнее в [22]) называется свойством корректной разрешимости уравнений и в каком то смысле является аналогом для нелинейных уравнений свойства непрерывной зависимости решений от правых частей и начальных данных. Наличие этого свойства позволяет применять для уравнений различные методы нахождения приближённых решений и исследовать их сходимость к решению этого уравнения. K сожалению, не удается установить свойство корректной разрешимости, сформулированное выше, для большинства эволюционных задач гидродинамики. По-видимому эти уравнения (в том числе и порожденные системой Навье Стокса в трёхмерном случае) не обладают свойством корректной разрешимости.

Отметим здесь, что другие подходы к исследованию разрешимости начально-краевых задач гидродинамики (метод Галёркина Фаэдо, метод теории полугрупп, итерационные методы), как правило, основываются на хороших свойствах операторов (положительная определенность, самосопряженность), определяемых линейной частью уравнения, что бывает не всегда и зависит от начальных условий. При аппроксимационно-топологическом подходе существуют более широкие возможности для исследования задач с различными краевыми условиями. В частности, этот подход позволил исследовать начально-краевые задачи с условием проскальзывания на границе без выбрасывания конвективных членов уравнений (см. [112]).

Монография состоит из введения, семи глав, трёх приложений и списка литературы.

В первой главе излагаются основные характеристики движения жидкости и описываются исследуемые математические модели.

Во второй главе предлагаются две постановки начально-краевых задач для обобщенной модели движения жидкости Кельвина Фойгта произвольного порядка L = 1, 2, В каждой из предложенных постановок доказывается существование и единственность слабого решения.

В третьей главе исследуется начально-краевая задача для модели движения жидкости Фойгта в области с зависящей от времени границей. Доказывается теорема существования и единственности слабого решения данной задачи.

В четвёртой главе изучается начально-краевая задача для модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Получена теорема существования слабого решения изучаемой задачи.

В пятой главе доказывается существование минимального траекторного и глобального аттракторов для начально-краевой задачи для модели движения слабо концентрированных водных полимерных растворов.

В шестой главе рассматривается задача оптимального управления с обратной связью для математической модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Доказывается существование оптимального решения, дающего минимум заданному ограниченному и полунепрерывному снизу функционалу качества.

В седьмой главе исследуется начально-краевая задача для модели движения жидкости Ривлина Эриксена второго порядка. Доказана теорема существования и единственности слабого решения при условии малости на данные задачи.

В приложении А приведена конструкция степени Лере Шаудера для вполне непрерывных векторных полей и некоторые свойства этой степени.

В приложении В излагается конструкция топологической степени для вполне непрерывных многозначных векторных полей с компактными выпуклыми значениями.

В приложении С приведены результаты Симона [137] о компактности вложения пространств, часто используемые при исследовании задач гидродинамики.

Факты, изложенные в приложениях, используются на протяжении всего изложения и приведены для удобства читателя.

При написании настоящей работы мы знакомили с отдельными главами наших коллег и учеников. Хотелось бы выразить особую признательность профессору Орлову Владимиру Петровичу, прочитавшему рукопись книги и сделавшему ряд полезных замечаний.


 Об авторах

Виктор Григорьевич ЗВЯГИН

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и топологических методов анализа математического факультета Воронежского государственного университета, директор НИИ математики Воронежского государственного университета, Соровский профессор.

Михаил Вячеславович ТУРБИН

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и топологических методов анализа математического факультета Воронежского государственного университета, научный сотрудник НИИ математики Воронежского государственного университета.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце