Опаленов Ю.В. Интегральная геометрия на многообразиях переменной кривизны:
Финитное преобразование Радона

Оглавление

Предисловие автора

Настоящая книга знакомит читателя с некоторыми особенностями финитного радоновского представления на неоднородных многообразиях волнового происхождения: акустических, гидроакустических, оптических, радиочастотных и других физических полях. Предпосылками этой задачи послужили два обстоятельства. С одной стороны, стремление распространить радоновский математический аппарат на импульсные волновые процессы, не укладывающиеся в рамки лучевой томографической трактовки, а с другой – отсутствие систематического изложения радоновского представления на римановых многообразиях переменной кривизны. Физической основой задачи послужила сферическая форма синфазных поверхностей, образованных равноудаленными от источника излучения отражающими точками, и коническая форма поверхностей равных доплеровских частот обратно рассеянного поля, излученного движущимся источником. Сферические импульсные объемы обратно рассеянного поля названы изодалями, а конические поверхности слоев, имеющих общую вершину, расположенную в излучающей точке, и ось, направленную вдоль вектора скорости движения источника, названы изодопами. При облучении неоднородной шероховатой поверхности, расположенной в прозрачной для излучаемого поля среде, изодали принимают форму дуг концентрических окружностей, а изодопы в зависимости от направления вектора скорости могут принимать форму гиперболических или эллиптических дуг. Изодали и изодопы входят в состав множества геодезических многообразий.

Все известные модели радоновских представлений в своей основе опираются на многообразия конгруэнтных слоев, которые обладают естественной однородностью, обусловленной принципиальной неподвижностью порождающей точки, удаленной в бесконечность. Геодезические многообразия рудиментарно связаны с вектором ракурса ξ, имеющим координаты источника излучения, и поэтому модуль его всегда конечен. Он определяет парциальную структуру слоев, которая не может быть изменена при замене системы координат. Принципиальная неподвижность вектора ракурса требует формализации на геодезических многообразиях специфического правила перехода от декартовой системы координат к сферической. Книга не затрагивает доказательства возможности определения преобразования Радона на многообразиях переменной кривизны. В основе ее лежит решение задачи формализации радоновского представления на неоднородных многообразиях.

Чтобы вложить неоднородное геодезическое многообразие в однородное пространство, достаточно формализовать движение на неоднородных слоях, которое оставляло бы вектор ракурса неподвижным, т.е. задать транзитивную группу изотропии T_ξ, которая обращает неоднородное многообразие в однородное пространство. Свойство изотропии группы T_ξ обусловлено физической невозможностью изменить положение источника излучения в пространстве с помощью математических операций. Такое требование не возникает в абстрактных моделях радоновского представления, не ориентированных на волновую физическую реализацию процесса структурирования зондируемого пространства. По этой причине абстрактные модели либо не имеют физического волнового приложения, либо возможности их применения имеют параметрические ограничения. Например, преобразование Радона по многообразию плоскостей в евклидовом пространстве применимо для импульсных волновых процессов лишь в областях пространства, в пределах которых сферические слои можно заменить плоскостями (теоретически в единственной точке). А преобразования, заданные в пространствах, представленных единственной римановой поверхностью, как например, преобразование Минковского–Функа (сфера) или орисферические преобразования в пространствах Лобачевского (гиперболоид) [14, 17], физического волнового аналога не имеют. В терминологии псевдоевклидовых пространств с сигнатурой (1,3) и гиперболической метрикой рассматриваемые в книге геодезические расслоения представляют собой многообразия абсолюта специальных реализаций пространств Лобачевского.

В книге обсуждаются некоторые реализации группы изотропии, связанной с формализацией финитного преобразования Фурье по геодезическим слоям импульсных объемов обратно рассеянных полей, описываемых волновым уравнением. Показана радоновская сущность регистрируемого отраженного сигнала. Формализованный топологический изоморфизм геодезических многообразий и евклидовых плоскостей позволил установить естественный физически реализуемый порядок в последовательности выполняемых математических операций. Например, сферическое усреднение не может быть выполнено до завершения всех ракурсных измерений, а парциальная обратная проекция может и должна быть вычислена по результату каждого зондирования сразу после регистрации для всей зондируемой области. Эти особенности заложены в алгоритмы реконструкции обратной проекции, приведенные в книге. Все алгоритмы реализованы в форме программ на языке высокого уровня. Результаты тестирования иллюстрированы слайдами.

Некоторые формулы даны для произвольной размерности пространства, в то время как физический смысл имеет только трехмерный случай. Часто используемый термин "двумерное зондирование" вовсе не является попыткой распространить принцип Гюйгенса–Кирхгофа на четно-мерные пространства. Здесь речь идет о зондировании трехмерного пространства и предполагается, что среда распространения излучаемого поля прозрачна, а рассеивающими свойствами обладает только некая шероховатая поверхность, расположенная на пути волнового фронта. Поэтому двумерную модель следует рассматривать не как новый способ плоского зондирования, а как решение трехмерной задачи при упрощающих обстоятельствах. Именно в таком смысле используются термины "двумерное пространство" и "двумерное зондирование".

Основные положения, изложенные в книге, опубликованы в научных журналах. В процессе работы получены новые результаты и разработан пакет программ WinFRT. Программа дает возможность обрабатывать реальные локационные сигналы, записанные в цифровой форме в текстовом файле. Компьютерный пакет программ может послужить удобным инструментом для обучения, а также для научных исследований и разработок аппаратных средств радоновской фильтрации.

Изложение материала книги не претендует на математическую строгость и соответствует стилю, принятому в технике, физике, технической электродинамике и прикладной математике.

Книга состоит из трех частей и приложения. Первая часть представляет собой теоретическое введение. В ней показана связь топологии импульсных объемов зондирующего поля и регистрируемого сигнала с волновым уравнением и дано определение радоновского представления на геодезических многообразиях. На базе характеристической функции шаровой области приведена формула Каталана, позволяющая вычислять преобразование Радона любой радиальной функции. Определены прямое и обратное преобразование Фурье по геодезическим слоям, дилатация изотропии, разделяющая движение и обращающая неоднородное геодезическое многообразие слоев в однородное пространство. Дана реализация топологического изоморфизма геометрических структур. Введены понятия векторной и матричной парциальной обратной проекции, обсуждается проблема помехоустойчивости и потенциальной точности (неопределенности).

Финитная модель структурирования зондируемого пространства слоями концентрических сферических изодалей обсуждается во второй части. Здесь рассматриваются задачи реконструкции обратной проекции, интерполяции и экстраполяции проекционных данных. На базе представления комплексной единицы суммой ряда Фурье–Чебышева вводятся определения ракурсных и радиальных обобщенных T – моментов. Показана связь U – моментов с представлением производной функции. Все основные алгоритмы сопровождаются слайдами результатов тестирования на образцах с различной текстурой.

В третьей части дается определение финитного радоновского представления на многообразии соосных конических поверхностей, имеющих общую движущуюся вершину, находящуюся в точке расположения источника излучения. Предполагается, что параметры движения и частота зондирующего поля выбраны так, что за время регистрации отраженного сигнала перемещение источника много меньше требуемой шаровой разрешающей способности. Приведены конические аналоги сферических алгоритмов второй части и результаты тестирования их в двумерном случае. Получены результаты совместного использования сферических и конических алгоритмов синтеза по неполным проекционным данным.

В четвертой части обсуждается тригонометрическая интерполяция радоновских функций на базе условий Кавальери для чебышевских моментов.

В приложении даны способы вычисления сферических преобразований Радона, определены псевдомоменты и даны примеры интерполяции на их основе, приведены графики параметрических зависимостей качества синтеза обратных проекций.

Книга рассчитана на научных работников и специалистов в области прикладной радиофизики, а также может представлять интерес для аспирантов и студентов.