URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  

Математические модели и дифференциальные уравнения

1982. 272 с. Мягкая обложка.
Обращаем Ваше внимание, что книги с пометкой "Предварительный заказ!" невозможно купить сразу. Если такие книги содержатся в Вашем заказе, их цена и стоимость доставки не учитываются в общей стоимости заказа. В течение 1-3 дней по электронной почте или СМС мы уточним наличие этих книг или отсутствие возможности их приобретения и сообщим окончательную стоимость заказа.

 Аннотация

Настоящая книга популярно знакомит с возможностями использования обыкновенных дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов. Приемы составления дифференциальных уравнений, а также некоторые методы их качественного исследования иллюстрируются задачами, возникающими в различных областях знаний.

Для школьников старших классов, преподавателей, студентов, для специалистов нематематических профессий, использующих математику в своей работе.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Построение дифференциальных моделей и их решений
 1.1.Чей кофе более горячий?
 1.2.Стационарный тепловой поток
 1.3.Случай в заповеднике
 1.4.Истечение жидкости из сосудов. Водяные часы
 1.5.Эффективность рекламы
 1.6.Спрос и предложение
 1.7.Химические реакции
 1.8.Дифференциальные модели в экологии
 1.9.Одна задача математической теории эпидемий
 1.10.Кривая погони
 1.11.Модели боевых действий
 1.12.Почему маятниковые часы не являются точными?
 1.13.Циклоидальные часы
 1.14.Задача о брахистохроне
 1.15.Среднее арифметическое, среднее геометрическое и дифференциальное уравнение
 1.16.О полете тела, брошенного под углом к горизонту
 1.17.Невесомость
 1.18.Законы Кеплера движения планет
 1.19.Прогиб балок
 1.20.Транспортировка леса
Глава 2. Качественные методы исследования дифференциальных моделей
 2.1.Кривые с постоянным направлением магнитной стрелки
 2.2.Зачем инженеру знать теоремы существования и единственности?
 2.6.Динамическая интерпретация дифференциальных уравнений второго порядка
 2.4.Консервативные системы в механике
 2.5.Устойчивость точек равновесия и периодических движений
 2.6.Энергетические функции
 2.7.Простые состояния равновесия
 2.8.Движение тела единичной массы под действием линейных пружин в среде с линейным трением
 2.9.Адиабатический поток идеального газа в канале переменного диаметра
 2.10.Точки равновесия высшего порядка
 2.11.Преобразование обратными радиусами и однородные координаты
 2.12.Поток идеального газа во вращающемся канале постоянного диаметра
 2.13.Изолированные замкнутые траектории
 2.14.Периодические режимы в электрических цепях
 2.15.Кривые без контакта
 2.16.Топографическая система кривых. Контактная кривая
 2.17.Дивергенция векторного поля и предельные циклы
 2.18.Бифуркация особых точек динамической системы
 2.19.Бифуркация рождения особых точек и предельных циклов
Предметный указатель
Литература

 Предисловие

Дифференциальное уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение -- это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперед заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса.

Понятно, что дифференциальные модели -- это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей. Мы будем рассматривать лишь модели, описываемые так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, одной из характерных особенностей которых является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной.

В процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей (да и не только их) важное, а подчас и первенствующее значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей -- законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций -- закон действия масс и т.д.

Конечно, на практике приходится иметь дело и с такими случаями, когда неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальное уравнение, и поэтому необходимо прибегать к различным предположениям (гипотезам), касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров -- переменных. К дифференциальному уравнению тогда приводит предельный переход. При этом, если окажется, что результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуются с опытными данными, то это и будет означать, что высказанная гипотеза правильно отражает истинное положение вещей.

Работая над книгой, автор ставил перед собой две цели. Первая из них заключалась в том, чтобы на примерах (в основном содержательных, а не чисто иллюстративных) из различных областей знаний показать возможности использования обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе познания окружающей нас действительности.

Конечно, рассмотренные примеры далеко не охватывают тот круг вопросов, которые могут быть решены с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Но, во-первых, "никто не обнимет необъятного", а во-вторых, уже и приведенные примеры дают представление о той роли, которую играют обыкновенные дифференциальные уравнения при решении практических задач.

Вторая цель -- познакомить читателя с простейшими приемами и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, характерными для качественной теории дифференциальных уравнений. Дело в том, что лишь в редких случаях удается решить дифференциальное уравнение в так называемой замкнутой форме, т.е. представить решение в виде аналитической формулы, использующей конечное число простейших операций над элементарными функциями. И это тогда, когда известно, что дифференциальное уравнение решение имеет!

Другими словами, оказывается, что решения дифференциальных уравнений в своем многообразии таковы, что для их представления в замкнутой форме конечного числа аналитических операций недостаточно. Такая ситуация схожа с имеющей место в теории алгебраических уравнений: в случае алгебраических уравнений первой и второй степеней их решения могут быть легко получены в радикалах; если обратиться к уравнениям третьей и четвертой степеней, то решения в радикалах еще могут быть получены, но формулы становятся весьма сложными; что же касается алгебраического уравнения общего вида степени выше четвертой, то решение такого уравнения в радикалах, вообще говоря, уже не может быть получено.

Возвращаясь к дифференциальным уравнениям, отметим, что если для представления их решений пользоваться бесконечными рядами того или иного вида, то удается решить значительно больше уравнений, чем в замкнутой форме. Но, к сожалению, часто бывает так, что наиболее существенные и интересные свойства решений никак нельзя выявить из вида полученных рядов. Более того, даже если удается решить дифференциальное уравнение и в замкнутой форме, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать, ибо полученная зависимость между различными параметрами часто оказывается весьма и весьма сложной.

Таким образом, становится очевидной необходимость в приемах и методах, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Так вот, такие приемы и методы существуют, и они и составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которой лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров.

Частичное обсуждение роли теорем существования и единственности решений проводится в параграфе "Зачем инженеру знать теоремы существования и единственности?". Что же касается качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений вообще, то, начиная с работ А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова (конец XIX-го века), в которых были заложены ее основы, она интенсивно развивается и ее методы широко используются в процессе познания окружающей нас действительности.

Автор благодарен профессорам Ю.С.Богданову и М.В.Федорюку за полезные советы и замечания, высказанные в процессе работы над книгой.

В.В.Амелькин

 Об авторе

Владимир Васильевич Амелькин

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета Белорусского государственного университета.

Специалист в области теории дифференциальных уравнений, научные интересы которого связаны с такими интенсивно развивающимися в настоящее время направлениями, как качественная теория дифференциальных уравнений, теория колебаний, теория устойчивости движения.

Автор и соавтор более 120 печатных работ, среди которых, в частности, монографии по теории дифференциальных уравнений "Нелинейные колебания в системах второго порядка", "Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения" (изд.2-е, М.: УРСС, 2003); научно-популярные издания "Математические модели и дифференциальные уравнения", "Дифференциальные уравнения в приложениях" (переведено на английский, испанский и японский языки); учебные и справочные пособия для учащихся и преподавателей средних школ и гимназий, лицеев и колледжей "Задачи с параметрами", "Экзамен по математике? Нет проблем", "Готовимся к экзамену по математике", "Задачи вступительных экзаменов по математике", "Геометрия на плоскости. Теория, задачи, решения".

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце