Бобынин В.В. Математика древних египтян:
По папирусу Ринда. Изд. 2

Оглавление

Введение

Изъ открытыхъ въ последнее время произведенiй древней египетской литературы только одинъ папирусъ Ринда служитъ представителемъ математики древняго Египта. Но свидетельству Эйзенлора, основанному на словахъ Бирча, въ Британскомъ Музее находится, впрочемъ, еще и другое древнеегипетское математическое сочиненiе, написанное на коже. Такъ какъ употребленiе кожи, въ качестве матерiала для письма, предшествовало въ Египте употреблению папируса, то упомянутое сейчасъ сочиненiе должно принадлежать въ сравненiи съ папирусомъ Ринда гораздо более древнему времени. Къ сожаленiю, свитокъ кожи, представляющiй это сочиненiе, такъ отверделъ отъ времени, что до сихъ поръ еще не могъ быть развернуть, а следовательно и прочитанъ.

Папирусъ Ринда названъ такъ по имени англiйскаго египтолога Генри Ринда, которымъ онъ былъ прiобретенъ въ Египте вместе со многими другими папирусами. После смерти весьма рано умершаго Ринда все принадлежащiе ему папирусы были прiобретены Британскимъ Музеемъ, где они и находятся въ настоящее время.

Для Исторiи математики открытiе папируса Ринда является событiемъ первостепенной важности, такъ какъ только при его носредстве современная наука получила возможность изучить содержанiе и методы египетской математики по источникамъ непосредственными Все, что до сихъ поръ было известно о состоянiи математичесгкихъ наукъ въ древнемъ Египте, основывалось на отрывочныхъ, крайне неполныхъ и не всегда достоверныхъ свидетельетвахъ писателей древней Грецiи. Въ виду громаднаго значенiя, которое имеетъ египетская математика какъ для решенiя вопросовъ о первоначальномъ развитiи математическихъ знанiй вообще, такъ и для развитiя этихъ же знанiй въ древней Грецiи, а черезъ нее и во всей древней и современной Европе, такое положенiе делъ можетъ быть названо только крайне прискорбнымъ. После всего изложениаго неудивительно, что, какъ только папирусъ Ринда появился въ Британскомъ Музее, онъ тотчасъ же получилъ известность и привлекъ общее вниманiе египтологовъ. Вскоре после его открытiя, именно въ 1868 году, уже была сделана первая попытка ознакомленiя ученой публики съ его содержанiемъ. Эту попытку представляла очень краткая статья Бирча "Geometric Papyrus" напечатанная въ "Zeitschrift fur agyptische Sprache uud Altertliumskimde". Краткость этой статьи, занимающей не более трехъ страницъ, была причиной появленiя въ сочиненiяхъ по исторiи математики крайне неполныхъ, иногда неверныхъ и вообще очень поверхностныхъ сведенiй о содержанiи папируса Ринда. Для подтвержденiя сказаннаго, а также и для предоставленiя читателю возможности сравнить эти сведенiя съ последующимъ изложенiемъ подлиннаго содержанiя папируса Ринда, мы сочли полезнымъ привести здесь соответствующая выписки.

Бретшнейдеръ говоритъ: "Насколько успели Египтяне въ нахожденiи и развитiи теоретическихъ истинъ, о томъ намъ остается по большей части делать одни предположенiя. Изъ папируса Ринда становится только ясно, что ученiе объ углахъ, объ определенiи треугольниковъ, иараллелограммовъ и трапецiй по ихъ элементамъ, а также ученiе о сравненiи площадей и ихъ измеренiи были разработаны въ главныхъ чертахъ. Точно также Египтяне были, кажется, знакомы съ простейшими иоложенiями о круге и даже сделали некоторые успехи въ теорiи вписанныхъ правильныхъ многоугольниковъ. Въ стереометрiи же имъ вероятно можно приписать лишь знанiе условiй, при которыхъ прямая перпендикулярна къ плоскости, и разве еще весьма ограниченную теорiю параллельныхъ прямыхъ и плоскостей въ пространстве. Изъ фигуръ имъ кажется были известны изъ практики призмы, четырехстороннiя правильныя пирамиды, прямые конусы и цилиндры, шарь и правильныя тела (за исключенiемъ додекаэдра). Вследствiе требованiй Астрономiи, они ознакомились несколько подробнее съ свойствами шара, о другихъ же телахъ напротивъ они знали немного более, чемъ объ условiяхъ ихъ существованiя. Что касается до ученiя о подобiи фигуръ, то оно наверное не было имъ известно, такъ какъ о необходимомъ при этомъ знанiи нропорцiй мы до сего времени не находимъ у Египтянъ ни малейшаго следа; греческiе писатели согласно говорятъ, что эта часть математическаго знанiя была прiобретена Греками отъ Вавилонянъ или Халдеевъ. Но этимъ конечно нисколько не отрицается то, что Египтяне практически были знакомы съ свойствами подобныхъ фигуръ и извлекали пользу изъ этого знанiя, хотя и не довели его до степени научной теорiи".

У Ганкеля находимъ следующее: "Одинъ изъ нихъ (подлинныхъ документовъ египетской геометрiи) есть рукопись на папирусе неопределенной древности, которая сама объявляетъ себя копiей гораздо более древняго сочиненiя, но впрочемъ едва ли можетъ быть отнесена далее, чемъ къ XII в. до P.X. Она содержись подъ заглавiемъ: "Принципъ достиженiя познанiя (или величинъ) и разрешенiя всехъ тайнъ, лежащихъ въ природе вещей" рядъ задачъ на определенiе площадей плоскихъ фигуръ или объемовъ телъ".

Извлечете, которое даетъ Бирчъ изъ этого, столь важнаго для исторiи математики, папируса, къ сожаленiю, весьма кратко, и мы изъ него можемъ видеть только, что эти задачи относятся къ площадямъ прямоугольиыхъ треугольниковъ и четыреугольниковъ, равнобедренныхъ треугольниковъ и отсеченныхъ отъ этихъ последнихъ линiею параллельною основанiю трапецiй, далее правильныхъ шестиугольниковъ и круговъ и, сверхъ того, къ объемамъ усеченныхъ пирамидъ. Но, къ сожаленiю, намъ не сообщено решенiя ни одной изъ этихъ задачъ; мы узнаемъ только, что самыя задачи поставлены не въ общемъ виде, но исключительно для определеиныхъ чиселъ, какъ напр.; "Правило для определенiя поля. Предположи, ты говоришь, что дано четыреугольное поле отъ 10 до 2 клафтеровъ". Соответственно этому даются также и решенiя; отвлечь общiй методъ отъ вычисленiй на частныхъ числахъ остается предоставленнымъ читателю.

Что касается до пробавляющагося сведенiями изъ вторыхъ рукъ сочиненiя Сутера, то въ немъ лишь сокращенно перепечатано изложенное у Бретшнейдера.

Вышеупомянутая статья Бирча обратила на папирусъ Ринда вниманiе профессора египетскаго языка и древностей въ Гейдельберге Августа Эйзенлора, занимавшаяся въ это время предметомъ однородными – именно обработкою и изданiемъ снятаго имъ въ Эдфу посредствомъ фотографiи геометрическаго текста, содержащаго описанiе полей, пожертвованныхъ бывшему тамъ храму. Благодаря любезности Бирча, Эйзенлоръ во время своего пребыванiя въ Англiи въ 1872 году получилъ отъ него экземпляръ не назначеннаго для выпуска въ светъ литографированнаго факсимиле папируса Ринда. Предпринятая после того Эйзенлоромъ разработка содержанiя этого папируса стоила ему болыпихъ усилiй и значительной траты времени. Вся работа продолжалась четыре года, причемъ изследованiе некоторыхъ особенно трудныхъ задачъ иногда занимало собою целые месяцы. Плодомъ этой многотрудной работы было появившееся въ 1877 году сочиненiе Эйзенлора. Оно состоитъ изъ двухъ книгъ: изъ комментарiя, въ которомъ содержатся введенiе въ изследованiя, комментарiй, беглый переводъ содержанiя папируса и словарь, и изъ факсимиле рукописи. Представляя полное изложенiе не только содержанiя папируса Ринда, но и всехъ относящихся къ нему изследованiй, какъ математическаго, такъ и въ особенности филологическаго характера, это сочиненiе является драгоценнымъ вкладомъ въ литературу египтоведенiя и исторiи математики.

Кроме статьи Бирча и сочиненiя Эйзенлора, изученiю папируса Ринда посвящены еще следующiя статьи. Профессоръ Бругшъ, напечаталъ въ Aegyptische Zeitschrift статью, которая содержитъ таблицу числовыхъ знаковъ папируса Ринда и употребляемый въ немъ формулы четырехъ арифметическихъ действiй и обозначенiя линiй и фигуръ. Неполнота и ошибочность данныхъ этой статьи заставила Эйзенлора заняться ея исправленiемъ; результатомъ последняго была статья его, помещеиная въ томъ же журнале. Несколько ранее; именно въ 1874 году, Эйзенлоромъ былъ прочитанъ на международномъ конгреесе Орiенталистовъ въ Лондоне докладъ о мерахъ, встречающихся въ папирусе Ринда. Этотъ докладъ, озаглавленный "Des mesures egyptiennes, resultat des etudes du papyrus mathematique du musee Britannique" былъ напечатанъ въ (Transactions of the international congress of Orientalists. (1874 p.282). Предмета этого доклада послужилъ темой также и для другой статьи Эйзенлора, помещениой въ "Aegyptische Zeitschrift. Прежде выхода въ светъ упомянутаго выше большаго сочиненiя Эйзенлора, краткiя сведенiя о содержащихся въ немъ выводахъ были сообщены въ вышедшемъ въ 1875 году сочиненiи профессора Кантора: Die romischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmesskunst (стр.32 и д.). Изложенiю этихъ же выводовъ также посвящена и статья Rodet: Sur un Manuel du Calculateur, decouvert dans un papyrus egyptien, напечатанная въ VI томе Bulletin de la Socieje Mathematique de France. Въ сообщенiи объ этой схатье, помещенномъ въ библiографическомъ отделе Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques, находится краткая заметка, излагающая содержанiе папируса Ринда и составленная на основанiи данныхъ разсматриваемой статьи. Ошибочность этой заметки и странная небрежность ея составленiя заставляютъ насъ привести ее здесь вполне, чтобы дать такимъ образомъ читателю возможность сравнить сказанное въ ней съ последующимъ изложенiемъ. "Этотъ папирусъ былъ изданъ факсимиле Эйзенлоромъ, профессоромъ египетскаго языка и археологiи въ Гейдельбергскомъ университете. Вычисленiя въ немъ отличаются пространностью. Онъ содержитъ правила для сложенiя и вычитанiя; что касается до умноженiя, то авторъ умеетъ только удвоивать число. Онъ является совершенно незнающимъ что есть деленiе. Онъ разсматриваетъ, сверхъ того, дроби, имеющiя числителями единицу, и решаетъ более или менее точно несколько вопросовъ, относящихся къ измеренiю объемовъ и поверхностей".

Возникновенiе въ теченiи менее чемъ 10 летъ целой литературы о папирусе Ринда представляетъ самое красноречивое свидетельство громадной важности этого памятника, какъ для египтологiи такъ и для исторiи математики.

Об авторе

Бобынин Виктор Викторович

Российский историк математики и педагог. Родился под Смоленском. В 1872 г. окончил физико-математический факультет Московского университета. Преподавал математику в гимназии и кадетском корпусе. C 1882 г. приват-доцент по истории математики в Московском университете; его магистерская диссертация «Математика древних египтян» (1882) представляла собой капитальное исследование, выполненное на основе опубликованного незадолго до того папируса Ринда — древнеегипетской математической рукописи, названной по имени ее владельца, английского египтолога А. Г. Ринда. В 1885 г. основал и начал издавать журнал "Физико-математические науки в их прошедшем и настоящем состоянии" (выходил в 1885–1894 гг.). В этом журнале поместил ряд исследований по истории математики в России. С 1896 г. принимал участие в создании Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона.

Более 40 лет В. В. Бобынин изучал и популяризировал историю математических знаний. Этому предмету были посвящены его книги «Состояние математических знаний в России до XVI в.» (1884) и «Очерки развития физико-математических знаний в России» (вып. I вышел в 1886 г., вып. II — в 1893 г.). Большое научное значение имел его фундаментальный труд «Русская физико-математическая библиография» (1886–1895); в нем обозрение научной литературы было доведено до 1810 г. Целый ряд статей по истории математики, напечатанных в русских и западных журналах, принес В. В. Бобынину европейскую известность. Для 4-го тома известной «Истории математики» М. Кантора он написал в 1908 г. статью по истории элементарной геометрии во второй половине XVIII в.