|
Оглавление
Предисловие к русскому переводу
Историю излагаемой в этой книге теоретической или математической, как правильнее ее называть, логики начинают обычно с "универсальной характеристики" Лейбница, после чего переходят к работам А.де Моргана, Буля, Джевонса, Шредера, Пирса, принадлежащим XIX в. И хотя это в известной мере правильно, все же, в основном, математическая логика должна быть отнесена к числу новейших научных дисциплин, характерных именно для науки XX в. Прежде всего, в XX в. математическая логика, по существу, стала частью математики. Существует ряд соображений, в силу которых ей следует называться именно математической логикой. Ее рост обусловливается, в первую очередь, потребностями математики. Создание неевклидовых геометрий, в истории которых основное место принадлежит нашему соотечественнику Н.И.Лобачевскому, и возникновение методов современной теоретико-множественной математики породили и в математике ту крутую ломку понятий, подлинную двойственную сущность которой вскрыл В.И.Ленин в "Материализме и эмпириокритицизме". Наука, с одной стороны, испытала невиданное еще в ее истории развитие и притом не только количественное, но и качественное; она стихийно встала на путь материалистической диалектики. Но в условиях империализма самый прогресс науки породил реакционные попытки идеалистической философии паразитировать на науке, использовать каждый новый, успех ее в своих целях. Именно такого рода картина, на деталях которой мы не имеем здесь возможности остановиться, развернулась и в области проблем обоснования математики, лежащих на границе математики и логики. Уже в самом начале исследований, приведших в дальнейшем к созданию неевклидовых геометрий, математикам пришлось заняться разбором различных вариантов рассуждений, претендовавших на право называться доказательствами евклидовского постулата о параллельных. Так как при этом чаще всего обнаруживалось, что в числе посылок явно или неявно используется допущение, попросту равносильное самому постулату, то возникла естественная потребность выявить все посылки, на которых в действительности построена система "Начал" Евклида. Однако завершена эта работа была лишь в начале XX в. в известных "Основаниях геометрии" Д.Гильберта. Гильберт точно перечислил основные неопределяемые понятия геометрии, с помощью которых определяются остальные ее понятия, и основные недоказываемые предложения, с помощью которых доказываются все остальные предложения. Но для того чтобы проверить, что перечисленных аксиом действительно достаточно для доказательства всех вообще истинных предложений некоторой науки и что с их помощью нельзя, наоборот, вывести ложное заключение, нужно было располагать обзором не только всех принимаемых посылок, но и всех допустимых средств вывода из них новых предложений. В последней четверти XIX в. за такую работу взялись независимо друг от друга Пеано и Фреге. Благодаря тому, что при этом пришлось Заняться выяснением самых глубоких и основных логических связей между наиболее элементарными понятиями и предложениями математики, у Фреге создалось даже впечатление, что ему удалось определить и неопределяемые понятия арифметики, доказать и недоказываемые в ней предложения, сведя их к более общим понятиям и предложениям ("законам") логики. Еще при жизни Фреге, в начале XX в., Рэссел обнаружил, однако, в его системе противоречие. Как оказалось, – несмотря на то, что многие из вскрытых Фреге конкретных связей действительно имеют место, – система в целом не годится, так как с ее помощью можно доказать все что угодно. Чтобы избежать так называемых "парадоксов расширенного исчисления предикатов", Рэссел придумал свою известную "разветвленную теорию типов", с которой сразу же оказались связанными новые трудности, обусловленные его половинчатой и путаной субъективистской установкой. От вышедшего в 1910–1913 гг. трехтомного труда Рэссела и Уайтхеда "Principia mathematica" можно было итти дальше по двум направлениям: можно было, как это и случилось с его авторами, занять позиции все более и более агрессивного наступления на материализм и защиты схоластики (вооруженный такой идеологией Б.Рэссел не случайно пропагандирует сейчас применение атомных бомб против СССР), и можно было с меньшими или большими колебаниями (в условиях империалистического общества такие колебания вполне естественны), более или менее стихийно вступить на путь отказа от субъективистских установок Рэссела. И тот и другой путь были действительно использованы буржуазными учеными. Необходимо здесь же подчеркнуть, что идеалистические установки неизменно приводили к новым трудностям и что, наоборот, самые ценные достижения принадлежат математикам, вставшим на путь отказа от субъективизма и формализма и связанных с ними ограничений запаса содержательных средств нашего мышления. Заметим также, что создание особой теории математического доказательства (объектом изучения которой являются уже не собственные предметы математики – вроде чисел, точек, прямых, а также функций, множеств или отношений между числами, точками и т.п., – а приемы и методы обращения с ними в математике) в руках специалистов-математиков оказалось нужным не только в целях обоснования математики и решения возникающих здесь трудностей: с помощью теории доказательства был уже получен-продолжает получаться и сейчас-ряд специальных и притом все более и более важных математических результатов. Но математическая логика оправдывает свое название не только потому, что она выросла из потребностей математики и что подавляющее большинство новейших результатов, добытых ею, принадлежит специалистам-математикам. Она строится сама как типичная математическая дисциплина и может быть рассматриваема не только как логика математики, но и как математика логики. Ибо она является в значительной мере результатом применения математических методов к проблемам формальной логики. И все же знакомство с ней нужно не только математикам. Не говоря уже о том, что философские трудности обоснования математики интересуют и философов, конкретные проблемы теории математического доказательства и, особенно, применения математики к вопросам логики должны интересовать и специалистов-логиков. Овладев элементами математической логики, последние смогут познакомиться в дальнейшем с рядом более интересных для них вопросов. Они встретят здесь и конкретные результаты, относящиеся к выяснению соотношения между содержательной истинностью и формальной доказуемостью; и полное решение вопроса о границах возможностей последней; и попытки построения выходящей за рамки непосредственных потребностей математики логики модальностей; и некоторый подход к проблемам индуктивной логики; и ряд проблем, непосредственно связанных с обобщениями классической теории силлогизмов по Аристотелю; и даже чисто технические приложения, – например, простейшей части математической логики, так называемого "исчисления высказываний", к построению электрических релейно-контактных схем. Число работ по математической логике и ее приложениям интенсивно растет. Как уже было отмечено, основные результаты в этой области принадлежат специалистам-математикам. Они опубликованы по преимуществу в математических журналах. Из работ советских ученых отметим принадлежащие Д.А.Бочвару, В.И.Гливенко. И.И.Жегалкину. А.Н.Колмогорову, А.И.Мальцеву, А.А.Маркову, П.С.Новикову, М.И.Шейнфинкелю, В.И.Шестакову. Большинство из них напечатано в "Математическом сборнике", "Докладах" и "Известиях" (математическая серия) Академии Наук СССР, "Ученых записках" Московского университета. Но все же в настоящее время не выходит почти ни одной статьи или книги по логике, даже элементарного учебника, в той или иной мере не учитывающей результатов и методов современной математической логики. Нет буквально ни одного раздела математической логики, даже самого элементарного, где, казалось бы, все уже давно выяснено, который не подвергался бы дальнейшей разработке. И притом подчас с помощью довольно сильных средств современной математики (вроде алгебраических: теории структур, теории колец и алгебр). В целях получения топологических интерпретаций для различных видоизменений исчисления высказываний – простейшим случаем такой интерпретации является обычное изображение понятий кругами-строятся, например, так называемые булевские алгебры с замыканием, примыкающие к топологии (и в свою очередь дающие затем возможность перефразировать формальное изучение множеств в некоторые виды топологий). Чтобы иметь возможность следить за современной литературой по математической логике, необходимо поэтому основательно проработать, разобравшись даже в деталях доказательств, систематический курс, посвященный аппарату математической логики. От начинающего, особенно если он не привык к чтению математической литературы, это может потребовать значительной работы, но никакого специального знакомства с математикой при этом все же не требуется. Не пройдя же такой предварительной стадии ознакомления с техническим аппаратом, невозможно следить критически за обширной литературой по математической логике. А следить нужно именно критически. Как уже было отмечено, в зарубежной литературе по математической логике и ее приложениям мы можем встретиться и с ценными научными результатами и с реакционными идеалистическими поползновениями использовать их в целях пропаганды мракобесия. Использовать вопреки тому, что чем сильнее оказывается полученный результат, тем яснее для нас, что он подтверждает правильность философских позиций диалектического материализма; вопреки тому, что и буржуазным ученым фактически удается получать свои наиболее важные результаты ценою вынужденного отказа от субъективизма и мистики. Известный специалист по математической логике К.Гедель недаром вынужден признать, что трудности, связанные с философскими проблемами математики в трактовке их Рэсселом, обусловлены субъективизмом последнего. Чтобы избежать трудностей этого рода, необходимо признать, утверждает Гедель, что множества вещей и определяющие их свойства и отношения существуют реально, независимо от наших субъективных конструкций. "Допущение таких объектов, – рассуждает он, столь же законно, как и допущение физических тел... Они в том же смысле необходимы для получения удовлетворительной системы математики, как физические тела... для удовлетворительной теории наших ощущений, и в обоих случаях невозможно интерпретировать предложения об этих сущностях, как предложения о "данных". Чтобы судить о подлинном смысле этих утверждений, нужно было бы знать, правда, как понимает Гедель процесс образования абстракций, но во всяком случае достаточно показательно уже и то, как воспринимает установку Геделя рецензирующий его работу Бернайс. "Характеризуя в целом установку Геделя по философскому вопросу логического обоснования математики, – пишет Бернайс, – основной пункт следует видеть в его отказе от того вида феноменализма, который стремится "отмахнуться" от содержания математики, и в привлечении им внимания к тому, что общематематике и теоретической физике в смысле необходимости предполагать объекты и отношения существующими независимо от наших восприятий и умственных построений". А наряду с этим мы можем встретить утверждение, принадлежащее тоже довольно крупному специалисту Карри, что "реалистическая точка зрения, очевидно, не должна приниматься всерьез в настоящее время. Конечно, она является первоначальным взглядом – математика первобытных народов существенно эмпирична, и она приемлема для простых арифметических предложений, таких как 2 + 2 = 4. Но то обстоятельство, что инфинитистские концепции современной математики не имеют прообраза во внешнем окружении, есть пункт, не требующий разработки". Конечно, – добавим к этому мы, – Карри не имеет представления о диалектическом материализме и прибегает к излюбленному противниками материализма приему его вульгаризации. Наоборот, идейная – с позиций марксизма-ленинизма-борьба с идеалистическими извращениями предполагает такое владение техникой дела, которое позволяет повернуть против врага его же собственное оружие. Предлагаемый вниманию читателя перевод руководства по элементам математической логики Д.Гильберта и В.Аккермана содержит систематическое построение аппарата. Книга выросла из курса лекций известного математика конца XIX и первых тридцати лет XX вв. Д.Гильберта и написана его учеником Аккерманом. Философские проблемы, связанные с математической логикой и ее приложениями к основаниям математики, в том числе и опровергнутые дальнейшим развитием науки формалистические установки самого Гильберта, в ней вообще не обсуждаются. Книга была намечена первоначально как введение в появившуюся позже двухтомную монографию Д.Гильберта и Я.Бернайса, посвященную "Основаниям математики" и содержащую подробный разбор основных результатов в этой области, доведенный до 1940 г. Поэтому в ней не затрагиваются, или почти не затрагиваются, вопросы так называемой металогики, относящиеся к общей теории построения логических "формализмов", обсуждению методов и возможностей доказательства их непротиворечивости и полноты; не доказывается и введенная в этой связи, но выросшая затем в общую теорию алгоритмических методов математики теория рекурсивных функций, а также использующая последнюю "арифметизация металогики", принадлежащая Геделю. Не доказывается, хотя и выясняется необходимость такого доказательства, совместность так называемого "узкого исчисления предикатов", про законы которого можно сказать, что они экстраполированы из изучения конечных областей предметов, с предположением о бесконечности области, т.е. наше право рассуждать в известных случаях о бесконечных областях предметов так, как если бы они были конечными. Совсем не рассматриваются отличные от классической логики логические "формализмы", вроде не пользующегося законом исключенного третьего "исчисления проблем" Колмогорова или различных многозначных "логик" и т.п. Авторы строго ограничивают себя самым необходимым материалом, но зато дают все детали доказательств. Читатель, внимательно проработавший книгу, будет действительно владеть техникой дела. Книга написана очень сжато и лаконично и рассчитана на читателя, привыкшего пользоваться математической литературой. Учитывая интересы более широкого круга читателей, мы снабдили ее несколькими комментариями, являющимися не дополнениями к ней, а, в первую очередь, пояснениями. Прежде всего это относится к комментарию к первым двум параграфам второй главы, интересной для преподавателя элементарной логики, поскольку она представляет собой известную формализацию логики Аристотеля. Второе издание книги, с которого сделан перевод, значительно отличается от первого., В нем исправлены некоторые неточности первого издания, например нечеткая формулировка правил подстановки для "узкого исчисления предикатов". Интересны и существенны добавленные к третьей главе доказательства полноты и независимости для системы аксиом и правил "узкого исчисления", содержащие, в частности, известный результат Лёвенгейма, от которого датируют начало выяснения границ возможностей для логических "исчислений". Значительно улучшено содержащееся в четвертой главе изложение "расширенного исчисления", имеющего особое значение для решения философских проблем обоснования математики. Однако в этой связи нужно отметить следующее. С целью справиться с так называемыми "семантическими" парадоксами Рэссел ввел свою "разветвленную теорию типов", которую распространил при этом на всю математику, создав таким образом для математики ряд новых трудностей. Но если отбросить субъективистские установки Рэссела, то, поскольку "семантические парадоксы" вообще не угрожают математике, в применении к ней оказывается достаточной "простая теория типов". Из второго издания своего учебника авторы совсем исключили поэтому "разветвленную теорию" и обсуждение связанных с нею трудностей. Для чтения литературы по философским проблемам математики знакомство с этой теорией, однако, необходимо. Кроме того, с чисто логической стороны "семантические парадоксы" не только представляют самостоятельный интерес, но и широко используются в упомянутых выше общих металогических исследованиях. Нам представлялось поэтому целесообразным не только привести, как это сделали авторы, самые парадоксы, но рассказать и о возможных способах справиться с ними, предупредив читателя, что сложный логический аппарат "разветвленной теории типов" имеет смысл лишь в применении к определенным системам аксиом, о которых без уточнений, предусматриваемых этой теорией, нельзя рассуждать по правилам, более или менее соответствующим законам обычной формальной логики. Мы сочли поэтому необходимым добавить в приложении параграфы из первого издания книги, посвященные "разветвленной теории типов" и связанным с нею трудностям. Д.Гильберт разрабатывал аппарат математической логики в надежде с его помощью оправдать свою формалистическую и идеалистическую точку зрения на математику, как на совокупность лишенных содержания формул, которые пишутся по определенным правилам. Однако действительное развитие логики, и притом с помощью построенного самим же Гильбертом аппарата, обнаружило неосуществимость его надежд. Развитие науки и в этой области неизменно подтверждает правильность философских установок марксизма-ленинизма. Но реакционные буржуазные ученые не хотят признавать этого. Они упорно борются против всякого проявления материализма. И притом все более и более агрессивно. Одни потер певшие крушение идеалистические "надежды" сменяются другими, еще более реакционными. В руках исследователя, вооруженного передовой марксистско-ленинской философией, и математическая логика становится не только орудием открытия новых истин, но и средством разоблачения реакционной идеологии. В применении к математической логике нам особенно следует помнить партийное указание, сделанное товарищем А.А.Ждановым в его выступлении на дискуссии по книге Г.Ф.Александрова "История западно-европейской философии". "Современная буржуазная наука, – говорит А.А.Жданов, снабжает поповщину, фидеизм новой аргументацией, которую необходимо беспощадно разоблачать". "Кому же, как не нам – стране победившего марксизма и ее философам, – возглавить борьбу против растленной и гнусной буржуазной идеологии, кому, как не нам, наносить ей сокрушающие удары!" С. Яновская
Предисловие к первому изданию
Настоящая книга излагает теоретическую логику (называемую также математической логикой, логическим исчислением или алгеброй логики) в той форме, которую она приобрела в моих университетских лекциях по принципиальным вопросам математики. ("Принципы математики" – зимний семестр 1917/18 гг.; "Логическое исчисление" – зимний семестр 1920 г.; "Основания математики" – зимний семестр 1921/22 гг.)" При подготовке этих лекций я пользовался существенной помощью и советами моего коллеги Бернайса; он же самым тщательным образом обработал лекции. Использовав и дополнив возникший таким образом материал, мой ученик Аккерман, выдвинувшийся тем временем благодаря значительным самостоятельным работам в области оснований математики, дал приводимое ниже расчленение и окончательное изложение всего материала. Книга должна служить одновременно целям подготовки и облегчения понимания следующей книги, которую мы с Бернайсом в скором времени собираемся выпустить и которая трактует основания математики тем же самым методом, какой я (также при деятельнейшем участии Бернайса) изложил в ряде трудов: Neubegr\"undung der Mathematik. – Abhandlungen des mathematischen Seminars derHamburgischen UniversitSt, Bd. 1, стр. 157, 1922; Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Ann., Bd. 88, стр. 151, 1922; Ober das Unendliche, Math. Ann., Bd. 95, стр. 161, 1925. Гильберт
Гёттинген, 16 января 1928 г.
Предисловие ко втoрому изданию
Во втором издании "Основ теоретической логики" сохранены везде конструкция и последовательность первого издания. Однако достижения науки за последнее время сделали необходимым внимательный просмотр материала и внесение различных улучшений и дополнений, которое необходимо было сделать, не выходя за рамки прежнего объема книги. По существу, главы I и II не претерпели изменений; исключением является только краткий обзор более новых исследований по аксиоматике исчисления высказываний в главе I. От разработки изложения исчисления классов в главе II, само по себе желательной, мы пока отказались, так как это исчисление в общем построении книги занимает все же изолированное положение. В главе III прежде всего улучшена редакция правил вывода для исчисления предикатов; прежняя формулировка была недостаточно точной. Добавлены отсутствовавшие в первом издании доказательства независимости и полноты использованной в этой главе системы аксиом; раздел о проблеме разрешимости дополнен обзором более новых результатов. Глава IV могла быть подвергнута сокращению, поскольку подробное рассмотрение разветвленной теории типов Рэссела и Уайтхеда оказалось ненужным, после того как подавляющее большинство исследователей отказалось от этой теории. За счет этого оказалось возможным существенно улучшить и пополнить построение исчисления предикатов второй ступени и ступенчатого исчисления вообще. Терминология была приспособлена к "Grundlagen der Mathematik" Гильберта и Бернайса. Например, выражение, "функциональное исчисление" заменено повсюду на "исчисление предикатов". Выражения "логическая сумма" и "логическое произведение", в соответствии с общепринятым логическим словоупотреблением, переделаны повсюду в "конъюнкцию" и "дизъюнкцию". Господину Н.Бернайсу (Цюрих), который прочел корректуру в гранках, я особенно обязан за многочисленные советы. За различные мысли и указания я благодарю также господ Гентцена (Геттинген), который просмотрел рукопись, Арнольда Шмидта (Марбург) и Шольца (Мюнстер). Всем им выражаю свою искреннюю благодарность. В.Аккерман
Бургштейнфурт,
ноябрь 1937 г.
Введение
Теоретическая логика, называемая также математической или символической логикой, есть применение формального метода математики к области логики. Она применяет к логике тот же язык формул, который уже издавна употребляется для выражения математических отношений. В настоящее время было бы утопией при построении какой-либо математической дисциплины пытаться обойтись лишь обычным языком. Большие успехи, которые сделаны в математике, например в алгебре, со времен античности, обусловлены в значительной степени тем обстоятельством, что удалось найти полезный и продуктивный формализм. Чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Переход к логическим следствиям, совершающийся посредством умозаключения, разлагается на свои последние элементы и представляется как формальное преобразование исходных формул по известным правилам, которые аналогичны правилам счета в алгебре; логическое мышление отображается в логическом исчислении. Это исчисление делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содержательное логическое мышление. К таковым принадлежит, например, проблема: как можно охарактеризовать предложения, которые вообще могут быть выведены из данных посылок. Особо важное значение логическое исчисление приобрело в последние десятилетия еще и потому, что оно развилось в необходимое вспомогательное средство исследования основ математики. Идея математической логики впервые в ясной форме была выдвинута Лейбницем. Первые результаты получили де Морган (1806–1876) и Буль (1815–1864). С Буля начинается все дальнейшее развитие. Из числа его последователей новую науку обогатили Джевонс (1835–1882) и прежде всего Пирс (1839–1914). Шредером, в его "Vorlesungen \"uber die Algebra der Logik" ("Лекции по алгебре логики", 1890–1895), были систематически собраны и усовершенствованы различные результаты, добытые его предшественниками. "Лекции по алгебре логики" представляют собой в известной степени заключительное звено в цепи развития, начинающегося с Буля. Отчасти независимо от развития булевско-шредеровской алгебры логическая символика получила новый стимул для своего развития благодаря потребностям математики в точном обосновании и строгом аксиоматическом изложении. Г.Фреге опубликовал свои труды "Begriffsschrift ("Исчисление понятий", 1879) и "Grundgesetze der Arithmetik" ("Основные законы арифметики", 1893–1903). Пеано и его сотрудники начали в 1894 г. издание "Formulaire de Mathematiques" ("Формуляр математики"), в котором все математические дисциплины должны были быть представлены в логическом исчислении. Появление "Principia mathematica" (1910–1913) Уайтхеда и Рэссела является высшей точкой этого развития. В недавнее время Гильберт в ряде трудов и в университетских лекциях использовал логическое исчисление для того, чтобы на новом пути достичь такого построения математики, которое дает возможность установить непротиворечивость положенных в основу посылок. Первое связное сообщение об этих исследованиях появилось в настоящее время в первом томе "Grundlagen der Mathematik" ("Основания математики", 1934) Гильберта и Бернайса. Об авторах
Выдающийся немецкий математик-универсал, внесший значительный вклад в развитие многих математических разделов. Родился в г. Велау близ Кенигсберга (ныне Калининград, Россия), в семье окружного судьи. Окончил Кенигсбергский университет. В 1893–1895 гг. профессор Кенигсбергского, а в 1895–1930 гг. – Геттингенского университетов. В 1900 г. на 2-м Международном математическом конгрессе Д. Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешенных проблем математики, постановка которых во многом определила развитие математики в XX в. Исследования Д. Гильберта оказали большое влияние на развитие математической логики, теории инвариантов, теории алгебраических чисел, геометрии, вариационного исчисления, дифференциальных и интегральных уравнений, функционального анализа, математической физики и других областей математики. В число его учеников входили выдающиеся математики Э. Цермело, Г. Вейль, Дж. фон Нейман, Р. Курант, Г. Штейнгауз, чемпион мира по шахматам Э. Ласкер и многие другие. Вильгельм АККЕРМАН (1896–1962) Немецкий математик и логик, ученик Д. Гильберта. Родился в Шенебеке (Германия). В 1925 г. защитил докторскую диссертацию по математической логике. Преподавал математику в Геттингенском университете и средних школах. Член-корреспондент Академии наук в Геттингене, почетный профессор Мюнстерского университета (Вестфалия). Автор трудов по математической логике, пособий для решения задач. Широкую известность среди специалистов по теории вычислений получила функция Аккермана – простой пример вычислимой функции, которая не является примитивно рекурсивной. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||