URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения
Id: 158110
 
249 руб.

Выпуклый анализ и его приложения. Изд.стереотип.

URSS. 2016. 176 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-05180-4.

 Аннотация

В настоящей книге излагаются основы выпуклого анализа --- относительно нового раздела математики, в котором переплетены элементы математического анализа и геометрии. Роль выпуклости в математике (особенно в проблемах оптимизации), естествознании, технике, экономике весьма значительна, а потому, по мнению авторов, начала выпуклого анализа должны быть включены в математическое образование любого уровня. Данная книга призвана служить этой цели. Помимо изложения начал выпуклого анализа в ней также показаны его возможности в приложениях.

Книга рассчитана на широкую читательскую аудиторию; она может служить учебным пособием по курсам оптимизации, геометрии и прикладным дисциплинам различного профиля.


 Оглавление

Предисловие
Введение

I Теория

 1.Начала выпуклого анализа
  1.1.Локально выпуклые пространства и двойственность
  1.2.Выпуклые множества и функции
  1.3.Теоремы отделимости
  1.4.Двойственность выпуклых функций
  1.5.Субдифференциальное исчисление
 2.Выпуклые экстремальные задачи
  2.1.Условия экстремума
  2.2.Двойственность выпуклых экстремальных задач
 3.Конечномерная выпуклая геометрия
  3.1.Жесткость выпуклых многогранников
  3.2.Теоремы Каратеодори, Радона и Хелли
  3.3.Теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника
  3.4.Формулы Коши и Штейнера--Минковского
  3.5.Неравенство Брунна--Минковского, симметризация Штейнера и теорема Грюнбаума--Хаммера
  3.6.Симметризация по Брунну--Минковскому
  3.7.Некоторые дополнения
 4.Алгоритмы выпуклой оптимизации
  4.1.Метод центрированных сечений
  4.2.Метод описанных эллипсоидов
  4.3.Симплекс-метод решения задач линейного программирования
 5.Выпуклый анализ и экстремальные задачи
  5.1.Принцип Лагранжа для гладко-выпуклых задач
  5.2.Ляпуновские задачи

II Приложения

  6.1.Критерии элементов наилучшего приближения; полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля
  6.2.Неравенства и выпуклый анализ
  6.3.Линейные функционалы на пространстве полиномов
  6.4.Неравенства для производных колмогоровского типа
  6.5.Оптимальное восстановление линейных функционалов на классах гладких и аналитических функций
  6.6.Задачи геометрии
  6.7.Задачи технического содержания

III Дополнения

 7.Базовые теоремы выпуклого анализа
 8.Дополнительные вопросы выпуклого анализа
Список литературы
Предметный указатель
Именной указатель

 Предисловие

Выпуклый анализ -- раздел математики, где изучают выпуклые множества, выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи.

Исторические корни выпуклого анализа уходят в глубокую древность, но вместе с тем имя свое он получил лишь в шестидесятые годы нашего века. Многие яркие факты выпуклого анализа были обнаружены в наши дни. Так что это одновременно и старинная, и современная область математики.

Выпуклый анализ непосредственно примыкает к геометрии (в недрах которой он, собственно, и зародился; выпуклость -- геометрическое понятие), но с другой стороны, он очень тесно связан и с классическим анализом, и именно эта связь стала предметом пристального внимания к нему в недавнее время. Отсюда и двойственность в самом названии: выпуклый анализ.

На первый взгляд может показаться удивительным, что такие специальные объекты анализа и геометрии, как выпуклые функции и выпуклые множества, имеют столь разнообразные применения в математике, технике, экономике. На самом деле тому имеются веские основания (и о них будет рассказано в этой книге), но так или иначе, разнообразие и плодотворность приложений теории выпуклости ныне столь несомненный факт, что в наши дни едва ли не каждому математику (а особенно тем, кто имеет дело с приложениями) полезно ознакомиться с началами выпуклого анализа. Есть и еще один стимул к изучению выпуклого анализа -- эстетический: в теории выпуклости много красивых явлений и фактов.

Какие-то элементы теории выпуклости должны, по-видимому, занять место в математическом образовании любого уровня. Данная книга призвана способствовать этому.

Выпуклый анализ принадлежит к числу тех дисциплин, освоение которых требует очень незначительной начальной подготовки. И эта книга писалась в расчете на широкую аудиторию. Для "начинающих" специально написано Введение, в котором основное содержание выпуклого анализа иллюстрируется на элементарном "конечномерном" материале.

Остальной текст рассчитан на более подготовленного читателя, но основное содержание и здесь доступно каждому, кто пожелает самостоятельно восполнить некоторые пробелы в своих знаниях. Cоветуем читателю, любящему геометрию, больше рисовать, ибо большинство понятий и доказательств имеют очень простой (и красивый) наглядный смысл (что частично мы старались продемонстрировать нашими рисунками).

Считаем своим долгом выразить признательность своим коллегам -- Я.Бринхвису, Э.М.Галееву, И.В.Евстигнееву, А.Д.Иоффе, С.В.Конягину, В.Л.Левину, К.Ю.Осипенко, В.Ю.Протасову и И.Экланду за любезно предоставленные материалы, полезные обсуждения и за помощь в подготовке рукописи к печати.

Проведенные исследования и первое издание книги были поддержаны грантами INTAS--97--1050, РФФИ по проектам 96--15--96072, 96--01--10035, 99--01--01181, 99--01--14021, Research Grant 12513 of the Royal Swedish Acad. of Sci.


 Введение


Что изучает выпуклый анализ?

Напомним: множество на плоскости (или в общем случае -- в линейном пространстве) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит весь отрезок, концами которого являются эти точки (рис.1). Граница плоского выпуклого множества называется выпуклой кривой, граница выпуклого множества б$\acute {\rm о}$льшего числа измерений называется выпуклой поверхностью. Вещественная функция, заданная на прямой или линейном пространстве, называется выпуклой функцией, если ее надграфик, т.е. множество, лежащее над ее графиком, выпукло (или иначе -- ее график лежит не выше хорды, соединяющей любые две точки графика) (рис.2). Задача на отыскание минимума выпуклой функции на выпуклом множестве называется выпуклой экстремальной задачей (или задачей выпуклого программирования).

Выпуклый анализ -- раздел математики, изучающий выпуклые объекты, т.е. выпуклые множества, выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи.


Краткий исторический экскурс

Понятие выпуклости родилось в античной древности. Приведем слова Архимеда: "Выпуклыми в одну и ту же сторону я называю такие поверхности, для которых прямые, соединяющие две произвольные точки, будут [...] находиться по одну сторону от поверхности" (Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз, 1962. С.639). Это определение совпадает с приведенным нами выше (с маленьким уточнением: в нашем определении выпуклой поверхности вместо "прямые" сказано "отрезки"; несомненно, Архимед это и имел в виду). Как это ни удивительно, "наше" определение выпуклости было дано лишь в XX веке. Считается, что впервые современное определение выпуклого множества было предложено Штайницем в 1913 году.

Как отдельная ветвь геометрии выпуклая геометрия возникла в XIX веке, в работах Коши, Штейнера и Минковского. Рождение выпуклой геометрии как новой области математики произошло с выходом книги Минковского (Minkovski H. Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner, 1910). Эта книга повлияла на рождение большого раздела современной математики -- функционального анализа.

Выпуклая геометрия становится модной в тридцатые годы нашего века. В 1934 году выходит монография немецких математиков Боннесена и Фенхеля "Теория выпуклых тел" (Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der Konvexen Korper. Berlin: Springer, 1934), в которой подводятся итоги развития этого научного направления за столетие.

В сороковые годы произошел поразительный всплеск интереса к выпуклости. Он прежде всего был вызван рождением линейного программирования. Задача линейного программирования заключается в нахождении экстремума линейной функции на многограннике (задаваемом конечной системой линейных равенств и неравенств).

Впервые нетривиальные задачи такого рода появились в исследованиях Леонида Витальевича Канторовича в 1939 году. Ему принадлежит первое руководство по этой дисциплине (Канторович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. Л.: Изд-во ЛГУ, 1939). В силу некоторых причин политического характера ему не было позволено активно заниматься этой деятельностью. Следующие главы новой теории долгое время писались за рубежами нашей страны. Мощное развитие линейного программирования, а затем и выпуклой оптимизации в более широком аспекте, началось в Соединенных Штатах Америки в конце Второй мировой войны и сразу после нее. Это было вызвано как проблемами экономики, так и вопросами, которые ставились "военно-промышленным комплексом", в частности задачами управления войсками.

Среди имен крупных ученых, способствовавших стремительному развитию линейного программирования, особенно в его прикладном, экономическом аспекте, необходимо назвать выдающихся математиков -- Канторовича и фон Неймана, а также крупных экономистов -- Леонтьева и Купманса. (За разработку математического аппарата экономической теории и ее приложений Канторович и Купманс были удостоены Нобелевской премии по экономике.)

В этот же ряд безусловно следует поставить и имя американского математика-прикладника Данцига, одной из выдающихся заслуг которого является разработка замечательного алгоритма решения задач линейного программирования, известного как симплекс-метод. Ему же принадлежит первая фундаментальная монография по линейному программированию (Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966).

В 1949 году Фенхель (эмигрировавший в Канаду), прочитал курс лекций, в которых заложил основание теории выпуклых функций. Издание этого курса (Fenchel W. Convex Cones, Sets and Functions. Princeton Univ. Press, 1951) послужило мощным толчком к дальнейшему изучению теории выпуклости. Итоги двадцатилетнего развития теории были подведены в 1970 году американским математиком Рокафелларом (Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973). Тогда впервые и прозвучало это словосочетание. В предисловии к книге ее автор выражает благодарность профессору Принстонского университета А.У.Таккеру и пишет, что "именно профессор Таккер предложил название этой книги". С той поры термин "выпуклый анализ" стал общепринятым.

Отметим еще монографию И.Экланда и Р.Темама "Выпуклый анализ и вариационные проблемы" (М.: Мир, 1979), в которой отражены многие прикладные аспекты выпуклого анализа. Введение в выпуклый анализ и его роль в теории экстремальных задач освещены в монографии А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова "Теория экстремальных задач" (М.: Наука, 1974).

В последующие годы выпуклый анализ обогатился многими достижениями, о которых частично будет рассказано в этой книге.

Начнем с обзора некоторых фундаментальных идей и принципов выпуклого анализа. А заодно расскажем о структуре книги.


Основные объекты выпуклого анализа

Помимо определенных выше двух основных объектов теории выпуклости -- выпуклых множеств и выпуклых функций -- необходимо назвать еще выпуклые конусы и выпуклые однородные функции.

Напомним, что множество в линейном пространстве называется конусом (с вершиной в нуле), если с каждой своей точкой оно содержит и весь луч, исходящий из начала координат и проходящий через эту точку; функция  f называется однородной (первой степени), если f(αx)=αf(x) для любого положительного числа  α. Выпуклые конусы -- это конусы, являющиеся выпуклыми множествами, выпуклые однородные функции (их еще называют сублинейными функциями) -- это выпуклые функции, являющиеся одновременно однородными функциями первой степени. Собственно говоря, теорию выпуклости можно излагать в четырех эквивалентных формах: как теорию выпуклых множеств, выпуклых конусов, выпуклых функций или сублинейных функций. Наибольшее внимание мы будем уделять теории выпуклых функций и множеств (хотя с методической точки зрения проще всего теория конусов).


Двойственность в выпуклом анализе

Одним из важнейших явлений, сопутствующих выпуклости, является феномен двойственности.

Он зарождается уже на уровне самих пространств, в которых рассматриваются выпуклые объекты. Выпуклость определяется в линейном (векторном) пространстве, но наиболее завершенной теория выпуклости становится в пространствах, в которых введена топология, согласованная с понятием выпуклости. "Ареалом" выпуклого анализа, местом его "естественного обитания", являются так называемые локально выпуклые векторные пространства, определенные в середине тридцатых годов фон Нейманом (после того, как Колмогоров ввел понятие линейного топологического пространства). Но мы в нашей книге будем, где это возможно, обходиться без топологических средств.

Совокупность линейных функционалов на основном пространстве (или линейных непрерывных функционалов, если на основном пространстве задана топология), образует сопряженное (двойственное) пространство.

Фундаментальный принцип выпуклого анализа может быть сформулирован так: выпуклые объекты (функции, множества и экстремальные задачи) имеют двойное описание; каждому выпуклому объекту (в том пространстве, в котором он задан) можно сопоставить двойственный объект в сопряженном пространстве; если изначальный объект обладает некоторыми свойствами замкнутости, то он по двойственному объекту однозначно восстанавливается. О том, как происходит восстановление, будет сказано чуть позже, а пока приведем примеры двойного описания выпуклых объектов в конечномерных пространствах.

Так например, выпуклые замкнутые множества на плоскости (или в  n-мерном пространстве) -- это, с одной стороны, совокупности содержащихся в них точек, а с другой -- пересечения содержащих их полуплоскостей (в n-мерном случае -- полупространств). Аналогично выпуклые функции с замкнутыми надграфиками (в этом случае саму функцию называют замкнутой) можно двойственно определить как верхние грани аффинных (линейных плюс константы) функций. Выпуклые замкнутые конусы (конусы мы всегда рассматриваем с вершиной в нуле) на плоскости устроены тривиально -- это углы раствора меньшего или равного $\pi$. Но уже в трехмерном пространстве имеется большое многообразие конусов. Все замкнутые конусы с одной стороны -- объединение составляющих их лучей, а с другой -- пересечения полупространств, границы которых -- плоскости, проходящие через начало координат. Сублинейные функции на прямой также устроены тривиально, а на плоскости имеется уже достаточное их разнообразие. Всюду определенные сублинейные функции можно задать двойственным образом как верхние грани линейных функций.

Проиллюстрируем в обычном трехмерном пространстве еще некоторые простейшие явления двойственности. Скажем, прямая -- это геометрический объект -- совокупность точек. С другой стороны, она является пересечением семейства плоскостей, проходящих через нее. Каждая плоскость задается линейным уравнением. Таким образом, двойственное описание прямой -- это ее аналитическое описание как решения системы равенств.

Сказанное выше (если перевести это на язык анализа) означает, что выпуклые замкнутые конусы можно задать системой линейных однородных неравенств, а любое выпуклое замкнутое множество -- системой линейных неоднородных неравенств.

Здесь и обнаруживается единство геометрического и аналитического подходов к выпуклости: выпуклые объекты определяются и геометрически как совокупности точек, обладающих определенными свойствами, и аналитически при помощи систем линейных равенств и неравенств.


Выпуклое исчисление

Гладкий анализ (дифференциальное исчисление) основывается на исчислении дифференциалов; важнейшая компонента выпуклого исчисления -- это "исчисление" субдифференциалов.

Поясним сказанное. Дифференциал -- это линейная функция, локально аппроксимирующая гладкую функцию (т.е. в некоторой окрестности данной точки). Он является элементом сопряженного пространства, однозначно определяемым производной (или градиентом) функции в этой точке.

Роль линейных функций в выпуклом анализе выполняют сублинейные функции. Они являются верхними гранями некоторого множества линейных функций. Соответствующее (двойственное) множество в сопряженном пространстве называется субдифференциалом сублинейной функции, а его элементы -- субградиентами. Каждая выпуклая функция $f$ локально (в окрестности некоторой точки $\widehat x$) аппроксимируется сублинейной функцией (которая есть производная по направлениям функции f в . Субдифференциал этой сублинейной функции называется субдифференциалом f. дать и непосредственное определение субдифференциала.

Среди основных теорем дифференциального исчисления -- теоремы о сумме, о среднем, о суперпозиции, об обратной функции. В выпуклом анализе существуют аналоги этих теорем и, кроме того, есть некоторые результаты и формулы, которые не имеют соответствующих аналогов в дифференциальном исчислении, например, формула для субдифференциала максимума выпуклых функций.

Началам выпуклого анализа посвящен первый раздел первой главы. Там рассказывается о локально выпуклых пространствах, на которых естественно строится выпуклый анализ, описываются выпуклые объекты, развивается теория двойственности и доказываются основные теоремы субдифференциального исчисления.


Выпуклые экстремальные задачи

В книге затрагиваются традиционные темы для теории экстремальных задач: проблемы существования решений, условия экстремума и алгоритмы.

Выпуклые задачи обладают одной примечательной особенностью: в невырожденных ситуациях (что это значит, будет объяснено чуть позднее) необходимые условия экстремума являются и достаточными.

Теории выпуклых экстремальных задач посвящен второй раздел первой главы.


Конечномерная выпуклая геометрия

Конечномерная геометрия -- колыбель выпуклого анализа. Теория выпуклых множеств началась с теории выпуклых многогранников. Элементы этой теории были заложены Коши (хотя проблема классификации правильных и полуправильных многогранников была поставлена и во многом разрешена еще в античной древности -- в школе Платона, в трудах Архимеда и других).

Коши доказал замечательную теорему о жесткости выпуклых многогранников: если имеются два выпуклых многогранника с конгруентными соответствующими гранями, то сами многогранники конгруентны. Но характер подлинной теории это направление получило в исследованиях Минковского. Он же перешел от многогранников к выпуклым телам. Среди фундаментальных результатов, полученных в XIX и начале XX века, следует назвать теорему Минковского о существовании и единственности многогранника с заданными нормалями и площадями соответствующих граней; формулу Штейнера для объема суммы многогранника и евклидова шара; симметризацию Штейнера, неравенство Брунна--Минковского, теорему о компактности Бляшке и многое другое. Все эти результаты нашли свое освещение в данной книге.

Конечномерная ситуация обладает рядом особенностей, отсутствующих в бесконечномерных пространствах. Одной из них (весьма важной в приложениях) является наличие так называемой "очистки", которая базируется на теореме Хелли -- замечательном результате выпуклой конечномерной геометрии.

Интересные приложения в вопросах выпуклой оптимизации получила теорема Грюнбаума--Хаммера: любая гиперплоскость, проходящая через центр тяжести выпуклого ограниченного тела, разбивает его на два множества. Конечномерной геометрии посвящен третий раздел первой главы.

В недавнее время теория выпуклых многогранников получила новые стимулы для развития. Одним из источников этого явились исследования по разрешимости алгебраических уравнений в многомерных пространствах и по теории дифференциальных уравнений с частными производными. Были обнаружены многочисленные связи выпуклости с задачами алгебраической геометрии. Об этом кратко рассказывается в Дополнении.


Алгоритмы выпуклой оптимизации

Скажем несколько слов о симплекс--методе и о так называемых "методах отсечения".

Симплекс--метод -- это разработанный Данцигом метод целесообразного спуска по вершинам многогранника допустимых элементов в задаче линейного программирования.

Изначальный замысел метода отсечений можно продемонстрировать на примере одномерной задачи гладкого выпуклого программирования.


Приложения

Вторая глава нашей книги посвящена приложениям теории к разнообразным вопросам математики (экстремальным задачам в анализе, теории функций, теории приближений, геометрии), задачам, возникающим в технике и экономике.

Здесь уместно раскрыть некоторые причины большого прикладного значения выпуклого анализа. Одна из главных заключена в тезисе: интегрирование по непрерывной мере порождает выпуклость образа интегрального отображения. Математическим проявлением этого тезиса является теорема Ляпунова о векторных мерах. Существенная доля основополагающих фактов теории классического вариационного исчисления и оптимального управления связаны с этим тезисом (условия Лежандра и Вейерштрасса, принцип максимума Понтрягина и т.п.). А через теорию оптимизации легко объясняется широкий спектр приложений выпуклого анализа к геометрии, теории аппроксимации, теории неравенств и т.д. В экономике типично суммирование многих мелких факторов. Такие суммы естественно аппроксимируются интегралами, и это также дает ключ к пониманию роли выпуклого анализа в математической экономике.

Во второй главе мы показываем, как легко и естественно выпуклый анализ позволяет решать самые разнообразные задачи: доказывать классические неравенства, строить теорию линейных неравенств, доказывать большинство известных неравенств для производных, выводить формулы оптимального восстановления линейных функционалов, решать многие экстремальные задачи геометрии, давать эффективные приложения к проблемам экономики и техники.

Третья глава книги -- Дополнение. В первом разделе доказываются базовые теоремы -- Хана--Банаха, Банаха--Алаоглу, Крейна--Мильмана, Ляпунова и некоторые другие, лежащие в основе математической теории выпуклости. В остальной части Дополнения даются обзоры некоторых аспектов современного развития выпуклого анализа (выпуклого анализа интегральных функционалов, идемпотентного анализа, связей с алгебраической геометрией, некоторых модификаций выпуклого анализа).

Таково вкратце содержание книги.


 Об авторах

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики № 2 Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Автор более 130 научных работ и 4 монографий.
Тихомиров Владимир Михайлович
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, почетный профессор МГУ. Автор более 250 научных работ и более 20 монографий и учебников.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце