URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Белько И.В. Слоеные группоиды Ли и метод Эресмана в дифференциальной геометрии
Id: 15737
 
329 руб.

Слоеные группоиды Ли и метод Эресмана в дифференциальной геометрии. Изд.2

URSS. 2004. 208 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00467-5.

 Аннотация

Основой для исследования геометрических структур на гладких многообразиях служат главные и присоединенные расслоения. Другой подход, предложенный Ш.Эресманом, использует понятие {\it k}-струи и группоида Ли. Группоид Ли позволяет полнее использовать дифференциальные предложения и алгебраические аспекты геометрии. Например, характеристические классы можно строить на основе алгеброидов Ли.

В работе дается развитие метода Эресмана для исследования трансверсальных свойств слоеных многообразий. Основные свойства дифференциальных продолжений обобщены на случай трансверсальных продолжений. Описаны трансверсальные связности высших порядков. Построены характеристические классы алгеброидов Ли. Дано обобщение класса Атьи---Молино, который служит препятствием к существованию проектируемой связности.

Для студентов, аспирантов, научных работников, специалистов по дифференциальной геометрии и топологии.


 Оглавление

Введение
1. Слоения
 1.1.Определения и общие свойства слоений
 1.2.Слоеные отображения
2. Группоиды Ли
 2.1.Определения, примеры и общие свойства
 2.2.Действие группоида Ли
 2.3.Атлас локальных тривиализаций
 2.4.Левые сдвиги и допустимые сечения
3. Алгеброиды Ли
 3.1.Определения, примеры и общие свойства
 3.2.Алгеброид Ли группоида Ли
 3.3.Связности в алгеброидах Ли
4. Слоеные расслоения
 4.1.Расслоения адаптированных и трансверсальных реперов
 4.2.Каноническая форма
 4.3.Лифт слоения
 4.4.Слоеные главные расслоения
 4.5.Слоеные присоединенные расслоения
 4.6.Слоеные векторные расслоения
5. Слоеные группоиды Ли и алгеброиды Ли
 5.1.Определение и свойства слоеного группоида Ли
 5.2.Действие слоеных группоидов Ли
 5.3.Алгеброид Ли слоеного главного расслоения
 5.4.Слоеный алгеброид Ли
 5.5.Соответствие между слоеными группоидами и алгеброидами Ли
6. Трансверсальные продолжения
 6.1.Расслоения трансверсальных реперов высших порядков
 6.2.Трансверсальные продолжения слоеного группоида Ли и его действия
 6.3.Трансверсальные связности высших порядков
 6.4.Алгеброид Ли группоида продолжений
7. Характеристические классы
 7.1.Алгеброидная трактовка гомоморфизма Черна--Вейля
 7.2.Характеристический гомоморфизм
 7.3.Характеристические классы плоских расслоений
 7.4.Характеристический гомоморфизм плоского алгеброида Ли
 7.5.Класс Атья--Молино слоеного алгеброида Ли
Список использованных источников

 Введение

Слоеное многообразие -- это гладкое многообразие вместе с заданным на нем инволютивным распределением. Максимальные связные интегральные многообразия распределения задают разбиение данного многообразия на слои. Слоения впервые появились в работах Ж.Риба и Ш.Эресмана в начале пятидесятых годов. Важные результаты были получены А.Хефлигером и С.П.Новиковым. В последующие десятилетия теория слоений интенсивно развивалась, в особенности -- ее разделы о характеристических классах, о качественной теории, о специальных классах слоений. Наличие слоения на многообразии значительно обогащает свойства дифференциально-геометрических структур на этом многообразии. В свою очередь, такие структуры используются при изучении свойств слоений. Примерами плодотворности такой связи служит теория римановых слоений, изложенная в монографии П.Молино, (см. [Мо1]), симплектическая геометрия (см. [Vai3) и др. Важные классы структур на слоеных многообразиях интенсивно изучаются до настоящего времени в различных аспектах. Среди свойств слоений особо выделяются трансверсальные свойства. Трансверсали на слоеном многообразии заменяют собой базу. Их можно включить в определение слоения. При таком построении слоения с помощью локальных проекций на многообразие, наделенное дополнительными структурами, получаются слоения с выделенными трансверсальными свойствами: трансверсально параллелизуемые, ориентируемые, симплектические, контактные, римановы, однородные и др. Таким классам структур посвящены многие современные исследования.

Важным свойством слоеного многообразия является наличие индуцированного слоения на расслоениях, которые получаются с помощью трансверсальных продолжений. Этот функтор особенно важен в геометрических исследованиях. Первым примером расслоения с индуцированным слоением служит главное расслоение трансверсальных реперов. Основой для исследования геометрических структур обычно служат главные расслоения. Однако, согласно общей идее Ш.Эресмана, более предпочтительным является подход, основанный на использовании группоидов Ли. При таком подходе более естественно можно использовать псевдогруппу автоморфизмов структуры, в которой заключены свойства самой структуры. Более того, группоидный подход позволяет удобнее и полнее использовать идею джет-продолжений. Примером такого изложения может служить работа Нго ван Ке ([NvQ]). Еще один довод в пользу группоидов базируется на том, что теория группоидов Ли во многом аналогична глубоко развитой теории групп Ли. В частности, появляется возможность использования таких фундаментальных понятий, как алгеброид Ли, экспоненциальное отображение и др. Изложение основ дифференциальной геометрии, использующее группоиды и алгеброиды Ли, приведено в монографии К.Маккензи (см. [Mack]).

Одной из наших задач является построение аппарата для исследования трансверсальных свойств структур на слоеных многообразиях. Основным объектом при этом является слоеный группоид Ли, который имеет своим аналогом известное понятие слоеного главного расслоения. Структура слоеного группоида Ли естественно возникает, например, в группоиде трансверсальных k-струй слоеных локальных диффеоморфизмов слоеного многообразия. Группоид Ли линейных изоморфизмов слоев слоеного векторного расслоения также наделяется слоеной структурой. Пространством представления (или действия) группоида Ли служит расслоение. Слоеная структура в группоиде Ли наделяет пространство представления структурой слоеного расслоения. При переходе к трансверсальным продолжениям слоеного группоида Ли и его пространства представления слоеные структуры сохраняются. Трансверсальные дифференциально-геометрические структуры возникают в виде сечений расслоений, присоединенных к трансверсальным продолжениям слоеных группоидов Ли. Здесь естественно возникает проблема обобщения свойств дифференциальных продолжений. Трансверсальные свойства геометрических структур впервые изучались в работах П.Молино (см. [Мо2]) и П.Либерманн (см. [Lib]). Категорный подход к определению слоеных и присоединенные структур предложен в работе Р.Волака (см. [Wol]). Среди геометрических структур особое внимание привлекают связности. Развивая идеи Ш.Эресмана и П.Либерманн, мы описываем трансверсальные связности высших порядков, основываясь на продолжениях группоидов. Для связностей в векторных расслоениях устанавливается связь с классическим определением. Слоеная структура в группоиде Ли находит свое отражение в соответствующем алгеброиде Ли. Одной из наших задач является введение и изучение слоеной структуры в алгеброиде Ли. Мы даем также конструктивное описание для алгеброида Ли, который соответствует группоиду Ли трансверсальных продолжений.

Важный раздел теории слоений -- это теория характеристических классов слоений, бурное развитие которой началось в семидесятые годы. Основы этой теории и различные подходы к ней даны в работах Бернштейна и Розенфельда, Ботта и Хефлигера, Камбера и Тондера, Молино и др. Детальные обзоры по этой теме проделаны Д.Б.Фуксом (см. [Фу1], [Фу2]) и Крэйовяну--Пута (см. [Сr-Р]). Сохраняя общую идею метода, мы строим подход к характеристическим классам на основе алгеброидов Ли. Среди исследований по этому направлению можно отметить построенную К.Маккензи (см. [Mack]) теорию когомологий алгеброидов Ли, когомологии расслоения алгебр Ли ([Ki-Pr]), а также построение Я.Кубарским (см. [Kubl], [Kub2]) гомоморфизма Черна--Вейля. В терминах алгеброидов Ли мы строим гомоморфизм Черна--Вейля, а затем даем конструкцию этого гомоморфизма для алгеброида Ли. Построенный Камбером--Тондером (см. [К-Т 1]) характеристический гомоморфизм плоского главного расслоения с редукцией мы обобщаем на случай слоеного алгеброида Ли. С помощью когомологий Рейнхарта П.Молино (см. [МоЗ]) построил препятствие к существованию трансверсальной проектируемой связности. Его констpyкция допускает обобщение на случай слоеного алгеброида Ли. При построении соответствующего класса Атья--Молино мы используем когомологии чистых базовых форм на слоеном алгеброиде Ли со значениями в присоединенном расслоении алгебр Ли.


 Об авторе

Иван Васильевич Белько

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Белорусского государственного экономического университета. Автор более 60 печатных работ, среди которых ряд учебных пособий по высшей математике. Соавтор книги "Сборник задач по дифференциальной геометрии для университетов", переведенной на четыре европейских языка.


 Страницы

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце