|
Оглавление
От автора
Симметрические пространства, открытые в 1925–1926 гг. П.А.Широковым и Э.Картаном, оформились к настоящему времени в глубокую и богатую приложениями теорию. В последние годы появилось много различных обобщений симметрических пространств. Понятие пространства с симметриями, введенное в настоящей книге, позволяет охватить одной схемой все разновидности симметрических пространств и многие их обобщения. Среди пространств с симметриями наиболее естественно и близко к симметрическим пространствам примыкают периодические однородные пространства и введенные Н.А.Степановым регулярные Ф-пространства. В настоящей книге эти пространства подвергаются детальному исследованию. Особое место занимает вторая глава, написанная под впечатлением книги О.Луса "Симметрические пространства". Лус показал, что теория симметрических пространств может быть построена по той же схеме, что и теория групп Ли. В частности, можно ввести аналоги подгрупп, фактор-групп, алгебры Ли, корневой системы и т.д. В настоящей книге показано, что эту идею можно реализовать и для более широких классов однородных пространств. Э.Картан классифицировал симметрические однородные пространства с простыми компактными основными группами. Позже эта задача была решена для всех простых групп. В данной книге получена классификация периодических однородных пространств произвольного порядка с простыми основными группами. Для чтения настоящей книги необходимо знакомство с основными понятиями теории групп Ли и некоторыми понятиями современной дифференциальной геометрии, например, в объеме первых трех глав книги С.Хелгасона "Дифференциальная геометрия и симметрические пространства". В терминологии и обозначениях мы следуем в основном книге С.Хелгасона. Знак О отмечает конец доказательства теоремы. Список литературы в конце книги содержит только цитируемые источники и не претендует на полноту. В заключение выражаю глубокую благодарность профессору Московского университета А.М.Васильеву, прочитавшему рукопись книги и сделавшему ряд ценных замечаний. Из введения
§ 1. Симметрические пространства В 1925 г. П.А.Широков [64] поставил вопрос об изучении римановых пространств с ковариантно постоянным тензором кривизны. В настоящее время такие пространства называются римановыми локально-симметрическими пространствами, так как они характеризуются следующим свойством: геодезическая симметрия в окрестности каждой точки является изометрией. В 1926 г. к римановым локально-симметрическим пространствам пришел Г.Леви [97, 98]. В том же году в работе Э.Картана и И.Схоутена [82] появились аффинные локально-симметрические пространства. В серии работ [74–81], написанных в период с 1926 по 1930 г., Э.Картан построил глубокую и перспективную теорию симметрических пространств. По своим геометрическим свойствам симметрические пространства непосредственно примыкают к классическим пространствам – евклидову, неевклидовым, аффинному. С алгебраической точки зрения важная роль симметрических пространств состоит в том, что их теория тесно смыкается с теорией полупростых групп Ли. Благодаря этому имеется возможность взаимодействия алгебраических и геометрических методов исследования. В частности, вопрос о локальной классификации симметрических римановых пространств оказался равносильным задаче перечисления всех конечномерных вещественных простых алгебр Ли, которая была решена Э.Картаном еще в 1914 г. [73]. Большой вклад в изучение псевдоримановых симметрических пространств внес П.А.Широков. Им найдены все конформно-евклидовы симметрические псевдоримановы пространства [65], исследованы симметрические гиперповерхности псевдоевклидовых пространств [67], изучены проективно-евклидовы симметрические пространства [66], построена тригонометрия унитарных симметрических пространств [68, 69]. Целый ряд симметрических псевдоримановых пространств изучил А.П.Широков [61–63]. Естественным дополнением к классификации Э.Картана симметрических римановых пространств с простыми группами изометрий явилась классификация псевдоримановых симметрических пространств с простыми группами изометрий, полученная в работах Б.А.Розенфельда [30], А.С.Феденко [43, 45] и М.Берже [70]. В работе [74] Э.Картан показал, что все неприводимые римановы симметрические пространства обладают полупростыми группами изометрий. Там же был дан пример неприводимого псевдориманова симметрического пространства с разрешимой группой изометрий. В работах А.С.Феденко и В.Т.Воднева [56, 57] показано, что группы изометрий пространств П.А.Широкова [65, 67] также неполупросты. Симметрические псевдоримановы пространства изучали В.В.Астраханцев [1, 2], М.Каэн, М.Парке, Н.Уоллах [71, 72] и др. Следует заметить, что проблема классификации псевдоримановых симметрических пространств далека от своего полного решения. В 1962 г. вышла на английском языке и в 1964 г. переведена на русский язык книга С.Хелгасона [58], где впервые дано систематическое изложение теории симметрических пространств и приведена обширная библиография. В 1969 г. появилась книга О.Луса [104, 105], в которой теория симметрических пространств строится по аналогии с теорией групп Ли. Обзор работ по симметрическим пространствам, вышедших за последние десять лет, содержит статья В.И.Ведерникова и А.С.Феденко [15]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||