Пантаев М.Ю. КОМПЛЕКТ:
Матанализ с человеческим лицом, или Как выжить после предельного перехода: Полный курс математического анализа. В ДВУХ ТОМАХ

Том 1. Оглавление

Том 2. Оглавление

Предисловие, адресованное не верящему в математику

Интересные метаморфозы случаются под луной! Вот, живешь, живешь и вдруг – выпускаешь в свет книгу по математике. Чудеса, да и только! Но нельзя сказать, что я сильно этого хотел. Ни при чем здесь моя личная воля. Обстоятельства потребовали, и книга – вот она.

Некоторое время назад я оказался перед необходимостью читать полноценный курс математического анализа лицам, не имевшим особого интереса к математике. Как я ни пытался (в течение ряда лет), решить задачу не получалось. Всё в конечном итоге сводилось к тому, чтобы с пеной у рта разъяснять тонкие материи (вроде формулы Тейлора), а потом ставить пятерку за списанную со шпаргалки таблицу производных. Дальше этого дело не шло. Обратная связь отсутствовала: ничего адекватного затраченным усилиям я как лектор взамен не получал.

Покинув достойный храм, я задумался: возможно ли, хотя бы на расстоянии (безопасном), представить себе идиллическую картину того, "как бы это могло быть"?

Что "это"? Преподавание? Обучение?.. Покоя не давал вопрос: как сделать, чтобы студенты понимали больше? Может быть, для этого нужно как можно больше вложить в их головы в готовом виде? И разъяснить всё?..

Хотите, верьте, нет – проверьте, но я действительно загорелся такой идеей и решил: им нужна книга. Они ведь ничего не читают, и отношение студента к книге можно сравнить только с отношением к этому предмету Ивана Федоровича Шпоньки из повести Гоголя. А характерной чертой учебника математики считается именно отсутствие человеческой речи на страницах, которые испещрены немлекопитающими существами вроде скорпионов и сколопендр. "Нет, нам не нужна математика совсем без формул, – говорят с пониманием ученики, – но должна же где-то быть середина? Пусть не золотая, но... Чтобы книгу можно было читать, а не только заучивать наизусть (перед экзаменом), и чтобы это вместе с тем был учебник!"

Моим ответом на эту растерянность и является настоящий курс. Он, в известной степени, возник из воспоминаний обо всех трудностях, которые испытывали студенты у меня на глазах (а я стоял... растерянный, не умея им помочь).

Люди проницательные давно заметили, что предисловие, в сущности, есть послесловие: никто не начинает писать книгу с этого. И, как следствие, приходится в предисловии говорить о том, что ты хотел сделать, но, по многим причинам, не смог.

"Читать математическую книгу? – возмутятся нынешние шпоньки. – Разве это детектив? Не по чину!" Поначалу мне казалось: студента от книг по анализу отвращает современный стиль изложения, который даже лет пятьдесят назад был немного иным. Чувствовалось дыхание чего-то таинственного, неизведанного – и было интересно, кипели споры. Теперь же речи о тайне нет: неясности оставлены за кадром, общую картину заслонили технические подробности, а дух неведомого вытеснен в иные сферы. Педагоги, преподающие математику, твердят, что изучать ее очень нужно, но интерес, любопытство пробудить – не могут и не хотят. Мало выходит разъясняющих книг по анализу, который очень даже нуждается в разъяснениях начинающему. И в результате скачок от школьной математики к институтской оказывается слишком серьезным. Дети не понимают языка "epsilon-delta", а ведь это вовсе не последнее достижение "математической строгости". Строгость, как правило, означает sapienti sat – иными словами, тот предел, за который переступать "неразумно". И он у каждого свой.

Задача поэтому состояла в том, чтобы дать книгу – в высшей степени эмоционально окрашенную – для чтения, а не бездушный справочник, пригодный разве что для раздирания на шпаргалки. В математических книгах всегда различимы два голоса: один – сбивчивый, человеческий, пытающийся хоть что-то объяснить простым языком; второй – хорошо поставленный, строгий, намекающий, но не идущий навстречу: "Ах, вы не поняли... Так математика не всем доступна". И нужно было везде, где возможно, выявить первый голос и свести к минимуму второй. Стилистические особенности предлагаемой книги (и отбор материала) обусловились желанием чаще показывать человеческое лицо некоронованной царицы наук. Хотелось не просто переписать готовый блок определений-теорем и составить свод формул в рамках, а попробовать создать толковник, помогающий всё осмыслить; не просто постулировать: "это – так", но и объяснять, по мере возможного, почему так. Воображение занимал максимальный курс анализа – не в смысле широты охвата тем, а по объяснениям всего, что туда вошло: почему синус – "синус" и производная – "производная". Откуда, зачем и почему – именно так. И могло ли быть – иначе... "Толковый курс математического анализа" – вот было бы удачное название. Не потому, что остальные – бестолковые, а потому что он всё истолковывает. Пытается, по крайней мере... Конечно, не только и не столько в этимологиях суть. Поможет ли школьникам, томящимся над геометрическими задачами, знание того, что катет в переводе с греческого значит "боковик", а гипотенуза – "натянуха"? Едва ли. Интерес к этим толкованиям возникнет, скорее всего, у того, кто и так увлечен предметом. А почему он увлечен? Это уж Бог знает...

Идеальным изложением материала представлялось такое, при котором главные действующие лица – предел, производная, интеграл, ряд – вводились бы на первых же страницах, с использованием минимальных знаний читателя. Вводились, чтобы ими можно было всё время оперировать в рассказе. Книгу приятнее читать, если ты примерно знаешь, о чем пойдет речь впереди. Тогда понятно, на что нужно обращать внимание. Ни одна интересная книга не обходится без "забеганий вперед". Учебник математики не исключение (если он хочет быть книгой, а не орудием пытки).

Так называемая математическая строгость слишком часто оборачивается средством отпугнуть, сделать математику непонятной "нормальному человеку". Между тем, идеал математической строгости недостижим и не может быть единственной целью изучения предмета. Ведь адресат (предполагаемый читатель) данной книги – человек, отчасти напуганный математикой (а таково большинство студентов технических вузов средней руки), которому я хотел бы протянуть... гм... руку помощи. Нежную, понимающую руку. Еще Паскаль заметил: "Предмет математики настолько серьезен, что надо стараться при каждом удобном случае делать его занимательнее".

Принимаясь учить математике будущего инженера, мы должны спросить себя: а что такое математика? Не вообще, но именно в данном случае? В нашем распоряжении будет классическое определение: "Говорить "математика" значит говорить "доказательство"". Применимо ли оно к математическому образованию нематематиков? Наверное, не стоит торопиться и объявлять случай исключительным; но под доказательством здесь можно понимать не только (и не столько) доказательство чистых теорем, а доказательство того, что данную прикладную задачу нужно решать именно этим методом, используя именно эту формулу... Да, невозможно избежать вопроса: чем будущий использователь математики принципиально отличается от математика-профессионала? Не тем же, что он "прошел" ее и тут же забыл. Он ведь должен что-то помнить. Что же? Теоремы существования? Нет. Формулу объема шара? Желательно, конечно; но, с другой стороны, любую формулу можно отыскать в справочнике, даже не изучая математики. Чем же все-таки? Может быть, тем, что не сомневается в существовании таких вещей, как площадь у любой плоской фигуры, объема у тела и, как следствие, массы, плотности, центра тяжести, интересуясь только тем, как вычислять эти величины?

Такое понимание, пожалуй, уже не заслуживает язвительной критики. Однако... не хотелось бы приводить здесь примеры неудачного применения математики в народном хозяйстве. О чем говорят неудачи? О том, что иногда человек, "изучавший математику" и знающий формулу, хуже здравомыслящего человека, не знающего ее, который, по крайней мере, не станет применять ее необдуманно там, где она неприменима. Таким образом, пользователь математики должен быть – прежде всего – мыслящим существом, а не роботом, набитым формулами. Но тому, кто мыслит, вполне может прийтись по вкусу "книга для чтения". И надо дать ему пособие, призванное хотя бы отчасти имитировать диалог учителя и ученика, без которого мало чему можно действительно научиться. "Сократический метод" – не литературная уловка Платона, а единственно возможная "помощь природе" в приобщении нас к знанию; это род повивального искусства, делающего возможным появление того, чего раньше не было.

Предлагаемый Курс анализа задумывался как необходимое подспорье лектору, преподающему предмет в техническом вузе; как настольная книга студента, не успевающего "догнать" лектора в аудитории и желающего не торопясь во всём разобраться; готового вникнуть в объяснения, даже если они изложены достаточно подробно. Ведь пока неизвестно, существует ли "оптимальный метод" обучения математике нематематиков. Прежде всего, потому, что слишком неоднороден и индивидуален сам обучающийся. Да, будущие инженеры не любят доказательств. Но они подозрительны и недоверчивы, как каждый русский человек, привыкший к тому, что его обманывает начальник (и не только). Поэтому хорошо, если все утверждения будут сопровождаться хоть какими-то доказательствами: иногда – совершенно строгими, иногда – уступающими место эвристическому рассуждению; в отдельных глубоких местах целью должно было стать – донести до читателя хоть что-то. Нельзя даже будущих инженеров учить математике как кулинарии, как вещи, которая исключительно "прилагательна" – ведь наука наша есть часть общечеловеческой культуры, и от этого никуда не деться.

Всё же составителю хотелось бы думать, что нижеследующее изложение не оскорбит и взыскательный вкус. Сей труд вполне можно использовать как учебное пособие: необходимое изложено в нем обычным порядком (а места, где мы во что-то "углубляемся", можно без ущерба – для чего? – пропустить). Мало того: подчас речь заходит о вещах, которые никогда не будут интересовать "будущих инженеров". Обсуждается, например, доказательство непрерывности показательной (и логарифмической) функции, хотя студентам "со школьной скамьи" известно, как выглядит показательная кривая. Мы говорим об этом, чтобы читатель понял: это (графики) – твердая почва, и мы действительно имеем право рисовать показательную и логарифмическую кривые сплошной линией.

Кто-то считает, что "им" это не нужно? Извините. Если им не нужны объяснения, то зачем им вообще нужны какие-либо доказательства? И весьма достойная задача состоит в том, чтобы объяснить и "им", какую науку они изучают, в чем состоит анализ. Объяснить, что от умения вычислять log₂4 или log₂8 еще довольно далеко до понимания, что такое функция log₂x, и ниоткуда не следует, что для всех чисел между 4 и 8 сам log₂x определен и может быть найден. Ведь пока они это умеют только для log₂4 и log₂8. Дайте обычному школьнику задачу: "решить уравнение 2_x = 5", и вы увидите, что он в растерянности: "А разве так бывает?" – спросит он. "Мы должны самым решительным образом осудить грубый утилитаризм, игнорирующий высшие принципы обучения" [1]*. Итак, у обучения, оказывается, есть "высшие принципы". Не станем забывать об этом!

Есть, конечно, и другой взгляд на образование: "Бедная наша школа. Такая самодовольная, такая счастливая в убожестве. "Уже проходим алгебру" (с сопляками, не умеющими утереть носа)" [2]. Но если бы составитель придерживался подобного взгляда на естественные науки, настоящей книги никогда бы не было ("И к лучшему!" – скажет кто-то...). Нет, он не смешивает понятия, но не представляет себе такого "пользователя математики", который, якобы, хорошо умеет интегрировать, ничего не зная об основах изучаемой науки. Человек, который что-то знает, всегда стремится вглубь, дальше поверхности – только это поможет ему знать и уметь больше. Составитель так думает. Ведь, по словам Аристотеля, все люди от природы стремятся к познанию...

Причина же этому та, что каждое творенье имеет склонность к собственному совершенству; и так как познание есть высшее совершенство нашей души и в нем заключено наше высшее блаженство, все мы от природы стремимся к нему. Тем не менее многие лишены способности совершенствоваться по разным причинам, которые, как внутри человека, так и вне его, отвращают его от научного призвания. Внутри человека могут быть изъяны и помехи двоякого рода: одни со стороны тела, другие со стороны души. Со стороны тела – когда его части не обладают должным предрасположением, почему оно и не может ничего воспринять, как это бывает у глухих и немых. Со стороны души – когда в ней преобладает зло, почему она становится приспешницей порочных наслаждений, которые настолько ее обманывают, что она изНза них презирает всё на свете. Равным образом и вне человека можно обнаружить две причины, одна из которых приводит к вынужденному уходу от источников знаний, а другая – к небрежению ими. Первая – это семейные и гражданские заботы, приковывающие к себе, как и полагается, большую часть людей, которые поэтому и не могут пользоваться досугом для размышлений. Другая – это непригодность к занятиям того места, в котором человек родился и вырос, ибо в нем иной раз никакой Высшей школы не существует, и никого из ученых людей даже издали не увидишь [3].

Работу по составлению Курса (как некогда чтение лекций) вдохновляла главная цель: сберечь свободную мысль, независимое исследование, вольное математическое рассуждение. Постоянным аккомпанементом было обращение: "Разве это плохо: на два–три часа в неделю выключаться из суетного, безумного, алогичного мира и отдыхать в мире ясности, четкости, логики – в мире математики?" Известный английский математик Г.Харди считал математику анестезией, не имеющей себе равных. И, соответственно, задачу свою я видел не в том, чтобы прочитать как можно больше (но тогда мне всё равно не сравняться с толстопузыми волюмами), а в том, чтобы изложить материал так, чтобы он дошел и внушил определенное представление как о математике, так и о логическом мышлении (если нам некогда штудировать "Начала" Евклида). Хотелось написать обо всем не сухо и строго, а так, чтобы хотя отчасти приблизить математику к читателю, пусть и далекому от нее, но вынужденному ее изучать и желающему иметь в своем распоряжении не только справочник, из которого можно выдергивать непонятные формулы для выполнения "расчетных работ", но и книгу для чтения, способную помочь ему понять, с какой поразительно красивой областью он столкнулся. Кто сказал, что о математике нужно писать скучно и нудно? Кто сказал, что учебник, написанный с претензией на то, что его будут читать, это нонсенс? Напротив: "Пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка, не всегда разумно" [4]. Даже творцы самых непробиваемых курсов признавали, что лишенный вольности речи математический текст рискует стать педантичным и даже трудно читаемым. Автора идеального учебника математики надо представлять себе человеком с кусочком мела, а текст книги – живым рассказом, рождающимся здесь и теперь и прерывающимся выкладками на доске.

Удался ли мне такой "толковник", какой задумывался? Да, попытка была, но ведь растолковать всё нельзя, задача должна быть скромнее: пробудить читателя, наставить на путь. А растолковывать, конечно, приходится у доски – и разбираться по ночам, сидя над формулами...

Ученью не один мы посвятили год,
Потом учить других пришел и нам черед;
Какие ж выводы из этой всей науки?
Из праха мы пришли, нас ветер унесет [5].

У читателя, конечно, предполагаются известные начальные познания в анализе. Но особенно желательно наличие "здравого смысла" и навыков чтения. Ведь пользу (и удовольствие) от математической книги можно получить только в том случае, если ты читал и другие книги, интересовался и смежными вопросами, относящимися, так сказать, к области разума. Поэтому я не считал для себя зазорным выходить иногда в эти смежные области. В книге есть отступления, но говорит это не о неспособности составителя держаться позвоночного столба, а о его отзывчивости и внимательности к каждому факту, который всегда содержит в себе нечто большее. Изложение эмоциональное, полное объяснений и экскурсов вначале, становится более темперированным в дальнейшем, когда читатель уже окончательно освоится с ситуацией, с тем, куда он попал. Возможно, многое поначалу вызовет отторжение, но по мере продвижения... Надеюсь, вы поймете. Одним словом: "Когда мне было десять лет, папа был таким скучным, но когда мне стало двадцать лет, папа заметно поумнел" [6].

Работая над этим предисловием, приходилось останавливаться на каждом шагу, говоря себе, что не стоит предаваться столь малопочтенному занятию – ломиться в открытые двери. Ведь всё это давным-давно известно, и на русском языке имеются прекрасные книги, разъясняющие и что такое математика, и как ей лучше всего учить, и как ее лучше всего изучать. (Надо сказать, что русская математическая литература XX века – достойная продолжательница русской классической литературы века XIX. И это не гипербола, не преувеличение.) В чем же дело? Почему это хорошо известно в математических центрах, но не доходит до потребителя на периферии (математического образования)? Или, может быть, надо просто снова напомнить об этом? В конце концов, было решено, что это совсем даже не то предисловие, в котором словоохотливый автор не может сдержать фонтаном бьющие из него истины – это уже подготовка к тому чтению, которое ожидает каждого, кто пожелает пойти дальше предисловия.

Повторяю: эта книга едва ли предназначена для будущих математиков. С точки зрения выпускника мехмата МГУ, воспитанного в духе Бурбаки, слишком многое здесь небезупречно. Держитесь подальше, друзья! "Извените меня неука за то, что мешаюсь в ваши ученые дела и толкую по-своему по старчески и навязываю вам свои дикообразные и какие-то аляповатые идеи" [7].

Всё же нежелательно, чтобы в предисловии – и тем более во всей книге – нашли претензии; верьте, я смирял себя, но сколько можно сдерживать свои желания? И книга росла... Нужно было составить учебник не "вообще", а учебник для "них", для тех, кто вынужден изучать математику из-под палки (пусть задача и казалась безнадежной). И сделать это так, чтобы им не было больно с первой страницы. Почему надо писать для них книгу? "Не здоровые нуждаются во враче, но больные". И составитель просит прощения у т.н. серьезного читателя за краткие сведения биографического (или анекдотического) характера о математиках, чьи теории излагаются: их тоже можно пропустить без ущерба для... Чего? Трудно ответить. Не забывайте, что, в сущности, у этой книги 100 или 200 авторов, и работа состояла только в том, чтобы отобрать отвечающее нашим целям [8]. Как говорится: "Списал у одного – плагиат, у двух – компиляция, у трех – реферат, у четырех – диссертация". Преклоняясь перед авторами классической научно-популярной литературы, умевшими рассказывать школьникам о довольно трудных разделах высшей математики, я старался следовать им в том, чтобы, не усложняя инструментария, все-таки составить книгу по анализу. Уровень строгости рассчитан на тех, с кем мне приходилось сталкиваться в жизни, – на людей, для которых математика никоим образом не была идеалом. Если писавшие статьи для журнала "Квант", желая о чем-то рассказать, не отходя от школьной программы терминологически, могли, по крайней мере, полагаться на то, что высоколобый школьник будет следить за их сколь угодно замысловатыми рассуждениями, то в данном случае этой посылки не было: составитель знал, что ему-то нельзя усложнять. И, приступая к написанию книги, он, прежде всего, должен был убить в себе тщеславную претензию на то, что сможет доказать всё. Данный курс имеет скрытый подзаголовок Дом на песке, который должен указать и будущему инженеру, на чем мы строим, чтобы он знал, что и математика начинается там же, где все прочие дела человеческие: в темноте и безымянности, где нет ни одной твердой точки, но несмотря на это достигает истинного величия.

Что же получилось в итоге? Рассказывая материал воображаемым слушателям, я быстро убедился в том, что, вопреки задекларированным выше установкам, рассчитываю на очень терпеливого читателя, любящего цитаты на иностранных языках, мало того – безусловно интересующегося математикой, а вовсе не напуганного ею. Ибо не было у меня иного метода, кроме как пересказа запомнившихся кусков из лучших книг и того же журнала "Квант". Записав (худо-бедно) эти рассказы, я понял, что, во-первых, разумеется, не должен считать себя автором данной книги (поскольку 90  во-вторых, должен считать себя ее автором, потому что, взяв экологически чистые продукты, сварил из них суп, который еще неизвестно можно ли взять в рот. И снова хочется повторить: предисловие – послесловие.

Беспокоит меня и другой вопрос: как быть с интеллектуальной собственностью, которую я использовал в корыстных целях – для написания двухтомной книги объемом более 700 страниц? Давать ссылку к каждому абзацу (а иногда и предложению)? Нужны ли учащемуся (для которого, надеюсь, и предназначен учебник) эти подробности? Всё же, подобно маркизу де Лопиталю, который написал некогда курс анализа по лекциям своего учителя И.Бернулли, я не смог подавить желания пересказать то, что узнал от других. Этим другим, 200 авторам, и был бы посвящен сей труд, если бы... у него уже не было иного посвящения...

Что до формальной стороны, то я не стремился скрупулезно нумеровать все формулы, теоремы, утверждения (что считается обязательным в математических книгах – наряду с систематическим использованием слова "очевидно"). Надеюсь, ссылки, дающиеся в тексте, достаточны, чтобы быстро отыскать нужное место. И я не смог везде контролировать себя настолько, чтобы следить, чем является фрагмент текста: определением, теоремой или просто текстом. Некий циник сказал, что никто не читает математических доказательств. И поскольку, мне думается, книга всё же для кого-то написана, можно взять свои меры и не долдонить каждый раз: "определение, теорема, доказательство". Невозможно всё время заниматься буквоедством. Но поскольку книга претендует и на то, чтобы служить учебником, доказательства утверждений обычно идут сразу вслед за формулировками. Весьма действенным является использование курсива, позволяющее прямо в строке выделить то, что заслуживает выделения: понятие, вводимое впервые, важный результат и т.д.

В книге содержится и небольшое количество задач (незачем было увеличивать их число перед лицом прекрасных, очень полных сборников): они носят иллюстративный характер и рассчитаны, прежде всего, на сообразительность и изобретательность (надо надеяться, не сверхъестественную), хотя не исключается и простое применение изложенных результатов. Главное: ко всем задачам имеются (более-менее обстоятельные) решения. Составитель не поленился, да. Он знает, что студент не любит решать задачи, а преподаватель любит. Поэтому...

Выражаю благодарность своим студентам М.Е.Далматову и О.А.Дороговой, прилежно записывавшим все лекции и предоставившим в мое распоряжение полные их конспекты.

Считаю необходимым предупредить: данная книга не рекомендуется надутым педантам, унылым прагматикам и лицам, которым некогда. А также водителям за рулем.

Поскольку удлинить это предисловие уже почти невозможно, закончу его страстным гимном, написанным в эпоху возрождения европейского человечества и носящим название

Тем, кто бранит математику

Чем чаще слышу я хулу
На эту дисциплину,
Тем громче ей пою хвалу...
Ее я не покину.

Числом любителей она
Не может похвалиться,
Хоть, как всё редкое, должна
Людьми весьма цениться.

Наука эта с юных дней
Не будет сердцу милой,
Коль небо в вас наклонность к ней
С рожденья не вселило.

Но вы поймете, господа,
Ее очарованье,
Вступив на трудную всегда
Стезю образованья.

Узнав небесных тел пути,
Нам хочется, конечно,
Истоки их красы найти
Сияющей, извечной.

Всю подноготную понять
Механики небесной –
Ужели может ум занять
Загадка интересней?

Кто не учен – те лишены
Завидного уменья:
Светил – и солнца и луны
Предсказывать затменья,

Определять, когда назад
Воротится комета,
Иль вычислять объемов ряд...
Заманчиво всё это!

Хвалить науку мне сию
Нет надобности, впрочем,
Хотя пример я подаю
До знанья неохочим.

Ведь толку от моих похвал,
Наверное, не будет:
Те, кто науку не познал,
О ней неверно судят.

Невежда пялится тупой
На сонмы звезд лучистых,
Не больше смысля, чем слепой –
В ландшафтах живописных.

А тот, кого влекут мечты,
Наукой умудренный,
На землю с горней высоты
Взирает восхищенно.

Сию науку небеса
Послали, очевидно,
Чтоб объяснить все чудеса
Махины шаровидной.

Величье Бога осознать
Наука та поможет,
А всем безбожникам – прогнать
Сомненье, что их гложет.

Об авторе

Московский преподаватель математики. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Область научных интересов: перспективы обучения математике нематематиков. Автор и соавтор пособий для школьников и студентов "Практикум по алгебре", "Практикум по планиметрии", "Задачи вступительного экзамена по математике в 2000 г. в Московский технический университет связи и информатики"; статей, посвященных вопросу математического просвещения, таких как "О преподавании математики нематематикам", "Душа учителя", "Снегопад", "Проклятая математика" и т.д., а также других сочинений на актуальные темы.