Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд. стереотип.

---

Предисловие к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к третьему изданию
Введение. Постановка задач теории конечных разностей
		1.	Задача интерполяции
		2.	Суммирование функций и уравнения в конечных разностях
		3.	Постановка задач теории конечных разностей для аналитических функций комплексного переменного
Глава I.	Задача интерполяции
	§ 1.	Общая постановка проблемы интерполяции
		1.	Понятие разделенных разностей
		2.	Формула Лагранжа
		3.	Формула Ньютона
	§ 2.	Многочлены Чебышева
	§ 3.	Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого переменного
		1.	Первый вывод формулы Ньютона
		2.	Второй вывод формулы Ньютона
		3.	Понятие обобщенной степени
		4.	Примеры
	§ 4.	Различные представления разделенной разности в общем случае расположения узлов интерполяции
		1.	Первое представление разделенной разности
		2.	Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции
		3.	Третье представление разделенной разности и формула Эрмита
	§ 5.	Интерполяционный процесс при треугольной таблице
		1.	Постановка задачи и основные формулы
		2.	Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом
		3.	Основные теоремы о представлений функций общим интерполяционным рядом
	§ 6.	Приближение функций
		1.	Постановка задач и свойства непрерывных функций
		2.	Приближение функций многочленами
		3.	Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С.Н.Бернштейна
		4.	Многочлены С.Н.Бернштейна и их обобщение
		5.	Приближение функций многочленами в комплексной плоскости. Многочлены Фабера
	§ 7.	Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскости
Глава II.	Ряд Ньютона
	§ 1.	Вспомогательные предложения
		1.	Некоторые часто встречающиеся оценки
		2.	Гамма-функция, ее определение и основные свойства
		3.	Асимптотическое представление Г(z)
		4.	Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций
		5.	Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области
		6.	Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции
		7.	Плотность последовательности и показатель сходимости
	§ 2.	Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3
		1.	Абсцисса сходимости
		2.	Свойства функций, представляемых рядом Ньютона
		3.	Разложение аналитических функций в ряд Ньютона
	§ 3.	Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции
		1.	Область сходимости ряда Ньютона
		2.	Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости
		3.	Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности
		4.	Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел
Глава III.	Построение целой функции с заданными элементами
	§ 1.	Постановка задач и построение целой функции по ее значениям
		1.	Построение целой функции по ее значениям в некоторой последовательности точек
		2.	Интерполяция рациональными дробями и одна теорема о целых функциях
		3.	Определение целой функции по значениям последовательных производных
		4.	Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам
	§ 2.	Проблема моментов в комплексной области для целых функций не выше первого порядка нормального типа
	§ 3.	Частные случаи общей интерполяционной задачи
	§ 4.	Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений
Глава IV.	Суммирование функций. Числа и многочлены Бернулли
	§ 1.	Постановка задачи. Случаи элементарного суммирования
		1.	Связь между задачами суммирования и нахождения функции по заданной разности
		2.	Случаи элементарного суммирования
		3.	Общие замечания о решении уравнения Delta F(x) = phi(x)
		4.	Решение уравнения Delta F(x) = phi(x) для случая, когда phi(x) – многочлен
	§ 2.	Числа и многочлены Бернулли
		1.	Вычисление чисел Бернулли
		2.	Дальнейшие свойства чисел Бернулли
		3.	О малой теореме Ферма
		4.	Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел
		5.	Теорема Штаудта
		6.	Аналитические свойства многочленов Бернулли
		7.	Теорема умножения бернуллиевых многочленов
		8.	Геометрические свойства многочленов Бернулли
	§ 3.	Формула Эйлера
		1.	Предварительные соображения
		2.	Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом
		3.	Остаточный член формулы Эйлера
		4.	Другая форма остаточного члена формулы Эйлера
		5.	Формула Стирлинга
Глава V.	Уравнения в конечных разностях
	§ 1.	Постановка задачи
	§ 2.	Линейные уравнения первого порядка
		1.	Однородное линейное уравнение
		2.	Неоднородное линейное уравнение
	§ 3.	Линейные уравнения. Общая теория
		1.	Общий вид линейных уравнений
		2.	Основные теоремы о решениях линейного уравнения
		3.	Линейная зависимость и независимость функций
		4.	Свойства частных решений линейного однородного уравнения
		5.	Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных
		6.	Выражение многократной суммы через однократную
	§ 4.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
		1.	Однородное линейное уравнение. Характеристическое уравнение
		2.	Случай кратных корней
		3.	Общее решение и линейная независимость частных решений
		4.	Решение неоднородного линейного уравнения
		5.	Примеры
	§ 5.	Теорема Пуанкаре
		1.	Постановка вопроса
		2.	Теорема Пуанкаре
		3.	Теорема Перрона
		4.	Пример к теореме Пуанкаре
	§ 6.	Теорема Гельдера
	§ 7.	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка
		1.	Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных разностных уравнений
		2.	Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами
		3.	Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F)
		4.	Линейные неоднородные уравнения
		5.	Обобщения понятия периода функции
Литература по теории конечных разностей

---

Теория конечных разностей имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел. По своей современной проблематике теория конечных разностей ближе всего к конструктивной теории функций, с которой она в значительной степени и сливается. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л.Эйлера, П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, а в наше время – работами С.Н.Бернштейна и его школы. За последние 20 лет получили у нас большое развитие и исследования в области комплексного переменного.

Предлагаемая читателям книга написана на основе книги "Конечные разности", часть 1, 1936 г., переработанной и дополненной рядом глав, в которых излагаются главным образом некоторые вопросы, относящиеся к проблематике конечных разностей для комплексного переменного с приложениями как в самой теории функций, так и в теории чисел. Если по конструктивной теории функций в действительной области существует большая отечественная литература, с которой можно познакомиться достаточно хорошо, например по книге И.П.Натансона "Конструктивная теория функций", то работы в области комплексного переменного рассеяны по различным статьям и книгам и представлены в нашей литературе значительно меньше. Для предлагаемой книги были использованы следующие учебники по конечным разностям: А.Марков "Исчисление конечных разностей", Д.Селиванов "Курс исчисления конечных разностей" и Н.Нерлунд "Исчисление конечных разностей" (нем.), из которых был взят ряд задач и примеров. Новые главы книги излагают главным образом уже современную журнальную литературу. Для университетского курса конечных разностей можно взять главу I, кроме, может быть, § 5 и некоторых пунктов § 6, отдельные части, по выбору, главы II, главу IV и главу V без последнего параграфа. Остальные части книги могут служить при случае для выбора тематики как дипломных работ, так и работ диссертационного порядка.

В заключение мы хотим отметить, так как в тексте это не оговаривается, что результаты в § 5, 6 (пункт 4) и § 7 главы I, теоремы IV, V и VI, VIII и доказательство IX § 3 главы II, все теоремы главы III, кроме теоремы I, и все теоремы § 7 главы V принадлежат автору этой книги.

---

После выхода первого издания появился ряд работ, продолжающих и развивающих вопросы, затронутые в настоящей книге. Часть из этих работ указана в дополнительной литературе к главе III. Во второе издание внесен ряд исправлений и некоторые дополнения, например § 7 главы I, в котором обобщается идея рассмотрения интерполяционных проблем как проблемы моментов для аналитических функций.

Можно отметить также, что за последние годы настоящая книга была переведена и издана в ГДР, Китае, Чехословакии, Румынии и других странах.

---

В третьем издании исправлены лишь замеченные опечатки. В остальном оно ничем не отличается от предыдущего.

---

Александр Осипович Гельфонд (1906–1968)

Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в 1906 г. в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В.В.Степанов и А.Я.Хинчин. С 1931 г. – профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, а с 1938 г. – заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.

Основные научные интересы А.О.Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А.О.Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А.О.Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.