URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Софиева Ю.Н., Цирлин А.М. Условная оптимизация: Методы и задачи
Id: 156213
 
299 руб.

Условная оптимизация: Методы и задачи. Изд.2

URSS. 2012. 144 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-02491-4.

 Аннотация

Настоящая книга написана на базе курса лекций по методам оптимизации и оптимального управления для студентов, специализирующихся по прикладной математике и управлению технологическими процессами. Авторы стремились на примере задачи нелинейного программирования, которой в работе уделено основное внимание, рассказать о методах решения задач условной оптимизации, подчеркнуть их общность. Изложена логическая схема получения условий оптимальности в форме принципа максимума для вариационных задач и связь этих условий с принципом максимума для задач нелинейного программирования, усредненных по части переменных. Использование понятий функции достижимости и расширения экстремальных задач позволило существенно упростить изложение. Всюду, где это было возможно, авторы стремились подчеркнуть геометрический смысл тех или иных соотношений и проиллюстрировать его рисунками. Пособие содержит задачник, который призван научить не только решению, но и, что не менее важно, формализации экстремальных задач.

Книга предназначена студентам и специалистам по применению методов оптимизации и оптимального управления.


 Оглавление

Введение
 § 1.Выпуклые множества и функции. Выпуклые оболочки
  1.1.Выпуклость множества
  1.2.Выпуклые функции
  1.3.Выпуклые оболочки множеств и функций
 § 2.Задача нелинейного программирования и условия оптимальности ее решения
  2.1.Постановка задачи нелинейного программирования
  2.2.Необходимые условия оптимальности задачи НП. Функция Лагранжа
  2.3.Задача с условиями в форме неравенств
 § 3.Функция достижимости
  3.1.Функция достижимости задачи НП
  3.2.Связь функции достижимости с целевой функцией и функциями, определяющими множество допустимых решений
  3.3.Случай, когда безусловный максимум целевой функции принадлежит множеству D
 § 4.Определение и общие свойства расширения экстремальных задач
  4.1.Существование решения
  4.2.Основные свойства расширения
  4.3.Связь необходимых условий оптимальности исходной и расширенной задач
 § 5.Расширения задачи НП, связанные с переходом к безусловной оптимизации
  5.1.Монотонное преобразование целевой функции
  5.2.Расширения задачи НП, основанные на снятии ограничений
  5.3.Расширение с использованием штрафных функций
 § 6.Анализ алгоритмов решения задачи НП
  6.1.Эквивалентность расширения и возможность декомпозиции
  6.2.Анализ некоторых вычислительных алгоритмов решения задачи НП
  6.3.Характер изменения значения и решения расширенной задачи при изменении неопределенных параметров
 § 7.Другие типы расширений для задачи НП
  7.1.Циклическое расширение
  7.2.Усредненное расширение
  7.3.Расширение за счет ослабления ограничений. Чувствительность значения и решения задачи к изменению ее условий
 § 8.Особенности задачи линейного программирования
  8.1.Постановка
  8.2.Особенности искомого решения
  8.3.Симплекс-алгоритм
 § 9.Вариационные задачи условной оптимизации
   Постановка вариационной задачи
  9.1.Примеры функционалов
  9.2.Связи и ограничения
  9.3.Условия оптимальности для задачи с интегральными связями
  9.4.Обобщение на задачи со связями разного типа
  9.5.Приведение разных типов связей к канонической форме
  9.6.Принцип максимума Понтрягина
 § 10.Примеры и формализация экстремальных задач
  10.1.Этапы математической формулировки задачи оптимизации
  10.2.Примеры формализации задач
  10.3.Задачи
Литература

 Введение

Настоящее пособие посвящено методам условной оптимизации. При этом основное внимание уделено анализу задачи нелинейного программирования и методам ее решения, основанным на замене решения задачи условной оптимизации решением последовательности задач безусловного оптимума. Задача нелинейного программирования, т.е. задача об экстремуме функции нескольких переменных при условиях в форме равенств и неравенств, играет особую роль при изучении методов оптимизации и оптимального управления. Общая логика ее исследования и решения в значительной степени переносится и на более сложные вариационные задачи, но объяснить и графически проиллюстрировать основные подходы к решению задач условной оптимизации проще в конечномерном случае. Для задачи линейного программирования подчеркнуты лишь ее особенности и приведен наиболее распространенный алгоритм численного решения. В заключение показана связь условий оптимальности задачи нелинейного программирования с усреднением по части переменных и вариационной задачи условной оптимизации.

Предполагается, что учащиеся знакомы с задачей об экстремуме функции многих переменных, понятиями линии уровня и градиента функции, аналитическими и численными методами поиска оптимального решения, поэтому ограничимся кратким напоминанием.

Последовательность решения задачи об экстремуме функции нескольких переменных без ограничений такова:

1. Выписывают необходимые условия экстремума (если функция непрерывно дифференцируемая, то условия равенства нулю ее градиента). Эти условия выделяют множество "претендентов на решение" (критических точек).

2. Если решение существует, например, выполнены условия теоремы Вейерштрасса, то, перебрав значения функции в критических точках, можно найти ее экстремум. Подобная процедура может оказаться очень трудоемкой из-за сложности решения уравнений, вытекающих из необходимых условий экстремума. В этом случае используют тот или иной способ поиска экстремума.

В задаче об экстремуме функции многих переменных с наложенными на них ограничениями наличие связей между переменными существенно осложняет решение. Лагранж предложил для этой задачи способ трансформации к задаче без ограничений. Он писал: "Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одной или несколькими функциями, то нужно прибавить к функции, экстремум которой ищется, функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределенные множители, и затем искать максимум или минимум построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных".

Оказалось, что "принцип Лагранжа" не всегда справедлив, и схема трансформации задачи с ограничениями к задаче без ограничений приняла более общую форму. В общих чертах эта схема как для задач об условном экстремуме функции, так и для вариационных задач такова:

1. Для исходной задачи условной оптимизации строится некоторая вспомогательная задача, оптимальное решение которой на множестве допустимых решений D исходной задачи совпадает с решением последней. Однако вне множества D целевые функции этих двух задач различны.

2. В целевую функцию вспомогательной задачи вводят один или несколько параметров, выбирая которые, можно деформировать эту функцию за пределами множества D.

3. Выбор параметров осуществляют таким образом, чтобы для вспомогательной задачи снятие ограничений (расширение множества D) не приводило к изменению решения, т.е. ее условный и безусловный оптимумы совпадали. А это значит, что и решение исходной задачи может быть получено посредством безусловной оптимизации (совпадает с решением вспомогательной задачи).

При использовании такого подхода нужно разобраться с тем, как выбирать вспомогательную задачу? Как влияют на этот выбор характеристики исходной задачи? Как находить неопределенные параметры? Использование понятий расширения и функции достижимости экстремальных задач позволяет ответить на эти вопросы.

Основное внимание в пособии уделено пояснению таких принципиальных моментов, как роль выпуклости задачи, сходимости алгоритмических процедур и др. Пособие включает задачник, в котором большая часть задач имеет словесную, а не формальную постановку, и учащемуся до решения задачи следует ее формализовать. Задачник составлен Г.К.Крюковым, которому авторы выражают свою признательность. Авторы благодарят М.Г.Химшиашвили и Е.В.Желткову за большой труд по оформлению рукописи.


 Об авторах

Софиева Юлия Николаевна, доцент кафедры «Технической кибернетики и автоматики» Московского государственного университета инженерной экологии (МГУИЭ). Автор учебников по Теории автоматического управления и Автоматизации технологических процессов в химической промышленности.

Цирлин Анатолий Михайлович, профессор кафедры «Технической кибернетики и автоматики» МГУИЭ, директор Исследовательского центра Системного анализа Института программных систем РАН, автор учебных пособий и монографий по методам оптимизации и их приложениям.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце