URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Id: 1493
 
279 руб.

Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд.2, испр. и доп.

2000. 400 с. Твердый переплет. ISBN 5-89806-028-4. Букинист. Состояние: 5-. .

 Аннотация

В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т.д.).

В данное издание включены некоторые дополнительные результаты: удвоение периода Фейгенбаума и его развитие - ренормгрупповой анализ бифуркаций (Персиваль, Ландфорд, Синай); доказательство Ильяшенко теоремы Дюлака об ограниченности числа предельных циклов полиномиальных плоских векторных полей и другие.

Рассчитана на широкий круг математиков - от студентов до преподавателей и научных работников


 Оглавление

Оглавление
Предисловие
Некоторые используемые обозначения
Глава 1. Специальные уравнения
 1.Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий
  А. Группы симметрий дифференциальных уравнений.
  Б. Однородные уравнения.
  В. Квазиоднородные уравнения и <<соображения размерностей>>.
  Г. Применения однопараметрических групп симметрий к понижению порядка.
 2.Разрешение особенностей дифференциальных уравнений
  А. sigma -процесс.
  Б. Формулы разрешения.
  В. Пример. Исследование маятника с трением.
  Г. Пример. Период малых колебаний.
 3.Уравнения, не разрешенные относительно производных
  А. Основные определения.
  Б. Регулярные точки и дискриминантная кривая.
  В. Примеры.
  Г. Преобразование Лежандра.
  Д. Проективная двойственность.
  Е. Преобразование Лежандра и сопряженные нормы.
  Ж. Задача об огибающих семейства плоских кривых.
 4.Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки
  А. Особые точки.
  Б. Криминанта.
  В. Дискриминантная кривая.
  Г. Точки касания криминанты с контактной плоскостью.
  Д. Регулярные особые точки.
  Е. Теорема о нормальной форме.
  Ж. Доказательство теоремы о нормальной форме.
  З. Замечания.
 5.Стационарное уравнение Шредингера
  А. Определения и обозначения.
  Б. Потенциальные барьеры.
  В. Оператор монодромии.
  Г. Алгебраическое отступление: группа SU(1,1).
  Д. Геометрическое отступление: SU(1,1) и геометрия Лобачевского.
  Е. Свойства оператора вещественной монодромии.
  Ж. Свойства оператора комплексной монодромии.
  З. Коэффициенты прохождения и отражения.
  И. Матрица рассеяния.
  К. Связанные состояния.
 6.Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве
  А. Конфигурационные свойства решений линейных уравнений.
  Б. Нормальная форма квадратичной части уравнения второго порядка в окрестности данного решения.
  В. Инфинитезимальная недезарговость.
  Г. Построение скалярных инвариантов.
  Д. Уравнения, кубические относительно производной.
  Е. Геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве.
  Ж. Двойственность.
  З. Обзор.
Глава 2. Уравнения с частными производными первого порядка
 7.Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка
  А. Интегральные поверхности поля направлений.
  Б. Линейное однородное уравнение первого порядка.
  В. Линейное неоднородное уравнение первого порядка.
  Г. Квазилинейное уравнение первого порядка.
  Д. Характеристики квазилинейного уравнения первого порядка.
  Е. Интегрирование квазилинейного уравнения первого порядка.
  Ж. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.
 8.Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка
  А. Контактные многообразия.
  Б. Контактная структура на многообразии 1-струй функций.
  В. Геометрия на гиперповерхности в контактном многообразии.
  Г. Косоортогональные дополнения.
  Д. Характеристики на гиперповерхности в контактном пространстве.
  Е. Отступление: условие инвариантности поля плоскостей.
  Ж. Задача Коши для поля характеристических направлений.
  З. Доказательство единственности.
  И. Применение к нелинейному уравнению с частными производными первого порядка.
  К. Задача Коши для нелинейного уравнения с частными производными первого порядка.
  Л. Вычислительные формулы.
  М. Условия нехарактеристичности.
  Н. Уравнение Гамильтона--Якоби.
 9.Теорема Фробениуса
  А. Вполне интегрируемое поле гиперплоскостей.
  Б. Существование интегральных многообразий.
Глава 3. Структурная устойчивость
 10.Понятие структурной устойчивости
  А. Наивное определение структурной устойчивости.
  Б. Топологическая эквивалентность.
  В. Орбитальная эквивалентность.
  Г. Окончательное определение структурной устойчивости.
  Д. Одномерный случай.
  Е. Отступление: теорема Сарда.
  Ж. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере.
 11.Дифференциальные уравнения на торе
  А. Двумерный тор.
  Б. Векторные поля на торе.
  В. Равномерное распределение.
  Г. Доказательство теоремы о совпадении средних.
  Д. Некоторые следствия.
  Е. Функция последования и угловая функция.
  Ж. Число вращения.
  З. Структурно устойчивые уравнения на торе.
  И. Доказательство теоремы Данжуа.
  К. Доказательство теоремы о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.
  Л. Обсуждение.
  М. Приближения иррациональных чисел рациональными.
 12.Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности
  А. Формулировка теоремы.
  Б. Гомологическое уравнение.
  В. Формальное решение гомологического уравнения.
  Г. Поведение коэффициентов Фурье аналитических функций.
  Д. Малые знаменатели.
  Е. Исследование гомологического уравнения.
  Ж. Построение последовательных приближений.
  З. Оценка невязки после одного приближения.
  И. Сходимость системы приближений.
  К. Замечания.
 13.Введение в гиперболическую теорию
  А. Простейший пример: линейный автоморфизм тора.
  Б. Свойства автоморфизма тора.
  В. Структурная устойчивость автоморфизма тора.
  Г. Гомологическое уравнение.
  Д. Решение гомологического уравнения.
  Е. Построение отображения H.
  Ж. Свойства отображения H.
  З. Теорема о структурной устойчивости седла.
 14.У-системы
  А. Определение У-диффеоморфизма.
  Б. Свойства У-диффеоморфизмов.
  В. У-потоки.
  Г. Плоскость Лобачевского.
  Д. Геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны.
  Е. Биллиардные системы
  Ж. У-системы и прогонка.
  З. О применениях У-систем.
 15.Структурно устойчивые системы не всюду плотны
  А. Пример Смейла.
  Б. Описание примера.
  В. Устойчивые свойства диффеоморфизма A.
  Г. Структурная неустойчивость.
Глава 4. Теория возмущений
 16.Метод усреднения
  А. Невозмущенная и возмущенная системы.
  Б. Процедура усреднения.
  В. Пространственное и временн'ое средние.
  Г. Обсуждение.
 17.Усреднение в одночастотных системах
  А. Формулировка теоремы.
  Б. Основная конструкция.
  В. Оценки.
  Г. Пример.
 18.Усреднение в многочастотных системах
  А. Резонансные поверхности.
  Б. Влияние отдельного резонанса.
  В. Прохождение через резонансы в двухчастотной системе.
  Г. Многочастотные системы.
 19.Усреднение в гамильтоновых системах
  А. Вычисление усредненной системы.
  Б. Теорема Колмогорова.
  В. Теорема Нехорошева.
 20.Адиабатические инварианты
  А. Понятие адиабатического инварианта.
  Б. Построение адиабатического инварианта системы с одной степенью свободы.
  В. Доказательство адиабатической инвариантности действия.
  Г. Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоновых систем.
  Д. Поведение адиабатических инвариантов при tgg varepsilon -1.
 21.Усреднение в слоении Зейферта
  А. Слоение Зейферта.
  Б. Определение усреднения в слоении Зейферта.
  В. Свойства усредненного поля.
  Г. Пример.
  Д. Коэффициенты Тейлора симметричного поля.
  Е. Случай симметрии порядка 3.
  Ж. Учет отброшенных членов.
  З. Применение к исходному уравнению.
  И. Резонансы других порядков.
Глава 5. Нормальные формы
 22.Формальное приведение к линейной нормальной форме
  А. Резонансы.
  Б. Теорема Пуанкаре.
  В. Вывод гомологического уравнения.
  Г. Решение гомологического уравнения.
  Д. Доказательство теоремы Пуанкаре.
 23.Резонансный случай
  А. Резонансные мономы.
  Б. Теорема Пуанкаре--Дюлака.
  В. Примеры.
 24.Области Пуанкаре и Зигеля
  А. Резонансные плоскости.
  Б. Резонансы в области Пуанкаре.
  В. Резонансы в области Зигеля.
  Г. Теоремы Пуанкаре и Зигеля.
  Д. Теорема Пуанкаре--Дюлака
  Е. Вещественный и неаналитический случаи.
 25.Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки
  А. Резонансы. Области Пуанкаре и Зигеля.
  Б. Формальная линеаризация.
  В. Вопросы сходимости.
  Г. Резонансный случай.
 26.Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами
  А. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами.
  Б. Вывод гомологического уравнения.
  В. Решение гомологического уравнения.
  Г. Формальная нормальная форма.
  Д. Случай соизмеримости.
  Е. Обсуждение сходимости.
  Ж. Окрестность замкнутой фазовой кривой.
  З. Связь с функциями последования.
  И. Случай условно-периодических коэффициентов.
  К. Проблема приводимости линейных уравнений с условно-периодическими коэффициентами.
 27.Нормальная форма окрестности эллиптической кривой
  А. Эллиптические кривые.
  Б. Простейшие расслоения над эллиптической кривой.
  В. Тривиальные и нетривиальные расслоения.
  Г. Топологически нетривиальные расслоения над эллиптической кривой.
  Д. Окрестность эллиптической кривой на комплексной поверхности.
  Е. Предварительная нормальная форма.
  Ж. Формальная нормальная форма.
  З. Аналитическая нормальная форма.
  И. Отрицательные окрестности.
  К. Исследование гомологического уравнения.
  Л. Положительные окрестности.
  М. Эллиптическая кривая в пространстве.
 28.Доказательство теоремы Зигеля
  А. Формулировка теоремы.
  Б. Построение замены координат H.
  В. Исследование гомологического уравнения.
  Г. Порядок операторов.
  Д. Оценка остаточного члена.
  Е. Сходимость приближений.
Глава 6. Локальная теория бифуркаций
 29.Семейства и деформации
  А. Случаи общего положения и особые случаи малой коразмерности.
  Б. Отступление о случаях бесконечной коразмерности.
  В. Пространства струй.
  Г. Группы струй локальных диффеоморфизмов и пространства струй векторных полей.
  Д. Слабая теорема трансверсальности.
  Е. Теорема трансверсальности Тома.
  Ж. Пример: распадение сложных особых точек векторного поля.
 30.Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм
  А. Задача о нормальной форме матриц, зависящих от параметров.
  Б. Версальные деформации.
  В. Доказательство версальности.
  Г. Примеры.
  Д. Бифуркационные диаграммы.
  Е. Задача о классификации особенностей декремент-диаграмм.
  Ж. Декремент-диаграммы.
  З. Страты коразмерности один и два в пространстве матриц.
  И. Строение декремент-диаграмм вблизи точек стратов коразмерности 0 и 1.
  К. Строение декремент-диаграмм вблизи стратов коразмерности 2.
  Л. Обсуждение.
 31.Бифуркации особых точек векторного поля
  А. Кривая особых точек.
  Б. Бифуркационные значения параметра.
  В. Пример: векторные поля на прямой.
  Г. Бифуркации периодических решений.
 32.Версальные деформации фазовых портретов
  А. Теория локальных бифуркаций и локальная качественная теория.
  Б. Топологически версальные деформации.
  В. Теорема сведения Шошитайшвили.
 33.Потеря устойчивости положения равновесия
  А. Пример: мягкая и жесткая потеря устойчивости.
  Б. Теорема Пуанкаре--Андронова.
  В. Многомерный случай.
  Г. Применение к теории гидродинамической устойчивости.
  Д. Вырождения коразмерности 2.
 34.Потеря устойчивости автоколебаний
  А. Монодромия и мультипликаторы.
  Б. Простейшие вырождения.
  В. Случаи мультипликатора -1.
  Г. Прохождение пары мультипликаторов через единичную окружность.
  Д. Резонанс при потере устойчивости цикла.
 35.Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости
  Е. Эквивариантные векторные поля на плоскости
  Ж. Эквивариантные версальные деформации.
  З. Главные деформации.
  И. Случаи q=1 и q=2.
  К. Версальность главных деформаций.
  Л. Описание бифуркаций.
  М. Случаи симметрии порядка 3.
  Н. Случай симметрии порядка 2.
  О. Нули эллиптических интегралов.
  П. Случаи резонанса порядка 4.
  Р. Функция последования.
  С. Обсуждение.
 36.Перестройки топологии при резонансах
  А. Резонансы в области Пуанкаре.
  Б. Резонанс lambda 1=2lambda 2.
  В. Версальные деформации в случае Пуанкаре.
  Г. Материализация резонансов.
  Д. Резонанс между тремя собственными числами.
  Е. Случай дискретного времени.
  Ж. Бифуркация инвариантных многообразий диффеоморфизма.
  З. Локальные сдвиги.
  И. Построение эллиптической кривой по резонансному инвариантному многообразию линейного преобразования.
  К. Построение эллиптической кривой по резонансному инвариантному многообразию нелинейного преобразования.
  Л. Нелинеаризуемость отображения в области, содержащей резонансный цилиндр.
  М. Расходимость рядов Пуанкаре.
  Н. Бифуркации эллиптических кривых на комплексных поверхностях.
  О. Расходимость линеаризации.
 37.Классификация особых точек
  А. Особые точки функций на прямой.
  Б. Другие примеры.
  В. Особые точки векторных полей.
  Г. Строение множеств восприимчивости.
Образцы экзаменационных задач

 Об авторе

Арнольд Владимир Игоревич
Выдающийся математик, академик АН СССР (РАН). Родился в Одессе, в семье известного математика и методиста И. В. Арнольда. В 1959 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук (1963). До 1987 г. работал в университете; с 1965 г. — профессор. С 1986 г. работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова. В 1990 г. был избран действительным членом Академии наук СССР (с 1991 г. — Российская академия наук). Президент Московского математического общества (1996). Член многочисленных иностранных академий и научных обществ, лауреат многих отечественных и зарубежных премий в области математики, обладатель ряда почетных докторских степеней в зарубежных университетах.

В. И. Арнольд — автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений, функционального анализа, теоретической механики, теории динамических систем, теории катастроф. В 20 лет, будучи учеником выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова, он показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта (1957). Он был одним из создателей теории Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ-теории), ветви теории динамических систем, изучающей малые возмущения почти периодической динамики в гамильтоновых системах и родственных им случаях. Автор десятков теорем, лемм, гипотез, задач и т. д., применимых в самых разных областях математики; основатель большой научной школы. Многие из его учебников и монографий были неоднократно переизданы и переведены на различные языки мира.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце