URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике
Id: 14865
 
375 руб.

Кватернионы в релятивистской физике. Изд.2

URSS. 2003. 200 с. Мягкая обложка. ISBN 5-354-00403-9. Уценка. Состояние: 5-. Блок текста: 5. Обложка: 4+.

 Аннотация

Книга представляет собой первое в научной литературе систематическое изложение применения кватернионов для параметризации групп пространственно-временной симметрии и реализации ряда их представлений. Излагается оригинальный подход к описанию кинематики и динамики классических и квантованных полей, основанный на использовании объектов одной алгебраической природы --- бикватернионов. Приведены краткие сведения из истории развития кватернионного исчисления и его приложений.

Может быть полезна широкому кругу лиц, интересующихся теоретической физикой, алгеброй, геометрией, в том числе аспирантам и научным работникам.


 Содержание

Предисловие ко второму изданию
От авторов
Краткий исторический очерк развития кватернионного исчисления и его применений в геометрии, механике и физике
Глава 1. Некоторые математические сведения
 § 1.Исключительные алгебры, бикватернионы
 § 2.Кватернионная параметризация группы SO (4.C) и ее связь с векторной параметризацией
 § 3.Представления группы Лоренца, реализуемые в рамках алгебры кватернионов
 § 4.Функции от кватернионов и бикватернионов
Глава 2. Векторы трехмерных пространств постоянной кривизны, сопоставляемые с парами точек, и кинематика
 § 5.Кватернионы и пространства постоянной кривизны
 § 6.Кинематика твердого тела
 § 7.Релятивистская кинематика
Глава 3. Кватернионная формулировка классической электродинамики
 § 8.Система уравнений Максвелла--Лоренца
 § 9.Электродинамика дуально заряженных частиц
 § 10.Макроскопическая электродинамика
Глава 4. Квантовая механика и кватернионы
 § 11.Уравнение Дирака
 § 12.Некоторые решения квантовомеханического уравнения Дирака на основе кватернионного подхода
 § 13.Преобразования кватернионных аналогов gamma-матриц и нерелятивистский предел уравнения Дирака
 § 14.Квазикогерентные состояния для нерелятивистского спина в магнитном поле
Глава 5. Кватернионы в калибровочных теориях
 § 15.Квантовая электродинамика
 § 16.Дуальная инвариантность уравнений Янга--Миллса
 § 17.Калибровочные модели с кватернионной параметризацией групп внутренней симметрии
Литература

 Предисловие ко второму изданию

Предлагаемая вниманию читателя книга впервые была издана в 1989 году и неожиданно для авторов быстро исчезла с прилавков книжных магазинов. По прошествии почти полутора десятков лет ссылки на нее все еще появляются в научных статьях, монографиях и диссертациях. Еще большее количество научных работ свидетельствует о том, что тираж книги был явно недостаточен, поскольку независимо воспроизводят некоторые из опубликованных в ней результатов. Есть сведения, что книга использовалась при чтении спецкурсов в ряде высших учебных заведений России. Собственный опыт общения авторов со студентами и аспирантами также говорит, что движение по цепочке "комплексные числа -- кватернионы -- бикватернионы" наиболее простой и эффективный путь к практическому освоению многих разделов и методов современной теоретической физики, особенно на начальном этапе обучения. Практика показывает, что даже ученики старших классов легко усваивают навыки работы с кватернионами и кватернионными параметризациями таких важнейших физических групп, как группа вращений и группа Лоренца.

Интерес к кватернионам и их приложениям в физике подтверждается многочисленными публикациями, которые при желании легко найти на научных страницах Интернета и в физико-математических журналах. Данная монография послужит читателю полезным багажом в путешествии по этой интересной и далеко неисчерпанной области исследований.

Авторы

 От авторов

История кватернионов знала приливы и отливы интереса к ним. Первая мировая война привела к распаду "Международной ассоциации для содействия изучению кватернионов и родственных математических систем", а вместе с ассоциацией исчез элемент мистики в отношении к алгебре кватернионов и казалось, что отныне ее исключительности возвращен первозданный математический смысл.

Однако сегодня несостоятельность столь ограниченного толкования исключительности кватернионов вполне очевидна. Все чаще в физической литературе кватернионы возникают в сочетании с такими экзотическими терминами, как "цвет", "аромат", число "поколений". Распространяется убеждение в неслучайности и нетривиальности совпадения ранга этой алгебры с размерностью пространства-времени.

В то же время следует подчеркнуть, что новая волна интереса к кватернионам возникла в первую очередь благодаря тому, что все эти годы отдельные исследователи в разных странах продолжали вести работу по развитию и использованию идей и методов кватернионного исчисления в теоретической физике от классической механики до квантовой теории поля.

Настоящая книга посвящена одному из таких направлений, связанному в основном с применением кватернионов для параметризации групп пространственно-временной симметрии с целью построения адекватного и единообразного аппарата для описания кинематики и динамики классических и квантовых полей. Кроме того, в ней содержится краткий исторический очерк.

В книгу включен материал, требующий различной степени подготовленности. Однако большинство параграфов вполне доступно студентам физико-математических специальностей.

Надеемся, что чтение даже отдельных разделов этой книги позволит получить представление о применении кватернионов в физике. Если у читателя возникнет желание использовать кватернионы для решения конкретных задач или глубже ознакомиться с литературой по этому вопросу, авторы будут считать свою задачу выполненной.

Исследования, которые легли в основу этой монографии, оказались возможными благодаря поддержке со стороны коллективов лабораторий теоретической физики и физики высоких энергий Института физики АН БССР. Мы глубоко благодарны академику Ф.И.Федорову за плодотворные дискуссии, проходившие в той особой творческой атмосфере, которая отличает его научный семинар.


 Краткий исторический очерк развития кватернионного исчисления и его применений в геометрии, механике и физике

Кватернионы встречаются еще в XVIII в. в работах Л.Эйлера и К.Ф.Гаусса [1, 2]. Отметим также, что Б.О.Родригес в 1840 г. пришел к закону, эквивалентному правилу умножения кватернионов, при изучении сложения поворотов твердого тела [1--4], Тем не менее создателем кватернионного исчисления принято считать выдающегося ирландского ученого В.Р.Гамильтона (1805--1865). В 1843 г. он независимо открыл кватернионы в результате поиска алгебраических объектов, имеющих в трехмерном пространстве ту же геометрическую интерпретацию, что и комплексные числа на плоскости. Такой подход оказался необычайно плодотворным, поскольку позволял оперировать геометрическими объектами как алгебраическими величинами. Поэтому не удивительно, что остаток своей жизни В.Р.Гамильтон посвятил разработке, популяризации и приложениям алгебры кватернионов в механике и физике. Среди многочисленных работ Гамильтона этого периода (см. ссылки в работах [3, 5, 6]) следует выделить две большие книги "Lectures on Quaternions" (1853) и "Elements of Quaternions" (1866). В.Р.Гамильтон полагал, что аппарат кватернионов сыграет роль, подобную исчислению флюксий Ньютона [7], лежащему в основе современного математического анализа.

В последующем развитии алгебры кватернионов и ее приложений в математике и физике условно выделим три направления.

К первому из них можно отнести чисто алгебраические работы А.Кэли, В.К.Клиффорда, Б.Пирса, К.С.Пирса, Г.Фробениуса, выполненные примерно с 1850 по 1900 г., в которых была установлена связь кватернионов с матрицами и определено место кватернионов в системе различных алгебр, т.е. доказаны положения, называемые соответственно теоремами Фробениуса и Гурвица [2, 8, 9].

Второе направление связано в основном с именами В.К.Клиффорда (1845--1879) и А.П.Котельникова (1865--1944). В работах Клиффорда получила дальнейшее развитие теория комплексных кватернионов (бикватернионов), берущая начало в трудах Гамильтона. Клиффорд впервые применил бикватернионы к описанию геометрии неевклидовых пространств постоянной кривизны и исследованию механики в этих пространствах, в идейном отношении восходящему к работам Пуансо, который возродил в начале прошлого века геометрический подход к проблемам механики (интерес к этому подходу был в известной мере утрачен из-за внушительных результатов, достигнутых благодаря аналитическим методам Лагранжа) (известно высказывание Н.И.Лобачевского: "Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику..." [10]). В работах Пуансо, Мебиуса и Шаля установлена эквивалентность произвольного перемещения тела винтовому перемещению и положено начало изучению кинематики и статики, а также сформулировано понятие винта, развитое в работах Плюккера. Всестороннее исследование винтов проведено в капитальном труде английского ученого Р.Болла "Treatise on the theory of the screws" (1876). Клиффорд применил к формулировке теории винтов параболические (определенные над дуальными числами) и эллиптические (определенные над двойными числами) бикватернионы. Дуальные и двойные числа введены им как некоторое обобщение обычных комплексных чисел. Он показал, что с помощью дуальных чисел можно дать описание винтов в обычном трехмерном евклидовом пространстве, а с помощью эллиптических бикватернионов -- описание винтов в трехмерном пространстве постоянной положительной кривизны (пространстве Римана в узком смысле слова, или эллиптическом пространстве). X. Кокс в 1883 г. показал, что бикватернионы, определенные над обычными (гиперболическими) комплексными числами, могут быть использованы для описания винтов в трехмерном пространстве отрицательной постоянной кривизны (пространстве Лобачевского, или гиперболическом пространстве).

Считается, что наиболее полно и последовательно винтовое исчисление развито в работах А.П.Котельникова в тесной связи с его теорией векторов неевклидовых пространств. Используя получившие в то время широкое признание результаты А.Кэли и Ф.Клейна по проективной интерпретации неевклидовой геометрии, Котельников, естественно, переходит от рассмотрения векторов как упорядоченных пар точек к изучению пар плоскостей (роторов, по его терминологии) и пар прямых (винтов). Близкие к работам Котельникова исследования были выполнены Э.Штуди [11--13].

В результате выяснилось, что статика и кинематика в трехмерных пространствах Евклида, Лобачевского и Римана (постоянной кривизны) полностью определяются геометрией или группой движений этих пространств. При этом понятие инварианта группы движений лежит в основе определения абсолютно твердого тела.

Новую жизнь эти идеи получили в связи с принципом геометрического конвенционализма Пуанкаре, утверждавшего, что выбор геометрии для описания физических явлений, вообще говоря, произволен и может быть предметом соглашения. Определяющими при этом являются соображения математического удобства, что приводит к появлению эффективной неевклидовой геометрии уже в ряде задач традиционной механики.

Работы А.П.Котельникова не приобрели широкой известности. О современном состоянии исследований по теории винтов можно получить представление из монографии [13]. В настоящее время ведутся также работы, развивающие идеи В.К.Клиффорда, X. Кокса и А.П.Котельникова по применению комплексных чисел различного вида (дуальных, двойных и обычных) к описанию свойств симметрии пространств постоянной кривизны с единой точки зрения и к построению классической и квантовой механики в этих пространствах (см., например, работу [14] и библиографию к ней).

Выдвинутая Котельниковым идея построения теории векторов в неевклидовых пространствах постоянной кривизны в данной книге развивается на основе сочетания кватернионного исчисления с векторной параметризацией [16] групп движений этих пространств. Сформулированная при этом теория векторов трехмерного пространства Лобачевского применяется к описанию релятивистской кинематики реакций элементарных частиц.

Третье направление развития кватернионного исчисления и его физических приложений можно условно характеризовать как аналитическое.

После В.Р.Гамильтона значительную роль в развитии приложений кватернионного исчисления в физике, а также в пропаганде широкого применения кватернионов в различных областях естествознания сыграл П.Г.Тэт (1831--1901). Вероятно, под его влиянием Дж. К.Максвелл использовал кватернионы в своем "Трактате по электричеству и магнетизму" [17]. Дальнейшее развитие теории электромагнетизма в работах О.Хэвисайда имело, как известно, практическую направленность, в то же время он много сделал для развития математических методов, используемых в теории электромагнетизма. В частности, некоторые методические неудобства использования кватернионов, отмеченные самим Дж. К.Максвеллом (отрицательность квадрата векторной части кватерниона, сопоставляемой с квадратом длины векторов), побудили Хэвисайда построить для трехмерного евклидова пространства векторное исчисление, фактически не связанное с кватернионами, в котором отдельно определялись скалярное и векторное произведения векторов [18].

Независимо от О.Хэвисайда векторное исчисление было построено Д.В.Гиббсом. Сторонники использования кватернионного исчисления, возглавляемые П.Г.Тэтом, выступали против векторного исчисления. Историк математики Д.Я.Стройк следующим образом характеризует сложившуюся ситуацию: "Некоторые британские математики видели в исчислении кватернионов нечто вроде "универсальной арифметики" Лейбница, что, конечно, вызвало оппозицию (Хэвисайд против Тэта) и из-за этого слава кватернионов значительно потускнела " [2, 21].

Необходимо отметить, что Дж. К.Максвелл, использовавший в своем "Трактате..." векторные части кватернионов и тем самым давший мощный толчок развитию векторного исчисления, судя по некоторым его высказываниям, был близок к тому, чтобы считать кватернионное исчисление чем-то вроде "универсальной арифметики" [19, 20]. Подробно о роли теории электромагнетизма в формировании векторного исчисления в трехмерном пространстве можно прочитать в статьях Н.В.Александровой [21]. Там же содержатся некоторые сведения о взаимоотношениях П.Г.Тэта и его сторонников с О.Хэвисайдом и Д.В.Гиббсом.

К концу прошлого -- началу нашего века точка зрения приверженцев векторного исчисления, независимого от кватернионов, восторжествовала, однако история приложений кватернионов в физике, так тесно связанная с уравнениями Максвелла, не закончилась. Как известно, уравнения Максвелла явились исходным пунктом в создании специальной теории относительности (СТО). После четырехмерной формулировки СТО в 1908 г. Г.Минковским А.В.Конвей (1875--1950) в 1911 г. и независимо Л.Зильберштейн в 1912 г. построили кватернионный аналог этой теории [6]. При этом выяснилось, что использование полных кватернионов, а не только их векторных частей, предоставляет естественную возможность записи уравнений Максвелла в виде, явно ковариантном относительно преобразований Лоренца. Такая запись уравнений Максвелла полностью эквивалентна их тензорной формулировке, что легко проверяется при выборе явного представления бикватернионов матрицами 4X4. Использование полных четырехмерных кватернионов для формулировки уравнений электромагнитного поля имеет еще одну важную особенность. Уравнения Максвелла в кватернионной форме выглядят во многом аналогично соотношениям Коши--Римана в теории функций комплексного переменного и в этом смысле играют роль условий кватернионной аналитичности.

Условия, подобные уравнениям Максвелла (но для действительных кватернионов), легли в основу теории кватернионной аналитичности, которая была построена Р.Фютером преимущественно в 30-е годы нашего столетия [22, 23]. Примером обобщения этой теории на бикватернионы и электродинамику может служить работа К.Имаеды [24]. Существует ряд возможностей для определения аналитичности кватернионных функций от кватернионных аргументов или кватернионной моногенности. В связи с этим можно отметить различные, более или менее удачные попытки построения теории кватернионных функций кватернионных аргументов [25--27], Однако работы Фютера, вероятно, являются наиболее конструктивными уже хотя бы потому, что они связаны с уравнениями Максвелла. Здесь можно сослаться на авторитет известного американского математика Р.Беллмана, который, имея в виду именно работы Фютера, отметил, что для кватернионов развита довольно полная теория, во многом аналогичная обычной теории функций комплексного переменного [28]. Следует указать также на попытки использования теории аналитических кватернионных функций по Фютеру в теории калибровочных полей и в теории сигма-моделей [29].

Кратко охарактеризуем применение кватернионов в физике (преимущественно в физике элементарных частиц) в послевоенный период. Оно основывается на возможности параметризации с их помощью важных для практических применений групп пространственно-временной и внутренней симметрии, а также ряда их представлений. Использование объектов одной алгебраической природы позволяет при этом существенно упростить анализ соответствующих динамических уравнений и их решений. Характерными для данного периода развития приложений кватернионного исчисления в физике являются работы [30--35]. В нашей книге основное внимание сосредоточено на исследовании комплексной группы Лоренца SO (4. С) и ее подгрупп.

Особый интерес представляет наличие глубокой связи между векторной и кватернионной параметризациями преобразований этих групп. Векторная параметризация группы Лоренца SO (3.1) и ряда ее подгрупп впервые предложена Ф.И.Федоровым [15]. Исключительное математическое изящество в сочетании с простотой и наглядностью получаемых формул делает эту параметризацию необычайно удобным аппаратом исследования в различных областях теоретической физики. Исчерпывающее изложение данного подхода и библиография содержатся в работе [16]. Рассмотрение пространственно-временной симметрии в предлагаемой книге будет вестись с учетом тесной связи векторной параметризации с кватернионным исчислением.

Другим приложением кватернионов в данный период является обобщение квантовой механики, состоящее в замене стандартного гильбертова пространства этой теории, определенного над полем комплексных чисел, на гильбертово пространство, определенное над телом кватернионов [36--39]. Естественно, что при этом обычная абелева группа калибровочных преобразований квантовой механики U(l) переходит в неабелеву калибровочную группу SU(2). Существуют также попытки определения гильбертова пространства над октавами, являющимися естественным обобщением кватернионов [39--41]. Известная выделенность исключительных алгебр (кватернионов и октав) иногда используется для обоснования вида группы внутренней симметрии теории элементарных частиц [42--46]. Именно поэтому в физике элементарных частиц впервые стали фигурировать исключительные группы как группы внутренней симметрии [40, 47]. Следует также упомянуть о широком применении кватернионов и октав в алгебраическом подходе в квантовой теории поля, на который возлагаются определенные надежды в связи с некоторыми принципиальными трудностями стандартной схемы [48]. Одно из направлений алгебраического подхода основано на использовании лиево-иордановых алгебр, простейшие примеры которых дают алгебры кватернионов и октав [40, 47, 48].

Как уже упоминалось, существуют попытки применить понятие кватернионной аналитичности при решении классических уравнений Янга--Миллса, описывающих неабелевые векторные калибровочные поля. Естественность и удобство применения кватернионов в задачах этого типа связаны с тем, что самодуальные решения уравнений Янга--Миллса по существу кватернионы. Это вытекает, очевидно, из того, что представление кватернионов матрицами 4X4 и соответствующие самодуальные тензоры напряженностей этих полей совпадают. Подчеркнем также, что в работах Атья--Уорда, Белавина--Захарова задача описания инстантонов (самодуальных решений уравнений Янга--Миллса) была сведена к проблеме алгебраической геометрии, которая рассматривалась Атья, Хитчином, Дринфельдом и Маниным. При этом существенным моментом явилось представление вектор-потенциалов калибровочных полей с помощью матриц (прямоугольных в случае произвольного топологического заряда инстантонного поля), заданных над телом кватернионов [49].

Наконец, упомянем о применении бикватернионов в общей теории относительности (ОТО). Характерна в этом отношении работа Рэстола [50], а также приложение в книге Н.В.Мицкевича [51]. На наш взгляд, наиболее конструктивным направлением здесь является представление тетрад как 4-векторов, заданных над бикватернионами.


 Замеченные опечатки

На втором титульном листе вместо "Курочкин Юрий Александрович" следует читать "Курочкин Юрий Андреевич".
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце