Шапкин А.И., Сидоров Ю.И. Термодинамические модели в космохимии и планетологии

Оглавление

Предисловие

Во второй половине XX века при решении задач геохимии и геологии широкое распространение получили физико-химические методы. Благодаря работам целого ряда научных школ (Н.Л.Боуэна и Геофизической лаборатории Института Карнеги в США, Ф.Ю.Левинсон-Лессинга, А.Н.Заварицкого, Д.С.Коржинского, А.П.Виноградова в России, П.Ниггли, В.Эйтеля в Западной Европе и др.) была создана современная теоретическая и экспериментальная база, позволившая в конкретной форме поставить задачу физико-химического моделирования в области геохимии и космохимии. Со времени этих пионерских работ прошли уже десятки лет, опубликовано огромное количество работ, содержащих как конкретные результаты, демонстрирующие успехи этого направления, так и принципиальный анализ путей и методов применения физико-химического аппарата в геохимии и космохимии. В настоящее время ясно, что развитие методов физико-химического моделирования есть центральное направление, целью которого является создание теоретической базы геохимии и космохимии.

За последние четыре десятка лет – времени интенсивного исследования планет с помощью космических аппаратов – накоплен огромный фактический материал по физике и химии планетарных атмосфер, рельефу поверхности и химическому составу грунта Венеры и Марса. Однако возможность определения минерального состава пород поверхности Венеры и Марса in situ, а тем более доставка образцов этих пород на Землю при помощи космических средств, представляет сложную не только техническую, но и экономическую задачу.

Ныне происходит интенсивное применение физико-химических, в частности, термодинамических методов к проблеме эволюции вещества от стадии формирования газо-пылевой туманности, положившей начало существованию Солнечной системы, до современного распределения вещества в планетарных телах. Познание законов фракционирования вещества, его пространственной дифференциации и химических превращений в нестационарных полях, приближает нас к прогнозу современного объемного распределения вещества в недоступных для прямого изучения планетарных оболочках.

За последнюю четверть XX века, в связи с большим прогрессом в области прикладной математики и вычислительной техники, науки о Земле получили новый теоретический и мощный технический аппарат, открывающий возможности решения новых задач. К таким задачам, в частности, относятся задачи математического моделирования различных геохимических систем и процессов, таких как конденсации и испарения вещества допланетного облака, формирования протовещества планетных тел, фракционирования этого вещества во внутренних оболочках планет, формирования мантийного вещества, фракционирования вещества в процессах динамической кристаллизации магм и преобразования поверхностного вещества планет при его взаимодействии с газовыми оболочками, роль парникового эффекта атмосфер планет, а также его влияние на эволюцию и состав газовых оболочек. Эти задачи моделирования базируются, в частности, на обработке и теоретическом обобщении огромного объема накопленных измерений и экспериментальных данных, относящихся не только к планетарным, но и галактическим масштабам при значительном повышении точности анализов и верифицируемости их интерпретации.

Следует, по-видимому, отметить ряд особенностей, отличающих задачи, относящиеся к реальным геохимическим системам, от чисто химических задач.

Во-первых, химическая задача обычно сопряжена с перечислением набора контролируемых (управляемых) P(t)–T(t)-параметров, внешних по отношению к системе, а также с заданием начального химического состава системы x(t₀) и возможных потоков вещества через ее границы, теоретически определяющих эволюцию химической системы. Таким образом, в химической системе явно или неявно присутствует физическое понятие объема реакционного пространства. Выбор же такого пространства, точнее, его границ, в задаче моделирования геохимической системы, как правило, оказывается искусственным. Следует отметить, что один из способов выбора таких границ ввел в 1957 г. Д.С.Коржинский [Коржинский Д.С., 1957] через понятие локально мозаичного равновесия, заключающегося в том, что в системе, неравновесной в целом, могут быть выделены подсистемы, в которых можно пренебречь градиентами интенсивных параметров и тем самым неявно определить их границы.

Во-вторых, сам факт существования контролируемых параметров и физико-химическая детерминированность начальных или конечных (в задачах синтеза) x-параметров в моделировании химических систем не свойственны геохимическим задачам, в которых сами P(t)–T(t)параметры обычно являются предметом решения задачи, а вещественный состав x(t₀) обычно относится в наблюдаемый момент не ко всей геохимической системе, а к ее отдельным фрагментам.

В-третьих, для химических систем хотя бы потенциально существует возможность проведения реального эксперимента с вариацией каких-либо контролируемых параметров за реально конечное время, что дает возможность оценить влияние вариации этих параметров на конечный состав химической системы. Невозможность натурных экспериментов в геохимических (космохимических) системах за реально конечное время не позволяет говорить о воспроизводимости экспериментов, которые осуществляются природой, и надежности оценок их результатов.

Хотя геохимическую систему обычно можно разделить на конечное множество химических систем, в каждой из которых возможно использование аппарата теоретической химии, понимание того, что любая система определяется не столько множеством ее элементов, сколько множеством связей, существующих между этими элементами, дает возможность подразумевать под моделированием геохимической системы описание и интерпретацию этих связей, число которых, конечно, гораздо больше числа элементов.

В такую, казалось бы, безнадежную ситуацию известный оптимизм вносит теорема, установленная В.И.Арнольдом [Арнольд В.И., 1957] и утверждающая, что любая непрерывная функция (в частности, описание геохимической системы) многих переменных (под которыми можно понимать отдельные химические системы), не приближенно, а точно может быть выражена в виде суперпозиции конечного числа функций не более чем двух переменных (в простейшем случае – парное взаимодействие отдельных химических систем). Разумеется, утверждение о существовании ("может быть выражена"), не означает декларирования явного пути, следуя которому можно построить эти функции двух переменных и механизм их суперпозиции, однако доказанное утверждение о существовании решения такой задачи делает рациональными поиски ее решения для моделирования геохимических систем.

Аппаратом решения многих задач моделирования геохимических систем и процессов в современном приближении может быть аппарат химической термодинамики, позволяющий при гипотезе о хотя бы временной химической релаксированности изучаемых систем давать оценки вещественных соотношений и путей их дальнейшей эволюции при изменении внешних условий. При этом под химической системой, являющейся одним из фрагментов изучаемой геохимической системы, подразумевается термодинамическая система, т.е. закрытая химическая система, взаимодействие которой с другими системами ограничивается передачей работы и теплоты [Кричевский И.Р., 1970]. Процесс, совершаемый такой системой, называется термодинамическим процессом. Развитие, т.е. эволюция, конкретной изолированной термодинамической системы заканчивается (не обязательно за конечное время) наступлением в ней равновесия. Самостоятельно выйти из равновесия конкретная система не может, для этого необходимо ее взаимодействие с другими системами, т.е. нарушение ее изолированности. Если вывести устойчивую термодинамическую систему на бесконечно малую величину из состояния равновесия и вновь изолировать, она самопроизвольно вернется в состояние устойчивого (стабильного) равновесия. Заметим, что взаимодействие даже двух равновесных систем, вообще говоря, может выводить каждую из них из состояния равновесия. Таким образом, интуитивное понимание устойчивого состояния заключается в том, что система обладает некоторым свойством, позволяющим ей при "бесконечно малых" в течение конечного времени возмущениях ее состояния после прекращения возмущения за время, не обязательно конечное, вновь вернуться в него. Понятие "бесконечно малых" возмущений, хотя интуитивно понятно, является перенесением "непрерывной" классической математической терминологии в область представлений, в которой обсуждаемые понятия могут быть принципиально дискретными ("возмущающее вещество" не может быть, добавлено в равновесную систему в количестве, меньшем, чем одна молекула и т.п.). Если же возмущения не бесконечно малые, то понимание устойчивости термодинамической системы нуждаются в доопределениях.

Одним из них может быть истолкование понятия устойчивости в терминах корректно поставленных по А.Н.Тихонову задач [Тихонов А.Н., 1963, 1979], применительно к получению прогноза состояния системы за бесконечное время, прошедшее после прекращения возмущающих систему процессов. Главными математическими понятиями, вводимыми для истолкования, являются понятия пространства исходных данных F (пространство начального состояния) и пространства решения задачи U (пространство прогноза). Задача определения решения (то есть анализ устойчивого состояния термодинамической системы) называется устойчивой, если для любого числа epsilon >0 можно указать такое число delta (varepsilon)>0 (возмущающий процесс имел "величину", меньшую delta), при котором система будет отличаться в новом равновесном состоянии от своего состояния, предшествующего возмущению, на "величину", не превышающую epsilon. Под понятием "величины" подразумеваются численные величины (метрики), характеризующие "расстояния" между соответствующими состояниями и некоторым началом отсчета, выбранного за нуль. Это понятие устойчивости, вообще говоря, не является полным описанием устойчивости рассматриваемых систем. Полным в принятой терминологии является следующее понятие корректно поставленной задачи:

Задача, не являющаяся корректно поставленной, называется некорректно поставленной задачей. Отметим, что определение корректно поставленной задачи с необходимостью относится к выбранной (F,U) паре пространств, так как при ином выборе пространств задача может изменять свой класс корректности. Так в конкретном случае термодинамической системы, задаваемой, в частности, массой (числом молей) независимых компонентов, пространство начального состояния можно понимать как дискретное множество количества молей, каждый элемент которого отличается от другого на величину, не меньшую, например, 10¹² молей (возможности разрядной сетки ЭВМ, на которой осуществляется моделирование системы). В этом случае под "бесконечно малым" изменением состояния системы подразумевается наименьшее возможное изменение в пространстве начального состояния. Аналогично можно интерпретировать и "малые" изменения в пространстве прогноза. Если же начальное состояние системы соответствует такому, что "малое" возмущение влечет, например, изменение кристаллической модификации или, в общем случае, фазовый переход, то теоретически после снятия возмущения термодинамическая система должна вернуться в исходное (начальное) состояние. Однако если обратный переход кинетически заторможен, в конечное время такого возврата может и не произойти. В силу этого, возникает проблема получения устойчивого решения задач моделирования термодинамических систем, а в общем случае – геохимических, которые сами по себе неустойчивы.

Если теоретически задача прогнозирования состояния равновесной термодинамической системы после завершения возмущающих процессов может быть после работ Дж.Гиббса [Гиббс Дж.В., 1950] отнесена к корректно поставленным задачам, то практический (вычислительный) ее аналог, содержащий не только меры возмущения, но и их погрешности, обычно неизвестен. Так же неизвестны погрешности вычислительных операций, моделирующие процесс химической релаксации, и, в этом случае, вычислительный аналог может не отвечать условию единственности (в рамках допустимых погрешностей) решения корректно поставленной задачи.

Как всякая задача прогнозирования, оценка возможных путей эволюции химической, а тем более геохимической системы, оказывается весьма чувствительной к погрешностям начальных данных и, в общем случае, неустойчива по ним. Задача становится совсем безнадежной, если к естественной (физической) неустойчивости моделируемого процесса добавляется вычислительная (математическая) неустойчивость вычислительного алгоритма, или если алгоритм не представляет возможности оценивать влияние погрешности исходных данных на результаты моделирования.

Исследование эволюции геохимической системы основывается на том, что эта система является, в общем случае, динамической и развивающейся. Основные свойства развивающихся систем (как естественных – геохимических, так и искусственных, например, систем математического моделирования геохимических процессов) могут быть определены следующим образом.

В момент начала развития в системе существуют определенные первоначальные ресурсы; в динамическую систему должны поступать вещество, энергия и информация.

В развивающейся системе должны существовать, выполняться и быть выделены:

Должен быть также учтен износ механизма воспроизводства и производства продуктов развивающейся системы, под которым можно понимать износ памяти системы.

К понятию динамической развивающейся системы, как было отмечено, может быть отнесено и понятие математической модели.

Математическая модель в общем смысле является множеством символических математических объектов и отношений между ними. Такая модель будет воспроизводить выбранные стороны развивающейся системы, если будут установлены правила соответствия, связывающие специфические объекты и отношения системы с определенными математическими объектами и отношениями. Модель – это система, отражающая другую систему. Одно из более детальных определений математических моделей, удобных для описания многих объектов и характеристик качества самих моделей, следующее. Пусть нас интересует вектор состояний некоторого объекта О, причем известны такие функция R=R(I) и множество M, что

||R(I)-R^-||₁ =< delta(epsilon), ||I - I^-||₂ =< epsilon , I in M,

с вероятностью p, где R^-, I^- – идеальные значения соответственно состояний R и признаков I, от которых зависит R (но R зависит не только от I), epsilon, delta(epsilon) – известные положительные числа, ||...||_1,2 – меры близости в пространстве состояний и признаков. Тогда будем говорить, что имеется строгая математическая модель объекта О по отношению к состоянию R. Пусть размерность вектора I есть n. Если указан способ выбора n=n(epsilon,p) и соответствующих признаков I, которые обеспечивают указанные выше соотношения с любыми наперед заданными значениями epsilon, p (epsilon >0, 0<p<1), причем delta(epsilon)–>0 при epsilon–>0, то будем говорить, что имеется достаточно точная стохастическая модель по отношению к состоянию R. При а=1 имеем достаточно точную детерминированную модель. Для динамических моделей в число признаков I обычно входит время t.

В настоящее время для многих объектов еще нет строгих и достаточно точных математических моделей. Новые цели исследований приводят к появлению новых классов динамических моделей, таких как логико-дифференциальные, использующие аппарат математической логики, теории вероятностей и дифференциальных уравнений; детерминированно-стохастические, использующие аппарат общей алгебры, теории вероятностей; метод фазового укрупнения сложных систем; интегральные, использующие интегральные уравнения и функциональный анализ; L-модели, основанные на теории языков, и др.

В связи с наметившимся направлением появления новых классов динамических моделей здесь целесообразно привести высказывание замечательного математика А.Г.Куроша (1978 г.), отмечавшего, что "...в соответствии с общими тенденциями современной науки новые объекты изучения, новые теории будут появляться в математике не с перерывами в десятилетия, а все чаще и чаще. Остановить этот процесс невозможно, пытаться это делать – неразумно. Можно лишь направлять этот процесс. Не нужно большого ума для того, чтобы создать новые объекты изучения. Труднее их оправдать".

Создание моделей требует доказательства достаточной для практики адекватности модельных функций, соответствующих экспериментальным данным, а также указания ограничений на область их применимости. Основным этапом создания является не столько создание модели объекта, сколько доказательство достаточной ее адекватности. В конечном счете, это дает возможность открывать новые свойства и закономерности изучаемого объекта с помощью созданной модели. Однако сложность модели не должна превосходить некоторого предела, определяемого возможностями современного математического аппарата. Эту мысль хорошо выражает фраза, которую обычно приписывают отцу русской авиации Н.Е.Жуковскому: "Не тот настоящий механик, кто умеет составлять уравнение движения, а кто их составляет так, что они интегрируются".

Таким образом, создание реально реализуемых устойчивых математических (в частности, компьютерных) методов решения задач математического моделирования физико-химических процессов в геохимических системах и их корректной интерпретации [Вистелиус А.Б., 1947, 1962, 1964] является одной из основ для современного развития науки о природной эволюции вещества – геохимии.

Основой для математического моделирования природных процессов является информационное обеспечение, под которым принято понимать базы экспериментальных численных данных, системы фактографической информации, компьютерные средства визуализации и хранения результатов моделирования, а также так называемые моделирующие алгоритмы, позволяющие исследовать влияние неопределенности исходных данных на результаты моделирования и их погрешности.

Использование моделирующего алгоритма позволяет не только вычислять конкретные значения характеристик процесса, необходимых для количественного его описания, но и, что особенно важно, проводить качественные исследования системы. Одним из классов, в которых можно реализовать такой алгоритм, является метод статистического моделирования (Монте-Карло) [Бусленко Н.П. и др., 1962].

Хотя статистическое моделирование относится к численным методам, однако, необходимо отметить особенности, принципиально отличающие его от обычных численных методов. При использовании обычных численных методов первоначально созданная математическая модель преобразуется в систему уравнений, допускающую численное решение, после чего применяется некоторый численный метод, по своей логической структуре имеющий, как правило, незначительное сходство, как с математической моделью, так и с моделируемым процессом. В противоположность этому при статистическом моделировании имитация элементарных явлений исследуемого процесса происходит при обязательном сохранении их логической структуры и всей необходимой информации о состоянии системы.

В этом смысле имеется некоторая аналогия между использованием метода статистического моделирования и исследованием процессов путем применения натурного эксперимента. И в том и в другом случае последовательно воспроизводятся состояния процесса (при экспериментальном исследовании – физически, при моделировании – путем вычисления характеристик состояния), наблюдение за которыми дает основу для изучения поведения всей системы. При этом нельзя забывать, что экспериментальные исследования связаны с большими затратами времени и средств, а для вновь изучаемых геохимических систем такие исследования вообще не приемлемы.

Метод статистического моделирования представляет особый интерес для моделирования физико-химических систем, так как позволяет без значительных трудностей учитывать влияние факторов, воздействие которых на эти системы носит случайный характер. В самом деле, учет действия случайных факторов приводит к необходимости отыскания вероятностных характеристик случайных величин, законы распределения которых часто неизвестны. При наличии сложных соотношений между случайными величинами эта задача становится практически неразрешимой без использования метода статистического моделирования. Следует отметить, что при моделировании случайных факторов, влияющих на исследуемый процесс, воспроизведение на ЭВМ единственной реализации этого процесса не дает возможности объективно охарактеризовать моделируемую систему. Поэтому метод статистического моделирования предполагает выполнение большого количества реализаций процесса с последующим определением средних значений искомых величин. Полученные таким образом оценки с определенной степенью приближения (в силу действия закона больших чисел) могут быть использованы в качестве искомых характеристик. Возникает вопрос: нельзя ли ограничиться воспроизведением одной реализации процесса, в которую вместо случайных значений исходных данных подставить их средние значения? В общем случае ответ оказывается отрицательным.

Применение метода Монте-Карло для расчетов позволяет в качестве исходной информации использовать любые данные, принимающие численные значения. Таким образом, метод статистического моделирования дает возможность решать весьма сложные задачи и обладает значительными преимуществами перед аналитическими и другими численными методами использования математических моделей.

Проблема хранения, математической обработки экспериментальной термодинамической информации, ее согласования и гибкой формы выдачи результатов расчетов, а также математического моделирования природных процессов обуславливают необходимость создания компьютерной системы, способной решать задачи моделирования на современном уровне развития математики и вычислительной техники. Актуальность создания проблемно ориентированных компьютерных систем в науках о Земле, обладающих такими возможностями, неоднократно обсуждалась [например, Гурвич Л.В., 1982, 1983].

Термодинамическое и математическое моделирование полной физико-химической эволюции вещества от допланетной до современной эпохи на основе устойчивых вычислительных алгоритмов позволяет эффективно оценивать влияние неопределенности исходной информации на получаемые результаты. При этом необходимо отметить, что начальные условия физико-химической эволюции вещества оказываются неизвестными, и для их восстановления (или согласования с реально наблюдаемыми) необходимо решать не прямую, а обратную задачу моделирования, т.е. по наблюдаемым в настоящее время распределениям геохимических полей восстанавливать их состояние   5 млрд лет назад. Учитывая, что даже чисто термическая задача в такой постановке относится к некорректно поставленным, для построения хотя бы некоторых оценок необходим очень специальный выбор пространства начального и прогнозного состояний, который также является совсем не очевидной решаемой задачей.

Обширность и сложность этой задачи требует ее упрощения, при котором возможно решение хотя бы отдельных фрагментов этой проблемы.

Такими фрагментами, вероятно, можно считать:

Решение перечисленных задач было реализовано нами с помощью компьютерного комплекса моделирования эволюции вещества, объединяющего систему основных математических моделей физико-химических и динамических процессов с информационным обеспечением (термодинамической базой данных) и позволяющего решать ряд задач моделирования эволюции вещества. Этот комплекс можно рассматривать в качестве основы для будущей многофункциональной системы математического моделирования.

В процессе реализации вышеназванных задач возникло новое направление в теории математического моделирования космохимических и геохимических процессов, основанное на использовании стохастического подхода к решению проблем химической термодинамики.

Оригинально сформулирована и частично решена проблема устойчивости математической обработки термодинамической информации по минералам и минералообразующим веществам, ее интерпретация на основе устойчивых алгоритмов математического моделирования некоторых этапов физико-химической эволюции вещества в допланетном облаке, на поверхности и в недрах планетных тел.

Впервые разработаны алгоритмы, позволяющие осуществлять упорядоченное хранение, согласование и рекомендации по численным значениям термодинамических характеристик веществ и экспериментально изученных реакций с указанием их погрешностей. Это дает возможность использовать принцип обратной связи в решении ряда важных задач химической термодинамики, т.е. осуществлять смену набора базисных веществ (независимых компонент) с целью получения минимальной погрешности в решении задачи согласования термодинамической информации, используемой для математического моделирования физико-химических систем.

Разработаны новые алгоритмы расчета равновесного состава многокомпонентных систем, основанные на использовании метода нестационарных уравнений, позволяющие ввести в вычислительный процесс переменную квазивремени, и дающие возможность имитировать неполную химическую релаксацию в системе.

Приведены вероятностные интерпретации конденсационной последовательности газа солнечного состава, что позволяет объяснить многообразие минеральных форм, наблюдаемых в веществе метеоритов.

При исследовании процесса фракционной конденсации вещества из газовой составляющей допланетного облака (ДПО) и его постконденсационном преобразовании впервые в практике равновесных расчетов получен состав вещества основных типов хондритов.

Получен химический состав вещества, которое по комплексу геофизических и сейсмологических данных можно считать веществом, сформировавшим Землю, что позволяет прогнозировать тотальный состав земной мантии и магматических выплавок.

Создана устойчивая математическая модель динамической магматической дифференциации вещества в равновесном приближении, основанная на механизме конвективной седиментации кристаллической фазы, что позволяет подойти к объяснению химической расслоенности магматического вещества в процессе кристаллизации.

При численном моделировании процесса взаимодействия атмосфер планет с породами поверхности впервые получен фазовый состав пород Венеры и грунта Марса и определены минеральные формы, в которых связаны летучие.

Выявлена специфика преобразования поверхности планет, выраженная в обогащении серой поверхностного вещества на Венере и преимущественного окисления поверхностного вещества на Марсе.

Исследован состав возможных конденсатов облачного слоя планеты Венера.

Проведены модельные расчеты парникового разогрева атмосферы планеты Венера и его влияние на эволюцию газовой оболочки планеты и вещества поверхности.

Полученные модельные представления о путях физико-химической эволюции первичного вещества, приведшей к формированию планет, спутников и планетных тел Солнечной системы, могут дать возможности прогноза минерального состава поверхности, а также атмосфер и недр этих объектов.

Модели процессов фракционирования вещества (конденсационная, вопаризационная, конвективная) дают представление о дифференциации химических элементов в процессе эволюции вещества, и позволяют объяснить, некоторые виды наблюдаемой в природе минеральной и химической зональности.

Отметим также особый подход к термодинамическому моделированию конечного состояния планетарных систем, т.е. таких термодинамических систем, в которых полный химический потенциал сопоставим с полным гравитационным потенциалом.

Законы динамики вещества, сформировавшего планету в процессе аккреционного роста, в самогравитирующей системе, химические и гравитационные потенциалы которой зависят от химического состава вещества, а также энергетического минимума распределения его по объему системы, определяют стратификацию планетарных оболочек.

Неопределенность начальных условий аккреции дает мало надежд на создание математической модели, способной описать динамику объемного распределения вещества планеты за последние 4,5 млрд лет и ее продолжения до так называемого "конечного состояния", соответствующего полной релаксации вещества планеты. В этом состоянии должны прекратиться все тепловые и материальные потоки в ее недрах и планета приобретет температуру окружающего космического пространства.

Если для объектов с массой большей 10³² г (звезд) создана теория как начального [Чандрасекар С., 1950], так и конечного состояния (в приближении "холодного вещества, катализированного до конечной точки термоядерной эволюции" [Уиллер Дж. и др., 1967]), позволившая определить плотности вещества в критических точках его устойчивости, то для объектов с массами 10²⁶ – 10³⁰ г (планет) ныне существуют лишь подходы к созданию теории планетарной аккреции [Urey H.C., 1952; Сафронов В.С., 1969; Витязев А.В. и др., 1994]. Хотя в ряде работ [Birch F., 1965; Runcorn S.K., 1963] были рассмотрены процессы планетарной эволюции, сопровождаемые уменьшением гравитационного потенциала Земли, однако, работы, посвященные проблеме конечных химических и фазовых состояний планет, нам неизвестны. Полагаем, что данная концепция применима не только к объектам звездного, но и планетарного масштабов.

Предисловие, заключение, а также главы 2–9 написаны совместно, глава 10 – А.И.Шапкиным, главы 1, 11–13 и общая редакция – Ю.И.Сидоровым. Авторы благодарны всем своим соавторам за совместные исследования, а также коллегам за дискуссии по актуальным проблемам геохимии, космохимии и планетологии: Л.Н.Когарко, А.Т.Базилевскому, М.В.Борисову, А.В.Витязеву, В.П.Волкову, Э.М.Галимову, М.Ю.Золотову, А.А.Кадику, О.Л.Кускову, В.П.Мясникову, В.Б.Полякову, Б.Н.Рыженко, И.Л.Ходаковскому, Ю.А.Шуколюкову, Т.М.Энееву, О.И.Яковлеву, А.А.Ярошевскому, а также ныне покойным И.П.Иванову и М.Я.Френкелю.

В последние годы наши исследования поддерживались грантами Международного научного фонда (MDT–300, MDTOOO), Российского фонда фундаментальных исследований (94–05–16465, 97–05–65754, 01–05–64432, 01–07–90122, 02–05–64135) и гранта президента РФ НШ–1873.2003.5, в которых авторы являлись исполнителями и руководителями.