Шикин Е.В. От игр к играм.
Математическое введение. Изд. 2

Оглавление

Введение

В практической деятельности весьма часто приходится рассматривать явления и ситуации, в которых участвуют две (или более) стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными, или просто конфликтами.

Студент приходит на экзамен, тянет билет и... возникает конфликтная ситуация. Действия сторон – студента и преподавателя – различны, да и их интересы не во всем совпадают.

Разбойники делят добычу – снова конфликт.

Конфликтна и ситуация, в которую волею сочинителя оказываются вовлеченными три девицы, что

"...под окном Пряли поздно вечерком".

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

1) заинтересованными сторонами,

2) интересами этих сторон и

3) их возможными действиями.

Любая конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. Ее изучение, к тому же, затруднено наличием многих и очень разных обстоятельств, часть из которых ни на развитие конфликта, ни на его исход сколь-либо существенного влияния не оказывает. Поэтому для того, чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, необходимо от этих второстепенных факторов отвлечься, что при удачном стечении обстоятельств позволяет построить упрощенную формализованную модель конфликта, которую принято называть игрой и которая отличается от реальной конфликтной ситуации еще и тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Попробуем разобраться, почему для обозначения конфликтных ситуаций было выбрано именно это слово. Берем "Толковый словарь живого великорусскаго языка Владiмира Даля" (в последние годы подобное обращение считается правилом хорошего тона и носит почти ритуальный характер) и на седьмой странице 2-го тома третьего издания (издание т-ва М.О.Вольфъ, С.Петербург – Москва, 1905) читаем, что игра – это

"забава, установленная по правилам".

Именно то, что забавы многообразны – от народных и биржевых до карточных и военных – и весьма часто протекают по установленным правилам, и явилось, по-видимому, основной причиной превращения в XX веке привычного каждому с детства слова игра в математический термин.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни специальный математический аппарат – теорию игр.

Опишем некоторые основные понятия, используемые в этой теории.

Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выбирает свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемый ситуацией. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что каждому игроку в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации и называемое его выигрышем в ней.

Протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком своей стратегии и в получении им в сложившейся ситуации выигрыша из некоторого источника. На этом пути создается теория игр с выигрышами. В спортивных играх выигрыш выражается в очках, в азартных – в денежных призах, в народных меряется удовольствием.

Однако оценка игроком ситуации путем указания его выигрыша, вообще говоря, не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл. В подобных случаях иногда удается вместо прямых численных оценок ситуаций указывать на их сравнительную предпочтительность для отдельных игроков. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, включающая в себя теорию игр с выигрышами как частный случай.

"На леву ехати – богатому быть, На праву ехати – женату быть, Как прямо ехати – живу не бывати, – Нет пути ни прохожему, ни проезжему, ни пролетному". И раздумался старый Илья Муромец, Илья Муромец, сын Иванович: Да в которую дороженьку буде ехати?

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только игр с выигрышами.

Изучение игр можно проводить с различных точек зрения. Мы будем стремиться к

– выработке принципов оптимальности, то есть того, какое поведение игроков следует считать разумным, или целесообразным,

– выяснению реализуемости этих принципов, то есть установлению существования оптимальных в выработанном смысле ситуаций и

– отысканию этих реализаций.

Одной из плодотворных форм воплощения представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, при котором складывается такая (равновесная) ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, такие ситуации являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш (разумеется, в той мере, в какой это от него зависит).

Если в игре ситуации равновесия (в пределах отпущенных возможностей) нет, то, оставаясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой задачей. При возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расширении первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, в том или ином смысле обобщенных стратегий, заведомо нашлись бы равновесные. Если такие обобщенные стратегии существуют, то обычно они представляются некоторыми комбинациями исходных стратегий (при этом, естественно, предполагается, что игра повторяется многократно). Для того, чтобы отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые – смешанными стратегиями.

Сказанное мы проиллюстрируем на примере одного из самых простых, но одновременно и наиболее изученных и продвинутых классов игр, на так называемых матричных играх. Исследование матричных игр интересно еще и потому, что многие игры более общего вида могут быть сведены к ним приближенно. Затем мы рассмотрим еще два вида конечных игр – позиционные игры и биматричные игры.

Об авторе

Шикин Евгений Викторович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1982–2001), заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ (2002–2016). Заслуженный профессор МГУ. Лауреат премии Президента Российской федерации, лауреат многих научных премий. Был удостоен государственных наград. Член Американского математического общества и других иностранных академий наук. Область научных интересов: геометрия, геометрическое моделирование, игры поиска, компьютерная графика. Подготовил 12 кандидатов наук; в числе его учеников — три доктора наук. Автор более 210 опубликованных работ, в числе которых монографии и учебники.