URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Теория гомологий
Id: 1306
 

Современная геометрия: Методы и приложения. Теория гомологий. Т.3

URSS. 2001. 288 с. Твердый переплет. ISBN 5-8360-0162-6.
Обращаем Ваше внимание, что книги с пометкой "Предварительный заказ!" невозможно купить сразу. Если такие книги содержатся в Вашем заказе, их цена и стоимость доставки не учитываются в общей стоимости заказа. В течение 1-3 дней по электронной почте или СМС мы уточним наличие этих книг или отсутствие возможности их приобретения и сообщим окончательную стоимость заказа.

 Аннотация

Книга содержит доступное изложение методов теории гомологий, освобожденное от утомительного языка абстрактной гомологической алгебры. Более сложная часть книги содержит введение в современные методы вычисления гомотопических групп и классификации многообразий.

Для научных работников различных специальностей: математиков, механиков, физиков-теоретиков.


 Предисловие

Традиционно теория гомологии играет фундаментальную роль в изложении начал топологии. Начиная с А.Пуанкаре, создавшего основы топологии, теория гомологии рассматривается как первичная начальная основа методов алгебраической топологии. Из теории гомотопий к числу таких начал традиционно относились только фундаментальная группа и накрытия. Практически все классические начальные учебники по топологии (среди которых наилучшим, по мнению авторов, является книга Зейферта и Трельфалля "Топология") начинаются с изложения теории гомологии того или иного класса комплексов. Лишь на более позднем этапе рассматривается (к тому же с точки зрения теории гомологий) теория расслоенных пространств и общая задача о классификации гомотопических классов отображений (теория гомотопий). Вместе с тем методы топологии дифференцируемых многообразии, начавшие интенсивно развиваться с 30-х годов (Уитни и др.), позволяют полностью перестроить изложение фундаментальных основ современной топологии. С новой точки зрения, более близкой к классическому анализу, первичной оказывается элементарная теория гладких многообразии и основанная на ней теория гомотопий и гладких расслоенных пространств. Более того, в течение 70-х годов выяснилось, что именно этот комплекс топологических идей и методов имеет фундаментальные приложения в различных разделах современной физики. Вследствие этих причин авторы считают общенеобходимым учебным топологическим материалом в первую очередь именно основы теории гладких многообразий, теории гомотопий и расслоенных пространств; этот материал включен в учебное пособие Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, "Современная геометрия", часть II. В данной книге этот материал предполагается известным.

Решение более сложных задач самой топологии (вычисление гомотопических групп, классификация гладких многообразии и т.д.), а также многочисленные приложения алгебро-топологической техники в задачах алгебраической геометрии и комплексного анализа требует далеко идущего развития методов именно теории гомологий. В современной топологической литературе полностью отсутствуют книги, по которым можно было бы освоить комплекс методов теории гомологий в их внутритопологических приложениях, упомянутых выше. Настоящая книга имеет своей целью частично восполнить этот пробел.

В изложении теории гомологий авторы старались избежать, по возможности, абстрактного языка гомологической алгебры, чтобы читатель все время помнил, что гомологии, циклы и границы -- это конкретные геометрические образы. В некоторых случаях -- например в разделе, посвященном спектральной последовательности, -- это самоограничение приводит к некоторым трудно истребимым дефектам изложения. Однако последовательное изложение языка и методов современной гомологической алгебры, как показывает опыт, приводит к еще худшим дефектам, затрудняя понимание геометрического смысла теории гомологий. Некоторые фундаментальные методы современной алгебраической топологии (техника спектральных последовательностей и когомологических операций) изложены без полных обоснований, которые потребовали бы кардинального увеличения объема. Напомним, что использование этих методов базируется лишь на формально-алгебраических свойствах входящих в них величин и не использует явных конструкций этих величин, дававшихся в процессе обоснования. В конце книги методы алгебраической топологии применяются к изучению глубоких свойств характеристических классов и гладких структур на многообразиях. По замыслу авторов данная монография должна подводить читателя к чтению современной топологической литературы.

Большой вклад в формирование книги внес редактор Виктор Матвеевич Бухштабер. Благодаря ему целый ряд мест был переделан, улучшены многие доказательства. Авторы благодарят В.М.Бухштабера за эту большую работу.


 Оглавление

Предисловие к первому изданию
Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления
 § 1.Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных форм. Их гомотопическая инвариантность
 § 2.Гомологии алгебраических комплексов
 § 3.Симплициальные комплексы. Их гомологии и когомологии. Классификация двумерных замкнутых поверхностей
 § 4.Операция приклейки клетки к топологическому пространству. Клеточные пространства. Теоремы о приведении клеточных пространств. Гомологии и фундаментальная группа поверхностей и некоторых других многообразий
 § 5.Сингулярные гомологии и когомологии. Их гомотопическая инвариантность. Точная последовательность пары. Относительные гомологии
 § 6.Сингулярные гомологии клеточных комплексов. Их совпадение с клеточными гомологиями. Двойственность Пуанкаре для симплициальных гомологий
 § 7.Гомологии прямого произведения. Умножение в когомологиях. Когомологии ${ H}mskip - hinmuskip $-пространств и групп Ли. Когомологии унитарной группы
 § 8.Гомологии косых произведений (расслоенных пространств)
 § 9.Задача о продолжении отображений, гомотопий и сечений. Препятствующий класс когомологий
 § 10.Гомологии и методы вычисления гомотопических групп. Теорема Картана--Серра. Когомологические операции. Векторные расслоения
  I.Понятие когомологической операции. Примеры
  II.Комплексы Эйленберга--Маклейна и операции
  III.Вычисление гомотопических групп $pi_iotimes {pmsbm Q}$
  IV.Применение к векторным расслоениям. Характеристические классы
  V.Классификация операций Стинрода в малых размерностях
  VI.Вычисление первых нетривиальных стабильных гомотопических групп сфер
  VII.Стабильные гомотопические классы отображений клеточных комплексов
 § 11.Гомологии и фундаментальная группа
 § 12.Когомологии гиперэллиптических римановых поверхностей. Торы Якоби. Геодезические на многоосных эллипсоидах. Связь с конечнозонными потенциалами
 § 13.Простейшие свойства кэлеровых многообразий. Абелевы торы
 § 14.Гомологии с коэффициентами в пучках
Критические точки гладких функций и гомологии
 § 15.Функции Морса и клеточные комплексы
 § 16.Неравенства Морса
 § 17.Правильная функция Морса--Смейла. Ручки. Поверхности
 § 18.Двойственность Пуанкаре
 § 19.Критические точки гладких функций и категория Люстерника--Шнирельмана
 § 20.Критические многообразия и неравенства Морса. Функции с симметрией
 § 21.Критические точки функционалов и топология пространства путей ${ Omega }{ M}$
 § 22.Применения теоремы об индексе
 § 23.Периодическая задача вариационного исчисления
 § 24.Функции Морса на трехмерных многообразиях и диаграммы Хегора
 § 25.Унитарная периодичность Ботта и многомерные вариационные задачи
  I.Теорема унитарной периодичности
  II.Унитарная периодичность с точки зрения многомерных вариационных задач
  III.Ортогональная периодичность с точки зрения многомерных вариационных задач
 § 26.Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче ${ n}$ тел
Кобордизмы и гладкие структуры
 § 27.Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы и подмногообразия. Сигнатура многообразий
  I.Постановка задачи. Простейшие сведения о кобордизмах. Сигнатура
  II.Комплексы Тома. Вычисление кобордизмов (по модулю кручения). Форма сигнатуры. Реализация циклов подмногообразиями
  III.Некоторые применения формулы сигнатуры. Сигнатура и проблема инвариантности классов
 § 28.Гладкие структуры на семимерной сфере. Проблема классификации гладких многообразий (нормальные инварианты). Кручение Райдемайстера и основная гипотеза комбинаторной топологии
Литература
Приложение 
 1.Аналог теории Морса для многозначных функций. Некоторые свойства скобок Пуассона. С.П.Новиков
 2.Задача Плато, бордизмы и глобально минимальные поверхности в римановых многообразиях. А.Т.Фоменко
  I.Локально минимальные поверхности
  II.Многомерные вариационные задачи и теория бордизмов
  III.Формулировка теоремы существования глобально минимальных поверхностей, реализующих абсолютный минимум функционала многомерного объема
Предметный указатель

 Об авторе

Фоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук (РАН), действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), АТН РФ (Академии технологических наук Российской Федерации). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей; создал теорию классификации интегрируемых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации (в области математики) за работы по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых систем. Лауреат премии Московского математического общества и премии Президиума АН СССР. Автор более 250 научных работ, 30 монографий и учебников. Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце