Выдающийся ученый, один из создателей советской школы ракетной и космической баллистики. Доктор технических наук, профессор, инженер-полковник; лауреат Ленинской премии. Родился в Житомире. В 1939 г. окончил Киевский государственный университет им. Тараса Шевченко. Во время Великой Отечественной войны с 1941 по 1944 г. находился на фронте, в составе 45-й армии. С 1947 г. работал в НИИ-4 Министерства обороны СССР в должностях: научного сотрудника, старшего научного сотрудника (с 1949 г.), начальника лаборатории (с 1956 г.). Работал с С. П. Королевым, М. К. Тихонравовым и другими основоположниками космических исследований в СССР. С 1959 по 1968 г. — научный консультант. С 1968 г. был начальником отдела Института космических исследований Академии наук СССР.

Основное направление исследований П. Е. Эльясберга — разработка теории полета ракет и искусственных спутников Земли (ИСЗ) и методов баллистического обеспечения управления движением космических аппаратов. Выпущенный им в качестве ответственного исполнителя первый отчет НИИ-4 МО в 1947 г. положил начало систематическому развитию теории полета ракет. В дальнейшем, решая проблему подготовки данных для пусков ракет, он разработал эффективный метод представления прицельных данных в виде разложения в специальные ряды. При запуске первого ИСЗ им была определена орбита и спрогнозировано движение спутника по результатам оптических и радиотехнических измерений с использованием разработанной им графоаналитической методики. П. Е. Эльясберг дал первое систематизированное изложение основ теории полета и теории оценки точности определения движения летательных аппаратов по результатам измерений. Автор 5 крупных монографий, в том числе фундаментального труда «Введение в теорию полета искусственных спутников Земли», и большого числа других научных публикаций.