URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы
Id: 123423
 
312 руб.

Обобщенные интегралы. Изд.2

URSS. 2011. 280 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-02028-2.

 Аннотация

В настоящей книге излагаются основы современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. Представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов, полученных авторами книги. Основное внимание уделено конструкции Хенстока---Курцвейля, позволяющей определить интеграл Лебега и ряд других интегралов в терминах обобщенных сумм Римана. Представлена также теория интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Первая часть книги может служить основой изложения теории интеграла в университетском курсе математического анализа, в котором интегралы Римана и Лебега вводятся одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.

Книга предназначена для студентов и аспирантов математических факультетов университетов и всех интересующихся теорией интегралов и их применением.


 Оглавление

Введение

Часть 1. Римановская теория интегрирования

Глава 1. Предел функции по базе
 § 1.Предварительные сведения и определения
 § 2.Свойства пределов по базе
Глава 2. Определенные интегралы римановского типа
 § 1.Определенные интегралы Римана, Мак-Шейна и Хенстока--Курцвейля
 § 2.Внешняя мера Лебега и другие сведения из теории меры
 § 3.Классы интегрируемых функций
Глава 3. Неопределенные интегралы
 § 1.Определения и простейшие свойства
 § 2.Неопределенные интегралы Мак-Шейна и Хенстока--Курцвейля
 § 3.Абсолютная интегрируемость
Глава 4. Интегралы Стилтьеса
 § 1.Интегралы Римана--Стилтьеса, Мак-Шейна--Стилтьеса и Хенстка--Курцвейля--Стилтьеса
 § 2.Классы интегрируемых функций
 § 3.Неопределенные интегралы Стилтьеса
Глава 5. Предельные переходы под знаком интеграла
 § 1.Предельный переход в последовательностях измеримых функций
 § 2.Монотонный предельный переход под знаком интеграла
 § 3.Интегралы Мак-Шейна и Хенстока--Курцвейля от неотрицательных функций
 § 4.Ограниченные предельные переходы под знаком интеграла Мак-Шейна
 § 5.Пространства Лебега и их свойства

Часть 2. Дескриптивные характеристики интегралов

Глава 6. Класс неопределенных интегралов Мак-Шейна
 § 1.Абсолютно непрерывные функции
 § 2.Дифференцируемость почти всюду
 § 3.AC-функции -- неопределенные интегралы Мак-Шейна. Интеграл Лебега
Глава 7. Дополнительные сведения из теории меры. Вариационная мера
 § 1.Внешняя мера и измеримость в смысле Каратеодори
 § 2.Метрическая внешняя мера
 § 3.Вариационная мера
Глава 8. Дескриптивные определения интегралов
 § 1.Дескриптивное определение интеграла Хенстока--Курцвейля на основе вариационной меры
 § 2.Класс ACGdelta
 § 3.Класс VBG*
 § 4.Класс ACG*. Свойство N Лузина. Узкий интеграл Данжуа
 § 5.Эквивалентность узкого интеграла Данжуа интегралу Хенстока--Курцвейля
Глава 9. Интеграл Перрона
 § 1.Общность P-интеграла
 § 2.betadelta-вариация и P0-интеграл

Часть 3. Интегрирование вектор-функций

Глава 10. Интегралы Римана и Дарбу
 § 1.Интеграл Римана
 § 2.Интеграл Дарбу
 § 3.Взаимоотношение интегралов Римана и Дарбу
Глава 11. Измеримые функции
 § 1.Сходимость по мере
 § 2.Простейшие свойства измеримых функций
 § 3.Почти равномерная сходимость
 § 4.Теорема Егорова
 § 5.Критерий измеримости
 § 6.Теорема Петтиса об измеримости
Глава 12. Интегралы Бохнера и Мак-Шейна
 § 1.Понятие интеграла для простых функций
 § 2.Распространение интеграла на измеримые функции
 § 3.Простейшие свойства интеграла Бохнера
 § 4.Интеграл Мак-Шейна
 § 5.Вариационный интеграл Мак-Шейна
 § 6.Эквивалентность интеграла Бохнера и вариационного интеграла Мак-Шейна
Глава 13. Свойства интеграла Лебега для банаховозначных функций
 § 1.Критерий интегрируемости
 § 2.Абсолютная интегрируемость
 § 3.Свойства неопределенного интеграла
 § 4.Предельные теоремы
 § 5.Пространство L([a,b],X)
Глава 14. Интегралы Данжуа и Хенстока--Курцвейля
 § 1.Интеграл Хенстока--Курцвейля
 § 2.Вариационный интеграл Хенстока--Курцвейля
 § 3.Интеграл Данжуа
 § 4.Дескриптивное определение интеграла Лебега
 § 5.О лемме Колмогорова--Хенстока
 § 6.Теорема о равномерной интегрируемости
Приложение
 § 1.Банаховы пространства
 § 2.Линейные отображения банаховых пространств
 § 3.Специальные пространства
Комментарии
Список литературы

 Введение

Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов анализа и служит основой применения методов анализа в теории вероятностей, математической физике и других смежных математических дисциплинах.

При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега. Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время как некоторые из упомянутых задач требуют процесса интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за счет интерференции положительных и отрицательных значений функции, как это имеет место, например, в случае несобственного интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным методом.

Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы были введены прежде всего для решения одной из основных задач классического интегрального исчисления -- задачи восстановления первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых рассматривает интегрирование как обращение операции дифференцирования, а другой -- как конструктивный процесс вычисления, включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место, например, при вычислении площади криволинейной трапеции.

Теория интегралов Данжуа--Перрона была изложена в хорошо известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла", вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в начале 60-х годов конструкция Хенстока--Курцвейля, определяющая интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась перспективной как в отношении возможностей ее обобшения на случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым подход Хенстока--Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя в университетских курсах математического анализа определять интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.

Теории интеграла Хенстока--Курцвейля посвящена обширная литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского университета и представляющей собой введение в теорию.

Целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. В ней представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов книги.

В первой части книги представлены основы римановской теории интегрирования. Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока--Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесовские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается теоремами о предельном переходе под знаком интеграла. Вторая часть посвящена, в основном, изучению характеристических свойств неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному интегралу Лебега, а интеграл Хенстока--Курцвейля эквивалентен интегралу Данжуа--Перрона. Третья часть книги является введением в интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги комментариях к каждой главе.

В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги существенно опирается на материалы кандидатской диссертации одного из соавторов, А.П.Солодова.

Книга предназначена студентам и аспирантам математических факультетов университетов и всем интересующимся теорией интегралов и их применением.

Авторы выражают сердечную благодарность Т.А.Своровской(Жеребьевой), которая взяла на себя труд редактирования и подготовки рукописи к печати.


 Страницы

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце