URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Корпусов М.О., Свешников А.Г. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линейных пространств
Id: 123050
 
499 руб.

Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линейных пространств

URSS. 2011. 416 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-396-00362-0.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена изложению геометрических и топологических свойств линейных пространств --- как конкретных, так и абстрактных. Рассматриваются три основных типа топологий: сильная, слабая и *-слабая. Описываются свойства пространств Лебега, Соболева и соответствующих "нестационарных" аналогов. Большое внимание уделено пространствам основных функций и соответствующих распределений. Рассмотрение пространств в книге основано на теории двойственностей.

Книга предназначена для специалистов в области математической и теоретической физики, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.


 Содержание

Предисловие
Введение
Глава 1. Геометрические и топологические свойства пространств Банаха
 § 1.Введение
 § 2.Сильная, слабая и *-слабая сходимости
 § 3.Рефлексивность и сепарабельность
 § 4.Дуализующее отображение
 § 5.Плотные вложения банаховых пространств
Глава 2. Функциональные пространства
 § 1.Введение
 § 2.Пространство функций BV[a,b]
 § 3.Пространство функций AC[a,b]
 § 4.Пространства Гельдера Ck,delta(Omega надчеркн.) и C1+delta/2,2+delta(Q надчеркн.)
 § 5.Пространства Лебега Lp(Omega,mu)
Глава 3. Локально выпуклые пространства
 § 1.Введение
 § 2.Определение пространства Фреше
 § 3.Полунормы и их свойства
 § 4.Бочечные пространства
 § 5.Сопряженные пространства и топологии
 § 6.Дважды сопряженные пространства
 § 7.Рефлексивность и полурефлексивность
 § 8.Фильтры, ультрафильтры и полнота
 § 9.Индуктивные и проективные пределы
 § 10.Борнологические пространства
 § 11.Плотные вложения локально выпуклых пространств
Глава 4. Пространства распределений
 § 1.Введение
 § 2.Пространства основных функций D, P и E
 § 3.Пространство распределений D'
 § 4.Пространство распределений P'
 § 5.Пространство распределений E'
Глава 5. Пространства С.Л.Соболева
 § 1.Введение
 § 2.Слабая и сильная производная
 § 3.Пространства Wk,p(RN)
 § 4.Теоремы вложения Wk,p(Omega) и W0k,p(Omega)
 § 5.Пространства W0k,p(Omega) и W-k,p'(Omega)
Глава 6. Пространства B-значных функций
 § 1.Введение
 § 2.Пространство Сm([0,T};B)
 § 3.Пространство BV([0,T};B)
 § 4.Интеграл Бохнера
 § 5.Пространства Lp([0,T},mu;B)
Глава 7. Пространство B-значных распределений
 § 1.Введение
 § 2.Операторные топологии
 § 3.Пространство распределений D'(0,T;B)
 § 4.Пространства С.Л.Соболева Wk,p(0,T;B)
 § 5.Одно специальное пространство
Список литературы
Предметный указатель

 Предисловие

В данной книге мы попытались отразить те свойства векторных топологических пространств, которые не слишком подробно освещаются в классических университетских курсах линейного функционального анализа. Данная книга является первой частью работы, посвященной методам нелинейного функционального анализа (2-я часть: Методы исследования нелинейных операторов. М.: URSS, 2011). По нашему глубокому убеждению, нелинейный функциональный анализ можно определить как методы исследования нелинейных операторов, действующих в линейных пространствах. Поэтому для изучения нелинейных операторов нам нужна достаточно детальная информация о геометрических и топологических свойствах различных линейных пространств, как абстрактных, так и конкретных. И все эти свойства мы подробно осветили в настоящей книге. Все утверждения из книги либо формулируются без доказательств, либо для них приводятся максимально подробные доказательства.

Содержание и тематика книги обсуждались с И.А.Шишмаревым, который высказал много полезных замечаний, за что авторы ему искренне признательны.


 Введение

В первой части нашей книги мы отразили те свойства линейных топологических пространств, которые, с одной стороны, не очень детально и подробно освещаются в классических университетских учебниках по линейному функциональному анализу, а с другой стороны, весьма необходимы для рассмотрения методов исследования нелинейных операторов, действующих в этих конкретных и абстрактных линейных топологических пространствах. Так, наш подход к теории абстрактных и конкретных линейных топологических пространств основан на теории двойственности. Как известно, построение новых линейных топологических пространств из уже имеющихся можно делать двумя способами -- с помощью тех или иных методов интерполяции и используя теорию двойственности. В данной книге мы рассмотрели детально применение второго метода. Заметим, что первый метод является не менее важным, но его рассмотрение в общем виде требует изложения большого количества дополнительных результатов и это выходит за рамки настоящей книги, хотя на примере пространств Лебега и пространств Гельдера мы метод интерполяции рассмотрели. Причем с точки зрения теории двойственности можно с единой точки зрения изложить как теорию функциональных пространств, таких как пространства Лебега и пространств BV и AC, так и теорию распределений -- что мы и делаем. Наконец, мы для всякого вновь введенного функционального банахова пространства детально рассматриваем три основных типа сходимостей -- сильную, слабую и *-слабую, которые очень важны при исследовании слабых решений нелинейных краевых задач.

Во второй части книги мы уже систематически используем результаты, полученные в первой части. При этом мы детально рассматриваем все основные методы исследования нелинейных операторов. Большое внимание нами уделено вариационным методам, таким как вариационные методы, основанные на принципе компактности Пале--Смейла и теории категорий Люстерника--Шнирельмана, теория рода М.А.Красносельского, метод глобального расслоения С.И.Похожаева и теория Амбросетти--Рабиновича. Все эти вариационные методы применяются к конкретным физическим задачам из теории нелинейной механики, нелинейной оптики, физики полупроводников и физики твердого тела. Причем для некоторых задач удалось получить описание некоторых существенно нелинейных эффектов, которые наблюдаются в эксперименте. Кроме того, мы излагаем и другие методы нелинейного анализа, такие как методы компактности, методы монотонности, топологические методы и метод сжимающих отображений. При этом мы снова иллюстрируем их применение к нелинейным задачам, имеющим физический смысл, в частности, из теории нелинейных электромагнитных сред. Наконец, в последней главе второй части настоящей КНИГИ мы излагаем два важных метода исследования возникновения эффекта разрушения решения нелинейной краевой или начально--краевой задачи. Первый метод -- это широко известный "энергетический" метод Х.А.Левина, а второй метод -- это метод нелинейной емкости С.И.Похожаева и Э.Л.Митидиери. И опять мы иллюстрируем применение этих методов к конкретным физическим задачам.

В первой главе рассматриваются различные геометрические и топологические свойства банаховых пространств. Большое место уделено вопросам теории двойственности, различных типов сходимостей, таких как сильная, слабая и *-слабая, достаточным условиям этих типов сходимостей. Кроме того, большое место уделено так называемым дуализующим отображениям, поскольку они интенсивно используются в нелинейном анализе. Рассмотрены достаточные условия вложения сопряженных пространств к данным.

Во второй главе нами рассмотрены конкретные примеры функциональных пространств. Так, рассмотрены пространства BV[a,b] функций ограниченной вариации, AC[a,b] абсолютно непрерывных функций, Ck,delta(Omega надчеркн.) пространства Гельдера, C1+delta/2,2+delta(Q надчеркн.) параболические пространства Гельдера и, наконец, пространства Лебега Lp(Omega,mu). Для пространств Лебега Lp(Omega,mu) рассмотрены приложения общих результатов, полученных в первой лекции.

В третьей главе рассмотрена общая теория локально выпуклых пространств. Большое внимание уделено теории двойственности для локально выпуклых пространств.

В четвертой главе рассматриваются три пространства основных функций D, P и E. Рассмотрение этих пространств проводится на основе языка и методов теории локально выпуклых пространств, развитых в третьей лекции. Наконец, рассмотрена теория обобщенных функций или распределений D',P' и E'.

В пятой главе вводятся пространства С.Л.Соболева. Здесь используется теория пространства D', введенная в четвертой лекции. Для введенных пространств С.Л.Соболева применяются общие результаты, развитые в первой лекции. Наконец, подробно разбирается теория непрерывных и компактных вложений пространств С.Л.Соболева в другие банаховы пространства.

В шестой главе вводятся разнообразные функциональные пространства функций со значениями в банаховых пространствах. В частности, рассмотрена теория B-значных пространств Лебега.

Наконец, в седьмой главе мы рассматриваем некоторое обобщение понятия пространства распределений D' на случай B-значного пространства распределений D'(0,T;B).

Данная книга была написана в ходе выполнения проекта РФФИ N08-01--00376 и президентской программы поддержки молодых докторов наук MД-99.2009.1.


 Об авторах

Максим Олегович КОРПУСОВ (род. в 1973 г.)

Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова, в 1998 г. -- аспирантуру по кафедре математики и защитил кандидатскую диссертацию на тему "Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн". В 2005 г. защитил докторскую диссертацию "Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа". Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Алексей Георгиевич СВЕШНИКОВ

Известный специалист в области математического моделирования задач электродинамики и гидродинамики. Почетный работник высшего профессионального образования РФ, заслуженный профессор МГУ. Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность, награжден Почетной грамотой ВАК России. Автор свыше 400 научных работ, в том числе 6 монографий и монографических обзоров, а также 5 учебников и учебных пособий. Удостоен ордена "Знак Почета", ордена Трудового Красного Знамени, медали "За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И.Ленина" и многих других медалей.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце