Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля:
Гравитация. Т.5

Содержание

Введение

В настоящее время существует множество разнообразных теорий гравитации, одинаково успешно описывающих все имеющиеся эмпирические данные и наблюдения. К ним надо прибавить уже совсем гипотетические модели квантовой гравитации и "великого объединения" гравитации и других фундаментальных взаимодействий. Все они постоянно сменяют друг друга, но не проясняют такие проблемы, как "темная" материя, аномалия "Пионеров", гравитационные волны. Остается неизмеримым третье постньютоновское приближение, не известна толком и физика звезд, даже нашего Солнца: проблема солнечных нейтрино не решена. Поэтому мы здесь не рассматриваем модели.

Эта книга – последняя, пятая часть курса "Современные методы теории поля". Она посвящена математической формулировке классической теории гравитации как составной части общей классической теории поля, исчерпывающе описываемой в геометрическом формализме расслоенных пространств, когда классические поля представляются сечениями расслоений.

Сформулированная А.Эйнштейном и М.Гроссманом в 1912–1915 гг. теория гравитации была первой и долгое время единственной геометрической полевой теорией. При всех трудностях и проблемах она наряду с другими моделями успешно описывает классическое гравитационное поле как псевдориманову метрику. К математической формулировке теории гравитации вернулись в 50-е гг. прошлого века с развитием теории калибровочных полей.

Предложенная Ч.Янгом и Р.Миллсом в 1954 г. и развитая Р.Утиямой в 1956 г. теория калибровочных полей внутренних симметрий (будем называть ее теорией Янга–Миллса), дополненная хиггсовским механизмом спонтанного нарушения симметрий, стала сейчас общепризнанной моделью электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий и их объединения. Математически классическая калибровочная теория Янга–Миллса формулируется как теория поля на расслоениях со структурной группой, где калибровочные поля представляются связностями на главных расслоениях.

Немедленно встал вопрос о присоединении гравитации к этой универсальной калибровочной картине фундаментальных взаимодействий. Уже в 1956 г. Р.Утияма выдвинул первую калибровочную модель гравитации. Однако построение калибровочной теории гравитации столкнулось с той трудностью, что гравитационное поле в эйнштейновской ОТО представляется псевдоримановой метрикой, а не связностью, как калибровочные поля. Решение этой проблемы лежит в рамках общей формулировки классической теории поля на языке расслоений.

Калибровочными симметриями эйнштейновской ОТО являются общие ковариантные преобразования, характеризующие так называемые натуральные расслоения (natural bundles), и она формулируется на языке касательного, кокасательного и тензорных расслоений, являющихся примером натуральных расслоений. Поэтому классическая теория гравитации, включающая эйнштейновскую ОТО, строится как теория поля в категории натуральных расслоений над ориентируемым 4-мерным многообразием X, называемым мировым многообразием (world manifold). Это аффинно-метрическая теория гравитации, где динамическими переменными являются линейная связность Г и псевдориманова метрика g на X. Первая аналогична калибровочному полю в калибровочной теории Янга–Миллса, а псевдориманова метрика g отождествляется с гравитационным полем в эйнштейновской ОТО.

Ключевым элементом такой формулировки теории гравитации является нарушение пространственно-временных симметрий до группы Лоренца. Оно обусловлено принципом эквивалентности и наличием дираковских спинорных полей с группой симметрий Лоренца. Математически это выражается условием редукции структурной группы касательного расслоения над мировым многообразием X к группе Лоренца, что в силу известных теорем обуславливает существование псевдоримановой метрики g (т.е. гравитационного поля) на X. В такой трактовке гравитационное поле по своей физической природе является хиггсовским полем, причем макроскопическим, в отличие от хиггсовских полей в объединенных калибровочных моделях электрослабого и сильного взаимодействий. Редукция структурной группы касательного расслоения к группе Лоренца, в свою очередь, согласно вышеупомянутым теоремам, с необходимостью предполагает ее редукцию к группе пространственных вращений SO(3), в результате чего мировое многообразие X наделяется ассоциированной с гравитационным полем пространственно-временной структурой.

Будучи построенной в рамках классической теории поля на расслоениях, аффинно-метрическая теория гравитации включает в себя эйнштейновскую теорию метрического гравитационного поля. В паре (g, Г) псевдоримановой метрики g и линейной связности Г последняя представляется суммой символов Кристоффеля метрики g, тензора конторсии, выраженного через антисимметричную часть (тензор кручения) Г, и тензор неметричности. Физическим источником метрического гравитационного поля, как и в ОТО, является метрический тензор энергии-импульса, а кручения и неметричности – соответственно спиновый ток и гипотетический гиперзаряд. Лагранжианы аффинно-метрической теории гравитации инвариантны относительно общековариантных преобразований. Инфинитезимальным генератором локальных однопараметрических групп этих преобразований является так называемое функториальное поднятие (морфизм алгебры Ли) векторных полей на X на расслоение над X. Это калибровочные преобразования, параметрами которых служат векторные поля на X. Инвариантность относительно общековариантных преобразований приводит к закону сохранения тока энергии-импульса, который согласно общей теореме о калибровочной инвариантности выражается через суперпотенциал.

Помимо гравитационного, известны всего два классических поля: электромагнитное поле и дираковские спинорные поля. В формализме расслоений дается геометрическое описание этих полей совместно с гравитационным полем. В частности, мы получаем, что электромагнитное поле не взаимодействует с полем кручения и не порождает его, как многими предполагалось. Что касается дираковского спинорного поля, то, с физической точки зрения, именно оно обуславливает нарушение пространственно-временных симметрий, что приводит к существованию гравитационного поля как хиггсовского. Поэтому возникают проблемы описания дираковского спинорного поля в разных гравитационных полях, в случае общей линейной связности и под действием общековариантных преобразований.

В книге приведены математические основы двух наиболее активно развиваемых обобщений теории гравитации: многомерной гравитации и супергравитации. Еще одно рассматриваемое нами обобщение гравитации – это калибровочная теория на расслоениях с аффинной связностью как своего рода ответ на многолетние и многочисленные попытки описания гравитации в качестве калибровочного поля группы трансляций.

Мы не рассматриваем квантовую гравитацию. Будучи хиггсовским, метрическое гравитационное поле является, по-видимому, принципиально классическим. Обуславливаемое им нарушение симметрии выражается в том, что в разных псевдоримановых метриках представления ковекторов dx^mu матрицами Дирака gamma^a не изоморфны, и такое представление не определено при рассмотрении суперпозиции метрических гравитационных полей, т.е. не выполняется квантовый принцип суперпозиции.

Чтобы познакомить читателя с общей проблематикой теории гравитации, которая является подоплёкой излагаемой здесь ее математической формулировки, в книгу включены эссе по истории эйнштейновской ОТО и калибровочной теории гравитации (глава 5).

Будучи частью серии "Современные методы теории поля", данная книга использует математический аппарат расслоений, изложенный в первом томе "Геометрия и классические поля". Однако для удобства читателя представляется целесообразным суммировать в Приложении необходимый математический материал из теории расслоенных пространств в форме, специально адаптированной к формулировке теории гравитации.

Об авторе

Советский и российский физик-теоретик, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник кафедры теоретической физики физического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова. Область научных исследований: геометрические методы теории поля, классической и квантовой механики; теория калибровочных полей; теория гравитации. Автор более 300 научных работ, в том числе 21 книги.