Депман И.Я. История арифметики.
(Захватывающее ПУТЕШЕСТВИЕ ПО МИРУ АРИФМЕТИКИ). Пособие для учителей. Изд. стереотип.

Содержание

Из введения

Настоящая книга является собранием очерков по истории арифметики. Автор стремился лишь осветить исторически все основные разделы арифметики, составляющие содержание школьного курса. Историю арифметики – науки можно найти в книге Иоганнеса Тропфке (1866–1939) "История элементарной математики" (т.I – "Арифметика", изд.3, Берлин и Лейпциг, 1930); в ней 430 страниц текста и 1343 указания на источники, занимающие значительную часть книги. Точные хронологические и библиографические сведения о возникновении и эволюции всех идей арифметики как науки даёт капитальный труд Леонарда Диксона (1874–1954) "История теории чисел" (три тома мельчайшего шрифта, 1700 страниц, Нью-Йорк, 1934) – результат многолетней работы автора с целым штатом своих помощников.

При составлении настоящей книги, предлагаемой советскому учителю, автор не мог подражать этим капитальным трудам ни по количеству охватываемых вопросов, ни по стилю изложения. Доступность изложения материала и специфические интересы основной группы предполагаемых читателей книги – учителей математики стояли в центре внимания автора.

Много лет преподавал автор историю математики будущим учителям (в ленинградских педагогических институтах) и учителям-практикам (в институте усовершенствования учителей), но вызвать настоящий интерес к предмету ему удалось лишь после того, как лекции стали насыщаться примерами, которые учитель мог бы использовать непосредственно в своей повседневной работе. Учитывая этот опыт, автор даёт в предлагаемой книге много арифметических сведений (формул, правил и их выводов) для Практического использования учителем в классе или Во внеклассной работе, чем его изложение прежде всего отличается от названных выше трудов, характеристика которых будет приведена в книге.

Итак, автор сознательно ограничивается изложением тех исторических сведений, которые могут быть использованы учителем для того, чтобы сделать уроки арифметики более интересными и содержательными. Стремление автора совпадает с мыслью современного поэта:

Нет, я не забываю день вчерашний,
Живу, однако, не вчерашним днем.

Знание вчерашнего должно служить для улучшения работы сегодняшнего дня.

Усвоение арифметики учащимися в школе многократно признавалось далёким от желаемого. Из всех предметов школьного курса математики арифметика, по общему признанию учителей и экзаменаторов при приёме в высшие учебные заведения, часто усвоена учащимися слабее остальных предметов этого курса. Недостаточное усвоение арифметики сказывается в упражнениях из других разделов математики, в разных расчётах, сопровождающих изучение других предметов, а неумение быстро и рационально выполнять арифметические расчёты и решать практические задачи даёт себя знать при работе окончивших школу на производстве.

Хорошая постановка преподавания арифметики в школе имеет исключительно важное значение.

Учащийся занимается арифметикой в течение первых шести лет своей школьной жизни. Арифметика есть первый математический предмет, изучаемый школьником. На уроках арифметики у ребёнка вырабатывается определённое отношение к математике не только на ближайшие годы учения, но иногда и на всю последующую жизнь.

Интерес человека к математике закладывается прежде всего на уроках арифметики, так как впечатления от первых уроков математики в школе являются, как все первичные впечатления в любой сфере восприятий, самыми устойчивыми в памяти и сознании человека. Поэтому уроки арифметики в школе в V–VI классах должны поручаться самым опытным учителям, любящим арифметику и глубоко понимающим её воспитательное значение; такое же место должна занимать арифметика в работе учителей I–IV классов. Ошибочным является поведение тех руководителей школ, которые обучение арифметике в V–VI классах поручают учителям, имеющим недостаточно часов в старших классах или начинающим. Директор и заведующий учебной частью должны прежде всего определить, кому из учителей можно поручить преподавание арифметики, и только после этого дополнять их нагрузку уроками в старших классах.

К сожалению, в школах часто имеет место недооценка арифметики как предмета. Разве не об этом говорит случай, недавно имевший место. Пишущему эти строки нужно было встретиться с учителем Х. в одной из ленинградских школ. Директор школы заявил, что такого учителя математики у него нет. Когда же Х. зашёл в учительскую, то на недоуменный взгляд ищущего встречи с Х. последовало замечание директора: "Вы так бы и сказали, что вам нужен учитель арифметики, а не учитель математики".

В этой недооценке арифметики повинны и сами учителя математики, которые часто свысока смотрят на арифметику, как на дисциплину, не заслуживающую называться математической наукой. Такой взгляд культивировался школой и, в частности, положением арифметики в учебных планах педагогических институтов, в которых до недавнего времени арифметике не отводилось должного места. Между тем на уроках арифметики учитель рассматривает вопросы, которыми занимается математическая наука сегодняшнего дня. Выдающиеся работы П.Л.Чебышева и академика И.М.Виноградова касаются вопросов о простых числах. Хотя эти работы выполнены самыми высокими средствами современной математики, однако смысл их понятен учащимся. Популярное ознакомление с этими работами и их творцами является одним из действенных средств воспитания интереса к математике у учащихся.

Во втором разделе книги говорится о некоторых свойствах натуральных чисел и соотношениях между ними. Открытие этих свойств и соотношений принадлежит известным учёным прошлого и современности. Во многих случаях имеется возможность доступно изложить эти вопросы, и практика показывает повышенный интерес учащихся к ним.

По мнению автора книги, эти сведения кратко могут включаться в урок, а в более широком плане служить материалом для работы кружков. Трудность, часто только кажущаяся, некоторых из этих вопросов не должна пугать ни учителя, ни ученика. Автор писал свою книгу "учиться хотящим" – как говорит заглавие старой русской книги. В каждом классе имеются ученики, увлекающиеся математикой. Для них будут интересными именно самые трудные вопросы из истории арифметики.

В старших классах во многие виды внеклассной работы можно включать разделы истории арифметики. Приводимые в книге факты и примеры, изложенные на исторической канве развития арифметики, могут служить для этой цели.

Одной из причин слабого знания арифметики оканчивающими среднюю школу является то обстоятельство, что, погружаясь в старших классах в изучение алгебры, геометрии и тригонометрии, учащиеся забывают арифметику, чему способствуют сами учителя. Учителю математики не следует забывать мудрую восточную пословицу: "Знания, не пополняемые ежедневно, убывают с каждым днем".

Это и происходит в старших классах школы со знаниями арифметики.

Известный профессор Московского университета и автор учебников математики для средней школы, Август Юльевич Давидов (1823–1885 гг.), среди многочисленных своих обязанностей считал самой ответственной и важной просмотр работ по математике оканчивающих гимназию. Сложив в преклонном возрасте все служебные и общественные обязанности, он до последних дней своей жизни наблюдал за преподаванием математики в средней школе. Его особенно интересовало качество ответов по арифметике.

Просматривая экзаменационные работы на аттестат зрелости в 1874 г., он отмечал, что ответы по арифметике слабее, чем ответы по другим отделам математики (факт, констатируемый и теперь ежегодно), хотя предлагавшиеся арифметические задачи были несложные и решение их основывалось на самых элементарных арифметических соображениях.

В своём отчёте Давидов объяснял это тем, что курс арифметики кончался в то время в III классе гимназии, прочие же отделы математики продолжались до окончания гимназии. "Однако, – указывал Давидов, – для большинства учащихся геометрия, алгебра и тригонометрия имеют только формальную пользу; по окончании гимназии сведения, приобретённые учеником в этих отделах, по недостаточности упражнений и приложений скоро утрачиваются, между тем как в арифметических знаниях каждый из них будет нуждаться в продолжение всей жизни, и потому именно желательно, чтобы ученики вынесли из учебного заведения вполне твёрдое и прочное усвоение арифметических приёмов".

Министерство народного просвещения признало приведенные соображения Давидова весьма важными и передало их на обсуждение учёного комитета министерства, в котором, правда, уже не состоял П.Л.Чебышев, вышедший из состава комитета в 1873 г., но где в отношении к преподаванию математики продолжал господствовать его дух. Комитет пришёл к заключению о необходимости принятия срочных мер, которые улучшили бы преподавание арифметики в гимназиях. Вероятно, это было одной из причин установления повторения арифметики в выпускных классах тогдашних средних школ. О необходимости принятия такой меры неоднократно высказывались учителя и в наши дни.

Несколько слов о том, как целесообразно использовать эту книгу. Она адресована в первую очередь учителю арифметики и, как сказано выше, стремится дать такой материал, который может быть использован учителем на уроке и в кружке. Книга избегает доказательств, которые требуют знаний, выходящих за границы школьной программы первых семи классов. Поэтому во втором разделе (в основном тексте книги) ряд предложений не имеет таких доказательств, которые требуют сведений из курса алгебры старших классов. Некоторые доказательства или указания приводятся в примечаниях, помещенных в конце книги. Интересные соотношения между числами, которые ученик на примерах может проверить, хотя он и не в состоянии ещё их строго доказать при помощи имеющихся у него теоретических сведений, полезны сами по себе, возбуждая интерес и стремление учащихся искать доказательств в старших классах и, таким образом, возвращаться к арифметике.

Современный французский педагог, Валусинский ("Бюллетень ассоциации преподавателей математики Франции", 1956, 175) резко возражает против задач, начинающихся словами "Доказать, что...". Предварительное, на примерах, в историческом рассказе ознакомление учащихся с подлежащими доказательству равенствами даёт возможность превратить изучение их в те "естественные, не надуманные, упражнения", которых требовал при преподавании математики философ Монтень.

Не следует смущаться, что таких упражнений дано в книге много. Книга должна служить читателям, требования и потребности которых могут быть разного уровня. Естественно вспомнить при этом слова Гёте:

Кто многое с собой несёт,
Тот многим что-нибудь приносит.

Каждый читатель из любой книги возьмёт столько, сколько он в состоянии взять. Для книги с "расширенным адресом", рассчитанной на многочисленный круг читателей, с различной подготовкой, упрёк "слишком много фактов!" лучше упрёка "слишком мало фактов!"

Помещение в примечаниях, а отчасти и в тексте книги значительного числа фактических данных, изложение которых представляет иногда отклонение от основного хода рассуждения, имеет существенное значение.

Каждый лектор, а читающий курс истории математики в особенности, часто начинает лекцию словами: "Как известно..." и т.д. Из аудитории, с которой у лектора установились хорошие отношения, весьма часто на это следует отклик: "А нам это не известно".

Лектор обычно в этих случаях делает соответствующий экскурс в сторону от основной темы лекции.

Допущенные в книге экскурсы в сторону от основной нити рассказа имеют целью освободить автора от слов "как известно". Вполне вероятно, что для некоторой части читателей приводимые в названных экскурсах сведения покажутся скучными, как уже известные, но для другой части читателей они могут оказаться необходимыми для понимания общей идеи излагаемого.

Желание удовлетворить разнохарактерному кругу читателей книги объясняет отсутствие в ряде вопросов строгих кратких доказательств и удаление внимания занимательным соотношениям и фактам. Современный математик Хассе пишет в предисловии к своей популярной книге: "Математика имеет свои "последние квартеты Бетховена", которые существуют только для посвящённых, но в ней существуют и свои "шубертовы песенки" ("Schubert-Lieder"), доступные непосредственно всем". Подобрать некоторое количество последних, сообразуясь с размерами книги, стремился автор, помня слова составителя первой печатной книги по занимательной математике Алберти (XV в.), заявившего, что он "больше старался помочь многим, чем угодить немногим (избранным)".

Стиль этой книги отличен от обычного стиля учебника, представляющего "склад, в котором для каждой вещи есть своя полочка". Здесь читатель получает сведения как исторические, так и теоретические в виде отдельных рассказов. Поучительно привести в этой связи рассказ старого писателя Н.Н.Златовратского о том, как он стал понимать математику, по которой в гимназии получал двойки. Отец мальчика направил сына к учителю другой школы С., известному своей строгостью. Вот что о последующем рассказывает Златовратский ("Воспоминания", 1956, стр.71):

"Принял он меня хотя и с обычной суровостью, но "по-семейному" и, нисколько не интересуясь, знаю ли я что-нибудь по его предмету и как, он без всяких предисловий приступил к ознакомлению меня с самыми элементарными основами математики, как будто я никогда не учился в гимназии и не сидел в ней уже четыре года. Протестовать я, конечно, не решался. Он прямо начал объяснять мне совершенно просто, "по-человечески", именно по-человечески, нумерацию и затем шаг за шагом все те необыкновенно просто и логически вытекающие одно из другого действия, которые мне казались раньше чуть ли не кабалистикой... Урок, другой, третий, и я каждый раз стал уходить от него как будто всё более и более духовно окрылённым. Прошло два месяца, и я уже был осиян настоящим откровением. Господи! Да неужели же я не идиот, не тупица, как уже начинали говорить обо мне мудрые гимназические педагоги?.. С. был, повидимому, мной тоже доволен, но не показывал вида, он даже не интересовался тем, за что и почему я получал в гимназии двойки и единицы... По прошествии двух месяцев С. сказал отцу лаконично: "Будет, довольно... Больше сыну ко мне ходить незачем пока... Пусть готовится к экзамену". Я... выдержал, наконец, экзамен, получив по математике "удовлетворительно", к изумлению нашего педагога, не решавшегося мне еще поставить лучший балл. Замечательно, что с тех пор я уже не получал ниже четырёх по всем отделам математики, а на выпускном экзамене имел полные пятёрки".

Разговорный стиль в сообщении исторических сведений естествен, но автор излагает и теоретические сведения в том же разговорном стиле. Он вспоминает, как по окончании учительской семинарии, в которой в те времена алгебра почти не изучалась, готовясь к экзамену на аттестат зрелости экстерном, он находил облегчение в понимании материала по учебнику алгебры Н.А.Шапошникова, в котором, в отличие от учебника А.П.Киселёва, многое излагалось разговорным стилем. Он мог бы после чтения разговорного изложения алгебры Н.А.Шапошниковым повторить слова французской учительницы, которая писала автору знаменитой "Арифметики дедушки" (Ж.Масса), изложенной разговорным методом: "Теперь я научилась понимать то, что я до сих пор делала".

Автор надеется, что его книгу будут читать и отдельные учащиеся. Воспитание у учащихся навыка к чтению математической книги есть важное средство улучшения их математической подготовки, конечно, наряду с усовершенствованием методов обучения.

...

Об авторе

Известный отечественный историк математики, педагог, методист, популяризатор науки. Преподавал в Вятском (с 1918 г.) и Ленинградском (с 1925 г.) педагогических институтах, профессор (1922). Автор научно-занимательных книг: "Из истории математики" (1950; 2-е изд. URSS, 2010), "Рассказы о решении задач" (2-е изд.1964), "Первое знакомство с математической логикой" (2-е изд.1965), "История арифметики" (2-е изд.1965; 6-е изд. URSS, 2011), "Рассказы о старой и новой алгебре" (1967; 3-е изд. URSS, 2007), "Мир чисел. Рассказы о математике" (4-е изд.1982), "За страницами учебника математики" (совместно с Н.Я.Виленкиным; 2-е изд.1999), а также множества других книг и статей по вопросам методики и истории математики.