| Предисловие |
| Глава 1. | Статистический оператор и корреляционные функции |
| | § 1. Введение |
| | | а) | Исследования квантово-механического типа |
| | | б) | Исследование системы при отличной от нуля температуре |
| | § 2. Микроскопическое состояние системы N тел |
| | | а) | Фиксация микроскопического состояния системы как чистого квантово-механического состояния |
| | | б) | Фиксация микроскопического состояния системы как смешанного квантово-механического состояния |
| | | в) | Статистический оператор и его свойства |
| | | 1. | Нормировка статистического оператора |
| | | 2. | Энергетическое представление для равновесного случая |
| | | 3. | x-представление статистического оператора системы N частиц и его свойства симметрии |
| | | 4. | Уравнение движения для статистического оператора rho (t) |
| | | 5. | Эволюция системы в гейзенберговском временн\'ом представлении |
| | | 6. | Представление взаимодействия для статистического оператора и динамическая теория возмущений |
| | | 7. | Уравнение Блоха для равновесной матрицы плотности и термодинамическая теория возмущений |
| | | 8. | Статистический оператор в смешанном представлении и функции распределения по микроскопическим параметрам |
| | | 9. | Вигнеровское представление статистического оператора и квазиклассический предельный переход |
| | § 3. Представление вторичного квантования |
| | | а) | Построение N-частичного базиса |
| | | б) | Представление чисел заполнения для операторов динамических величин |
| | | в) | Оператор alpha в бозе-случае |
| | | г) | Бозе-операторы рождения и уничтожения |
| | | д) | Представление вторичного квантования для операторов динамических величин в бозе-случае |
| | | е) | Оператор alpha в ферми-случае |
| | | ж) | Операторы рождения и уничтожения Паули и Ферми |
| | | з) | Представление вторичного квантования для операторов динамических величин в ферми-случае |
| | | и) | Рациональный выбор f-представления и некоторые основные операторы динамических величин |
| | | к) | Координатное представление операторов рождения и уничтожения (операторные волновые функции) |
| | | л) | Уравнения движения для операторов рождения и уничтожения |
| | | м) | Волновые функции и базис |
| | | н) | Теорема о спариваниях |
| | | о) | Вторичное квантование в случае неоднокомпонентных систем |
| | | п) | Общие замечания: достижения и трудности |
| | § 4. Статистические операторы и s-частичные корреляционные функции |
| | | а) | Статистические операторы Rs |
| | | б) | Корреляционные операторы Fs |
| | | в) | Уравнение движения для оператора Fs |
| | | г) | Простейшие случаи |
| | | д) | Связь простейших корреляционных функций с вариациями свободной энергии системы |
| Глава 2. | Идеальные квантовые системы |
| | § 1. Общие соотношения |
| | § 2. Идеальный нерелятивитский бозе-газ |
| | | а) | Особенности средних чисел заполнения в случае theta–>0 |
| | | б) | Граница вырожденных состояний системы |
| | | в) | Термодинамические свойства идеальной бозе-системы |
| | | г) | Обсуждение |
| | § 3. Равновесное электромагнитное излучение |
| | | а) | Термодинамические свойства идеального газа фотонов |
| | | б) | Формула Планка и обсуждение |
| | | в) | Реликтовое излучение |
| | § 4. Идеальные системы гармонических колебаний |
| | | а) | Равновесное электромагнитное излучение и энергия основного состояния системы |
| | | б) | Качественная теория теплоемкости твердых тел |
| | § 5. Идеальный нерелятивистский ферми-газ |
| | | а) | Ферми-система при нулевой температуре |
| | | б) | Температурное размытие сферы Ферми |
| | | в) | Термодинамические свойства идеального ферми-газа |
| | | г) | Обсуждение |
| | § 6. Примеры решения прикладных вопросов в теории электронного газа |
| | | а) | Формула Ричардсона и смежные вопросы |
| | | б) | Наличие энергетической щели над основным состоянием и потеря типа статистики |
| | | в) | Электронный газ в магнитном поле |
| | § 7. Релятивистский идеальный ферми-газ |
| | | а) | Идеальный газ безмассовых ферми-частиц |
| | | б) | Релятивистский газ электронов |
| | | в) | Электрон-позитронная плазма |
| | | г) | Гипотетическая кварко-глюонная система |
| | § 8. Парная корреляционная функция идеальных газов |
| | | а) | Невырожденные идеальные газы |
| | | б) | Вырожденный ферми-газ |
| | | в) | Бозе-газ ниже точки конденсации |
| Глава 3. | Двухвременные корреляционные функции и функции Грина |
| | § 1. Двухвременные корреляционные функции и их спектральные представления |
| | § 2. Двухвременные температурные функции Грина |
| | | а) | Спектральные представления функций Грина на epsilon-плоскости |
| | | б) | Обратное соотношение: выражение спектральной плотности через функцию Грина |
| | | в) | Запаздывающие и опережающие функции Грина |
| | | г) | Аналитические свойства функций Грина на энергетической плоскости |
| | | д) | Причинные функции Грина |
| | | е) | Характерный пример – однополюсная функция Грина |
| | | ж) | Общая схема метода двухвременных температурных функций Грина |
| | | з) | Идеальный ферми-газ как пример реализации общей программы исследований |
| Глава 4. | Функции Грина и физические характеристики статистических систем |
| | § 1. Равновесные характеристики статистической системы |
| | | а) | Корреляционные функции равновесной системы |
| | | б) | Внутренняя энергия системы |
| | | в) | Термодинамический потенциал Omega |
| | § 2. Реакция системы на внешнее возмущение и ее резонансные свойства |
| | | а) | Временн\'ая теория возмущений |
| | | б) | Адиабатическое включение периодического возмущения |
| | | в) | Возбужденные состояния и резонансные свойства статистической системы |
| | | г) | Неадиабатическое включение возмущения и процессы релаксации |
| | § 3. Функции Грина и линеаризованные кинетические уравнения |
| | | а) | Уравнение движения для динамической реакции средних значений как основа построения кинетических уравнений и запаздывающие функции Грина |
| | | б) | Построение уравнения для одночастичного статистического оператора и соответствующего ему уравнения для функции Грина |
| | | в) | Переход к координатно-импульсному представлению и использование аппроксимаций, заложенных в кинетических уравнениях классической теории |
| | § 4. Рассеяние частиц на статистических системах |
| | | а) | Рассеяние быстрых частиц |
| | | б) | Рассеяние электромагнитного излучения |
| | § 5. Правило суммы для спектральной плотности Jq(omega) |
| | § 6. Электромагнитные характеристики системы |
| | | а) | Динамическая диэлектрическая проницаемость |
| | | б) | Магнитная восприимчивость системы заряженных частиц |
| | | в) | Электропроводность |
| Глава 5. | Точно решаемые системы и физические задачи, сводимые к ним |
| | § 1. Общая квадратичная форма в качестве гамильтониана точно исследуемой статистической системы |
| | | а) | Диагонализация гамильтониана H |
| | | б) | Метод функций Грина |
| | § 2. Вырожденный неидеальный бозе-газ и концепция приближенного вторичного квантования по Боголюбову |
| | | а) | Трудности формальной теории возмущений |
| | | б) | Приближенное вторичное квантование. Модельный гамильтониан |
| | | в) | Точное решение статистической задачи для модельной бозе-системы |
| | | г) | Обсуждение полученных результатов |
| | | 1. | Особенности спектра возбужденных состояний |
| | | 2. | Динамическое размытие конденсата |
| | | 3. | Асимптотика энергии основного состояния и химический потенциал модельной бозе-системы |
| | | 4. | Основные итоги и проблемные вопросы |
| | § 3. К вопросу о термодинамическом контакте вырожденной трехмерной бозе-системы с ее модификациями меньшей размерности |
| | | а) | Аппроксимация обуженных бозе-систем модельными системами меньшей размерности и общие условия их термодинамического равновесия с трехмерной системой |
| | | б) | Термомеханические явления в вырожденном идеальном бозе-газе |
| | | 1. | Тепловое и динамические равновесия обуженных систем с трехмерной системой |
| | | 2. | Максимальная скорость движения газа по капилляру, щели или пленке |
| | | 3. | Направление движения частиц по капилляру и пленке |
| | | в) | Случай вырожденного слабо-неидеального бозе-газа |
| | § 4. Метод приближенного вторичного квантования в системах с парным центральным взаимодействием |
| | | а) | Модельный гамильтониан бозе-системы и эквивалентное суммирование ряда теории возмущений |
| | | б) | Об устойчивости спектра возбуждений низкотемпературной бозе-системы в приближении сквозного значения импульса передачи |
| | | 1. | Физические основания высокоплотностного приближения |
| | | 2. | Расширение приближения Боголюбова и особенности спектра возбужденных состояний системы |
| | | 3. | Обсуждение |
| | | в) | О двухуровневой структуре возбужденных состояний в неидеальной бозе-системе и двукратное использование процедуры приближенного вторичного квантования |
| | | 1. | Модель, допускающая точное решение |
| | | 2. | Приближенное вторичное квантование и теоретическое оправдание рассмотренной двухуровневой бозе-системы |
| | | 3. | Обсуждение |
| | | г) | Неидеальный ферми-газ и возможности метода приближенного вторичного квантования |
| | | 1. | Системы частиц с кулоновским взаимодействием |
| | | 2. | Ферми-система частиц с короткодействием |
| | § 5. Метод приближенного вторичного квантования в теории ферромагнетизма |
| | | а) | Гейзенберговская модель ферромагнетика |
| | | б) | Возможности теории возмущений |
| | | в) | Приближенное вторичное квантование и сведение к точно решаемой модели |
| | | г) | Термодинамические свойства и намагничение системы в области низких температур |
| Глава 6. | Статистический вариационный принцип и теория молекулярного поля |
| | § 1. Вариационная теорема Боголюбова |
| | § 2. Ферромагнетик Гейзенберга в вариационном приближении |
| | § 3. Пример совпадения вариационной оценки с асимптотически точным решением статистической проблемы |
| | § 4. Математическое дополнение |
| Глава 7. | Введение в теорию сверхпроводимости электронного газа в металлах |
| | § 1. Основные экспериментальные и теоретические предпосылки теории сверхпроводимости |
| | | а) | Немного об истории обсуждаемых вопросов |
| | | б) | Вопросы моделирования системы электронного газа в металлах |
| | | в) | Наводящие соображения, вытекающие из экспериментальных данных |
| | | г) | Корреляционный радиус бозе-подобных комплексов электронов в случае наличия энергетической щели в спектре их возбужденных состояний |
| | | д) | Условия существования квази-связного состояния пары электронов по Куперу |
| | | е) | Структура динамического взаимодействия электронов в металле |
| | § 2. Исследование системы с прямым эффективным взаимодействием электронов |
| | | а) | Выделение части гамильтониана, ответственной за формирование куперовских состояний |
| | | б) | (u-v)-преобразование Боголюбова ферми-операторов исходной модели |
| | | в) | Использование вариационного принципа для определения коэффициентов (u-v)-преобразования |
| | § 3. Исследование уравнения, определяющего величину энергетической щели, в случае упрощенной модели взаимодействия J(p,p') |
| | | а) | Уравнение для энергетической щели и термодинамический потенциал системы с модельным взаимодействием частиц, допускающим дальнейшее исследование проблемы сверхпроводимости |
| | | б) | Расчет температуры фазового перехода theta0 и температурное поведение энергетической щели в диапазоне 0<=theta<=theta0 |
| | § 4. Термодинамические свойства модельного сверхпроводника |
| | § 5. Величина критического магнитного поля и фазовый переход 2-го рода |
| | | а) | Термодинамическая теория |
| | | б) | Связь величины критического магнитного поля с размером энергетической щели Delta |
| | § 6. Качественный учет кулоновского взаимодействия |
| | § 7. Вариационное приближение и асимптотическая точность полученных результатов |
| | § 8. Принцип компенсации "опасных диаграмм" |
| | § 9. Общая структура возбужденных состояний сверхпроводящего и нормального электронного газа в металлах |
| | § 10. Обзор основных моментов представленного исследования |
| | § 11. Критерий возможного существования явления сверхтекучести ядерной материи с куперовской корреляцией составляющих ее ферми-частиц |
| | | а) | Моделирование исходного гамильтониана |
| | | б) | Разделение (u-v)-преобразованного гамильтониана на части |
| | | в) | Постановка вариационной задачи |
| | | г) | Выделение тривиального решения |
| | | д) | Критерий возникновения устойчивого сверхтекучего состояния системы |
| | | е) | Электронный газ как частный случай |
| Глава 8. | Расцепление системы уравнений для функций Грина |
| | § 1. Общие положения |
| | § 2. Электронный газ в компенсирующем поле кристаллической решетки |
| | | а) | Динамические особенности системы |
| | | б) | Функция Грина типа плотность-плотность в главном приближении |
| | | в) | Формальные свойства поляризационного оператора П(q,epsilon) |
| | | г) | Спектральные свойства и диэлектрические характеристики системы |
| | | д) | Термодинамический потенциал и выражающиеся с его помощью величины |
| | § 3. Обсуждение |
| Глава 9. | Электронный газ в статическом поле случайно расположенных рассеивающих центров |
| | § 1. Введение. Исходные уравнения для одночастичной функции Грина и массового оператора |
| | § 2. Усреднение по расположениям центров рассеяния |
| | § 3. Энергия и затухание одночастичных возбуждений во втором порядке по взаимодействию электронов с частицами тяжелой примеси |
| | § 4. Оценка удельного сопротивления электронного газа и обсуждение |
| Глава 10. | Проявление квантово-статистических свойств в поведении равновесных неодноатомных систем многих тел |
| | § 1. Модельные представления о системе |
| | § 2. Система двухуровневых частиц и возможность достижения уровня отрицательных температур |
| | § 3. Учет вращений молекул идеального классического газа |
| | § 4. Учет колебаний |
| | | а) | Взаимосвязь вращений и колебаний в двухатомных молекулах |
| | | б) | Учет ангармонизмов в одномерном колебательном движении |
| | § 5. Учет переходов в электронной оболочке молекул идеального двухатомного газа |
| Послесловие |
Предмет "Квантовая статистика" – это раздел статистической теории
(в основном равновесной или слаборавновесной), призванный теоретически
обосновать те наблюдаемые макроскопические эффекты, своеобразие которых целиком
основывается на исходных положениях квантовой теории и статистической механики.
К подобным темам относятся такие ее разделы, как теоретическое обоснование
термодинамических свойств электронного газа и твердого тела, теория
сверхпроводимости электронного газа в металлах, особенности поведения жидкого
гелия ниже lambda-точки и т.д. – все эти явления с точки зрения
классических представлений не объясняются в принципе. Более того, идеи и методы
квантовой статистики проникают в область теоретических представлений о строении
ядерного вещества, в которой величины параметров рассматриваемых состояний
никакими "приборами" не подтверждаются, а сами понятия о состоянии системы и ее
термодинамических особенностях целиком заимствуются из макроскопической теории
и статистической механики.
Решение задач квантовой статистики оказывается сложным в том отношении, что
исходным моментом рассмотрения является исследование квантово-механической
проблемы по отношению к неидеальной системе многих частиц (т.е. исследование
структуры основного и возбужденных состояний системы, находящейся при
абсолютном нуле температуры), на которую накладываются трудности уже
статистических расчетов, т.е. взятия соответствующих шпуров, что выводит все
исследование в область конечных температур.
В этом сочетании первая часть проблемы обычно оказывается более сложной,
разрешаемой лишь при соответствующих модельных представлениях, так что весь
предмет начинает ассоциироваться с расширенным разделом квантовой теории.
Исключение в этом отношении составляет теория идеальных систем. Она достаточно
полно разработана, так как трудности квантово-механического характера в ней
минимальны, и поэтому ее результаты интенсивно используются при рассмотрении
более сложных проблем квантовой статистики.
Представленное издание, посвященное квантовой статистике, не является прямым
переизданием четвертого тома курса "Термодинамика и статистическая физика",
вышедшего в 2005 году. Это, как теперь говорят, ремейк этого тома, который
заметно отличается от него и по объему, и по содержанию. Во-первых, это
самостоятельная книга, а не заключительная часть единого большого цикла
систематической физики. Поэтому она включает целый ряд вопросов и проблем
квантовой статистики, в той или иной мере разбросанных в томах 2 и 3, которые
вместе с остальным материалом книги образуют объединенное общей тематикой
замкнутое изложение без обязательных ссылок на предшествующую литературу.
Во-вторых, данное пособие включает дополнительный материал, в частности это
касается разделов, посвященных теории неидеального бозе-газа и теории
сверхпроводимости.
Немногочисленные ссылки на материал четырехтомного курса "Термодинамика
и статистическая физика" (Т. 1. Термодинамика, М.: URSS, 2002, 232 с.;
Т. 2. Статистическая физика. Теория равновесных систем, М.: URSS, 2002,
429 с.; Т. 3. Теория неравновесных систем, М.: URSS, 2003, 447 с.; Т. 4.
Квантовая статистика, М.: URSS, 2005, 349 с.), обозначаемые в тексте
по принципу – номер тома, глава, параграф (иногда страница), практически
не влияют на ход изложения и не тормозят его – они приводятся для общего
сведения, а не с целью заимствования какого-либо материала, необходимого
в текущем изложении. И несмотря на то что начальные разделы данной книги
включают достаточно простой и общеизвестный материал (как бы установление
общего языка и терминологии), эти ссылки могут оказаться полезными для тех
читателей, которые в силу каких-то причин не вполне владеют основами
и исходными понятиями статистической термодинамики.
Автор намеренно снабдил книгу сверхподробным оглавлением. Во-первых, это удобно
не только в отношении общей ориентации, но и в поиске нужного раздела, так что
составление предметного указателя становится излишним. Во-вторых, это удобно
для тех, кто, взяв книгу, читает только предисловие и оглавление, полагая при
этом ее как бы уже прочитанной (иногда заглядывая в послесловие, чтобы
выяснить, кому автор выносит благодарность). Кроме того, так как история
становления квантовой статистики не столь уж велика (порядка 30 лет)
и создателей этого раздела теоретической физики не так уж много, то автор
не счел целесообразным составление именного указателя (в отличие от томов
1–3, где это было необходимо), совмещенного с упоминанием
оригинальных работ, так как эти публикации (в основном, в виде статей в научных
журналах) весьма многочисленны и разнохарактерны по строгости и методике
изложения, и полный их реестр типа тех, что украшают солидные диссертации
с целью подтвердить глубокую осведомленность соискателя, в данном случае, когда
мы имеем дело с изданием, которое может служить учебным пособием повышенного
уровня, совершенно бесполезен, тем более что эти источники уже не являются
свежими.
Тематика книги, как это видно из ее оглавления, не загружена обсуждением
спорных и нерешенных проблем и представляет вполне стандартный набор сюжетов,
которые могут служить в качестве показательных, до конца исследованных проблем
квантовой статистики. С микроскопической точки зрения все они основываются
на рассмотрении достаточно упрощенных в динамическом отношении модельных
представлений. Естественно, что при таком подходе становится целесообразным
ограничиваться получением лишь основных характерных для данной проблемы
результатов, оставляя право читателю продолжить исследование с целью получения
высших приближений, практическая ценность которых вследствие упомянутой выше
модельности постановки задачи оказывается в большинстве случаев уже
проблематичной.
Основу данной книги составил материал спецкурса по квантовой статистике,
который автор в течение многих лет в разных вариантах читал
студентам-теоретикам физического факультета МГУ. Этим объясняется несколько
разговорный стиль изложения с дидактическим оттенком и последовательностью
от простого к более сложному, полнота и подробность излагаемого материала,
ограничение получением основных результатов, соответствующих рассматриваемому
приближению (к высшим поправкам аудитория обычно теряет интерес, тем более что
они с физической точки зрения перекрываются неучтенными в рассматриваемой
модели эффектами), обилие рисунков, соответствующих проводимым выкладкам
и получаемым результатам, и т.д.
Автор полагает, что при рассмотрении какой-либо проблемы и ее решения нельзя
ограничиваться написанием одних только формул, заполняя интервалы между ними
замечаниями, доведенными до уровня стандартного "научного эсперанто",
включающего не более двухсот слов и удобного разве что для переводчиков.
Автор в полной мере осознает, что данная книга написана в стиле традиций
прошлого века. Многолетний опыт лектора и преподавателя убедил его в том, что
только подробное (порой доходящее до уровня арифметических выкладок) изложение
материала вполне осознанно и до конца воспринимается слушателями
(а в написанном виде – соответственно читателями). Естественно, что при этом
подчас приходится вместо формальных ссылок идти на повторения уже ранее
изложенного материала, прибегать к напоминанию смысловых моментов общеизвестных
теоретических положений и т.д. Это в какой-то небольшой мере увеличивает
объем издания, зато делает излагаемый в нем материал понятным без лихорадочного
перелистывания страниц в обратном направлении в поисках нужной пронумерованной
формулы и использования дополнительных пособий и справочников.
Отступление от этой манеры неизбежно приводит к обзорному характеру изложения
и вследствие этого к поверхностному восприятию обсуждаемого в общих чертах
материала, провоцирующему возникновение у неосведомленного в данной области
читателя (или слушателя) ложное ощущение возрастающей его эрудиции. Опыт автора
и многих его коллег дает основание говорить, что полное понимание изучаемого
теоретического материала возникает только после того, как заинтересованный
в нем специалист повторит и выполнит самостоятельно все необходимые
математические выкладки и не спеша осознает сопутствующие этому материалу
комментарии (часто при этом добавляя свои соображения и математические приемы).
Обзорный же стиль изложения (подчас используемый не только в монографической
научной литературе, но и в изданиях учебного плана), когда, говоря о каком-либо
научном достижении или расчете эффекта, дается ссылка на оригинальную
публикацию, соответствующую данной теме, и общий комментарий без особого
анализа и математических подробностей, по существу целиком снимает
ответственность за достоверность и качество излагаемого материала и является
для использующего подобный стиль автора своеобразным прикрытием. Подобный стиль
не бесполезен в энциклопедическом варианте, единичном докладе или научном
отчете, но все же он вряд ли уместен в лекционном пролонгированном курсе
и в издании многосложного плана, в котором должны соблюдаться
последовательность изложения и полная аргументированность используемых
физических приближений и математических приемов.
Автор отдает себе отчет, что так как всякое изложение какого-либо
из обсуждаемых вопросов явно или между строк неизбежно отражает его личное
мнение (сколь бы он ни старался быть объективным), которое не обязательно
составляет истину в последней инстанции, то не исключено, что некоторым
читателям оно покажется спорным (это касается также и всего сказанного выше).
Авторитетный специалист в области статистической физики, опытный методист
и преподаватель, пользующийся заслуженной любовью студентов многих поколений
физического факультета МГУ.
С 1962 года является ведущим лектором
и преподавателем по курсу "Термодинамика и статистическая физика" для
студентов 4-го года обучения на физическом факультете МГУ им.М.В.Ломоносова и по курсу
квантовой статистики для студентов-теоретиков 5-го года обучения.
В 1992 году автор стал лауреатом Ломоносовской премии
"За создание уникального курса и учебного пособия по статистической физике
и термодинамике", которое стало первым учебным пособием, удостоенным этой
премии; а также был удостоен звания "Заслуженный преподаватель МГУ".
