Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления Изд. 2

Оглавление

Из введения

Принцип максимума Понтрягина – одно из самых крупных достижений современной математики. С момента своего появления принцип максимума привлекает внимание многих специалистов. Дело в том, что с каждым годом удельный вес задач, связанных с выбором оптимальных конструкций, режимов, способов поведения и т.п., быстро растет в различных сферах человеческой деятельности. Некоторые из подобных задач были известны, по-видимому, давно, но из-за своей сложности представлялись недоступными для эффективного решения. С появлением современных вычислительных машин, с исключительно бурным их развитием стал меняться взгляд на сложность задач, на возможность их практического решения. Сами по себе вычислительные машины не гарантируют успеха, но являются мощным орудием на некоторых этапах исследования. Применение современных технических средств не уменьшает роли математических исследований, а, напротив, ставит перед математиками новые задачи, заставляет искать новые математические методы их решения, без которых использование мощных вычислительных устройств не всегда эффективно.

Подтверждением этих слов является тот факт, что вместе с созданием и прогрессом вычислительной техники появился и стал интенсивно развиваться ряд новых математических теорий, таких, как динамическое программирование, исследование операций и т.д. Возникновение принципа максимума следует также связать с общим интенсивным развитием техники и тех отраслей науки, где вопросы оптимизации играют большую роль.

По математической природе принцип максимума представляет собой необходимое условие оптимальности, родственное разнообразным условиям подобного типа, известным из вариационного исчисления. Однако, как показали многочисленные исследования, принцип максимума является существенным развитием классических результатов. Для многих приложений теории принципа максимума важными оказались и новая постановка задач оптимизации, и новые методы решения, и главным образом новизна и мощь получаемых результатов. Для развития теории оптимальных процессов ценным было и то, что именно принцип максимума исключительно резко активизировал исследования по задачам оптимизации. За короткий промежуток времени в этой области был выполнен ряд крупных работ, было положено начало новым мощным методам исследования.

Принцип максимума для линейных систем впервые доказан Р.В.Гамкрелидзе [5], исследования которого и послужили, по-видимому, основой для гипотезы Л.С.Понтрягина о справедливости принципа максимума в общем случае. Первое доказательство принципа максимума для нелинейных систем дано В.Г.Болтянским [11]. Л.И.Розоноэр [12] предложил доказательство, основанное на других идеях. В работах А.И.Лурье, Р.Е.Калмана, В.А.Троицкого, Л.Берковича и других принцип максимума в некоторых случаях доказан средствами классического вариационного исчисления. Новый метод доказательства предложен А.Я.Дубовицким, А.А.Милютиным [9].

Основные методы доказательства принципа максимума первоначально демонстрировались на системах, поведение которых можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Постепенно они были распространены и на более сложные объекты, описываемые уравнениями с запаздыванием, интегральными уравнениями, уравнениями в частных производных, стохастическими уравнениями.

К настоящему времени теория необходимых условий оптимальности первого порядка, краеугольным камнем которой является принцип максимума, разработана детально и может быть изложена достаточно элементарно для студентов, владеющих основами математического анализа и теории дифференциальных уравнений. Принципу максимума посвящены многие монографии, излагающие предмет с различных точек зрения. В данной книге мы следуем принципам, изложенным в работе [2], но содержание теперь существенно отличается от прежнего как по тщательности разработки вопросов, так по широте и единству подхода.

Кратко о содержании монографии. При изложении принципа максимума для различных систем можно доказывать результат, следуя какому-нибудь методу. При этом каждый раз исследователь с удовольствием открывает новый принцип максимума, который никак не связан с ранее известными результатами. Из-за большого разнообразия различных систем уравнений, которыми описываются реальные процессы, неизбежно наступает момент, когда радость от непрерывно поступающих результатов сменяется неудобством из-за трудностей ориентирования среди массы уравнений, не объединенных единым принципом. Нужно или классифицировать уравнения, или найти какой-то закон, управляющий ими. Одной из главных особенностей монографии является то, что все результаты нами представлены в единой форме, позволяющей формулировать принцип максимума одинаково просто как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для других более сложных случаев. Распространенная форма представления принципа максимума существенно опирается на то, что основные уравнения движения заданы обыкновенными дифференциальными уравнениями в нормальной форме или сводимы к ним. Подобная математическая модель является основной в вариационном исчислении и в аналитической механике, откуда в теорию оптимальных процессов были перенесены некоторые понятия (уравнения для импульсов, гамильтониан). С развитием техники расширился класс математических моделей для описания реальных процессов. Особенно интенсивно стали исследоваться разнообразные системы с последействием, интегродифференциальные уравнения и т.п. В вариационном исчислении не было готового аппарата для новых объектов, и исследователи стали приспосабливать существующий аппарат, первоначально изобретенный для более простых обыкновенных систем. Как отмечено выше, этот путь привел к большой пестроте результатов. Авторами данной монографии было замечено (1968 г.), что естественное обобщение классических понятий приводит к единой трактовке большого числа результатов по принципу максимума. Эта точка зрения последовательно излагается в третьей главе книги.

Чтобы как-то объяснить читателю суть дела и подготовить его к новой форме изложения принципа максимума, напомним кратко об одном результате из теории минимизации функций конечного числа переменных...

Об авторах

Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Уральский политехнический институт. С 1968 г. работает в Белорусском государственном университете (с 1970 по 2000 гг. – заведующий кафедрой, с 2000 г. – профессор кафедры методов оптимального управления). Заслуженный деятель науки БССР (1982). Почетный доктор Иркутского государственного университета. Лауреат премии Академии наук Беларуси за цикл работ по конструктивной теории экстремальных задач (1995). Автор более 500 научных работ, в том числе 8 монографий, посвященных качественной и конструктивной теории оптимального управления и ее приложениям.

Фаина Михайловна КИРИЛЛОВА

Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Национальной академии наук Беларуси. Окончила Уральский государственный университет. С 1967 г. работает в Институте математики Национальной академии наук Беларуси (с 1969 по 2007 гг. – заведующая лабораторией теории процессов управления, с 2008 г. – главный научный сотрудник Института математики). Почетный доктор Иркутского государственного университета. Лауреат премии Совета Министров СССР (1986) и премии Академии наук Беларуси (1995). Заслуженный деятель науки Республики Беларусь (2001). Автор 8 монографий и свыше 300 работ по качественным и конструктивным методам оптимизации и их приложениям.