Корпусов М.О., Свешников А.Г. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике:
Методы исследования нелинейных операторов

Оглавление

Предисловие

Настоящая книга является продолжением монографии по методам нелинейного функционального анализа "Геометрические и топологические свойства линейных пространств". В данной работе мы акцентируем внимание читателя на следующих методах нелинейного анализа: вариационных методах, методах компактности и монотонности, топологических методах и методе верхних и нижних решений. Изложение теоретического материала иллюстрируется примерами из физики полупроводников, физики твердого тела, нелинейной оптики и нелинейной механики.

Содержание и тематика книги обсуждались с И.А.Шишмаревым, который высказал много полезных замечаний, за что авторы ему искренне признательны.

Введение

Книга состоит из одиннадцати тематических глав.

В первой главе вводятся необходимые для дальнейшего изложения свойства нелинейных операторов. Вводится оператор Немыцкого, который используется в вариационных и топологических методах. Наконец, рассмотрены некоторые свойства оператора Delta_p u = div(|nabla u|^p-2 nabla u) при p>2.

Во второй главе рассматриваются полуограниченные функционалы, для которых устанавливаются теоремы о существовании экстремальных точек.

В третьей главе рассматривается задача на условный экстремум. Разобрана теория категорий Люстерника–Шнирельмана, на основе которой получены достаточные условия существования счетного множества критических точек четного функционала относительно некоторого многообразия. Также рассматривается метод глобального расслоения С.И.Похожаева. Теория иллюстрируется примерами из физики.

В четвертой главе разбирается теория рода множеств, введенная М.А.Красносельским, а также теорема о горном перевале А.Амбросетти и П.Рабиновича. На основе этого рассматриваются одна квазилинейная задача для оператора Delta_p и система уравнений фон Кормана, возникающая в нелинейной механике.

В пятой главе рассматривается принцип концентрированной компактности П.Л.Лионса, который используется для доказательства так называемой орбитальной устойчивости уединенной волны для уравнения Кортевега–де Фриза.

В шестой главе рассматривается известный метод компактности, который широко используется в нелинейном анализе. Этот метод применяется к изучению разрешимости в слабом смысле одной нелинейной гидродинамической задачи. Кроме того, вводится так называемая Div-Curl-лемма, на основе которой в дальнейшем исследуется одна задача для уравнения Камассы–Холма.

В седьмой главе излагается метод монотонности, который позволяет при недостаточном количестве априорных оценок доказывать теоремы о слабой разрешимости, если "главный" нелинейный оператор обладает неким свойством монотонности. В качестве примера рассматривается одна задача из теории сегнетоэлектриков.

В восьмой главе рассматривается один из самых распространенных методов нелинейного анализа – метод, основанный на теореме о неподвижной точке. Рассматриваются приложения этого метода к нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям.

В девятой главе предлагается топологический метод, основанный на понятии степени отображения. Предлагаются его применения к некоторым стационарным задачам.

В десятой главе рассматривается важный метод верхних и нижних решений, работающий там, где имеет место принцип максимума.

В одиннадцатой главе рассматриваются два основных метода доказательства отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений различных типов – энергетический метод Х.А.Левина и метод нелинейной емкости С.И.Похожаева и Э.Митидиери.

Наконец, в Приложении рассматривается результат А.Жулькина о распространении метода теории категории Люстерника–Шнирельмана на многообразия C¹-гладкости.

Данная книга была написана в ходе выполнения проекта РФФИ №01–00376 и президентской программы поддержки молодых докторов наук МД-99.2009.1.

Об авторах

Корпусов Максим Олегович

Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Свешников Алексей Георгиевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий кафедрой математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (1971–1993). Награжден орденами Красной Звезды (1945), «Знак Почета» (1976), Трудового Красного Знамени (1984), Отечественной войны первой степени (1985). Лауреат Государственной премии СССР (1976), премии Совета Министров СССР (1982), премии имени М. В. Ломоносова за педагогическую деятельность (1999). Заслуженный профессор Московского университета (1994). Заслуженный деятель науки РСФСР (1980).

А. Г. Свешников получил Госпремию в составе авторского коллектива за разработку новых методов расчета излучающих систем и использование этих методов в практике создания антенн различного назначения. Большой цикл его работ посвящен проблеме создания и алгоритмической реализации математических моделей физики плазмы и динамики сплошных сред, обратным задачам синтеза и распознавания многослойных оптических покрытий, идентификации дефектов слоистых структур.