URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Корпусов М.О., Свешников А.Г. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Методы исследования нелинейных операторов
Id: 118567
 
549 руб.

Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Методы исследования нелинейных операторов

URSS. 2011. 480 с. Твердый переплет. ISBN 978-5-396-00363-7.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена изложению основных методов нелинейного функционального анализа, а также их применения к конкретным краевым и начально-краевым задачам для нелинейных уравнений в частных производных. В книге описаны вариационные, топологические методы, методы компактности и монотонности, а также метод верхних и нижних решений. Наконец, рассмотрены основные методы доказательства отсутствия нетривиальных решений и разрушения решений за конечное время.

Книга предназначена для специалистов в области математической и теоретической физики, будет полезна также студентам и аспирантам соответствующих специальностей.


 Оглавление

Предисловие
Введение
Глава 1. Нелинейные операторы
 § 1.Введение
 § 2.Производные Гато и Фреше нелинейных операторов
 § 3.Оператор Немыцкого
 § 4.Производная Фреше оператора Deltap
 § 5.Компактные операторы
Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
 § 1.Введение
 § 2.Потенциальные операторы
 § 3.Полунепрерывные функционалы
 § 4.Одно квазилинейное уравнение
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
 § 1.Введение
 § 2.Уравнение Лагранжа
 § 3.Теория категорий Люстерника--Шнирельмана
 § 4.Задача нелинейной оптики (I)
 § 5.Задача нелинейной оптики (II)
 § 6.Метод глобального расслоения С.И.Похожаева
 § 7.Одна задача теории полупроводников
Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
 § 1.Введение
 § 2.Род множества
 § 3.Псевдоградиентное векторное поле
 § 4.Лемма о деформации 2
 § 5.Теорема о горном перевале
 § 6.Система уравнений фон Кормана
Глава 5. Вариационный метод. Принцип концентрированной компактности П.Л.Лионса
 § 1.Введение
 § 2.Основная лемма
 § 3.Вариационные задачи в L1
 § 4.Орбитальная устойчивость уединенных волн уравнения Кортевега--де Фриза
Глава 6. Метод компактности
 § 1.Введение
 § 2.Нелинейное гиперболическое уравнение
 § 3.Нелинейная система уравнений гидродинамического типа
 § 4.Div-curl-лемма и ее применение
Глава 7. Метод монотонности
 § 1.Введение
 § 2.Основные понятия теории монотонных операторов
 § 3.Теоремы существования
 § 4.Одна задача теории сегнетоэлектричества
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
 § 1.Введение
 § 2.Принцип сжимающих отображений
 § 3.Принцип неподвижной точки Шаудера
 § 4.Нелинейное параболическое уравнение
 § 5.Квазилинейное уравнение с псевдолапласианом
Глава 9. Топологические методы
 § 1.Введение
 § 2.Топологическая степень в конечномерном случае
 § 3.Топологическая степень в банаховом пространстве
 § 4.Некоторые примеры
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
 § 1.Введение
 § 2.Мотивация
 § 3.Существование решения краевой задачи для полулинейного эллиптического оператора
  3.1.Классическая разрешимость. Результат Герберта Аманна
  3.2.Один результат о неединственности Герберта Аманна
  3.3.Слабая обобщенная разрешимость
 § 4.Квазилинейное эллиптическое уравнение
  4.1.Результат Г.Аманна и М.Г.Крэндэлла
  4.2.Результат С.И.Похожаева для Deltau=f(x,u,nablau)
  4.3.Система уравнений эллиптического типа. Результат Н.Кавано
 § 5.Параболические уравнения. Полулинейное параболическое уравнение. Результат Д.Х.Саттингера
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
 § 1.Введение
 § 2.Классическая теорема Х.Фуджита
 § 3.Разрушение решения нелинейной системы уравнений гидродинамического типа. Метод Х.А.Левина
 § 4.Метод нелинейной ёмкости С.И.Похожаева и Э.Л.Митидиери
  4.1.Отсутствие решений нелинейных стационарных дифференциальных неравенств
  4.2.Отсутствие глобальных решений эволюционных дифференциальных неравенств первого порядка
  4.3.Отсутствие глобальных решений эволюционных дифференциальных неравенств второго порядка
  4.4.Отсутствие глобальных решений нелинейных дифференциальных неравенств соболевского типа
Приложение. Критические точки на финслеровом C1-многообразии
Литература
Предметный указатель

 Предисловие

Настоящая книга является продолжением монографии по методам нелинейного функционального анализа "Геометрические и топологические свойства линейных пространств". В данной работе мы акцентируем внимание читателя на следующих методах нелинейного анализа: вариационных методах, методах компактности и монотонности, топологических методах и методе верхних и нижних решений. Изложение теоретического материала иллюстрируется примерами из физики полупроводников, физики твердого тела, нелинейной оптики и нелинейной механики.

Содержание и тематика книги обсуждались с И.А.Шишмаревым, который высказал много полезных замечаний, за что авторы ему искренне признательны.


 Введение

Книга состоит из одиннадцати тематических глав.

В первой главе вводятся необходимые для дальнейшего изложения свойства нелинейных операторов. Вводится оператор Немыцкого, который используется в вариационных и топологических методах. Наконец, рассмотрены некоторые свойства оператора Deltap u = div(|nabla u|p-2 nabla u) при p>2.

Во второй главе рассматриваются полуограниченные функционалы, для которых устанавливаются теоремы о существовании экстремальных точек.

В третьей главе рассматривается задача на условный экстремум. Разобрана теория категорий Люстерника--Шнирельмана, на основе которой получены достаточные условия существования счетного множества критических точек четного функционала относительно некоторого многообразия. Также рассматривается метод глобального расслоения С.И.Похожаева. Теория иллюстрируется примерами из физики.

В четвертой главе разбирается теория рода множеств, введенная М.А.Красносельским, а также теорема о горном перевале А.Амбросетти и П.Рабиновича. На основе этого рассматриваются одна квазилинейная задача для оператора Deltap и система уравнений фон Кормана, возникающая в нелинейной механике.

В пятой главе рассматривается принцип концентрированной компактности П.Л.Лионса, который используется для доказательства так называемой орбитальной устойчивости уединенной волны для уравнения Кортевега--де Фриза.

В шестой главе рассматривается известный метод компактности, который широко используется в нелинейном анализе. Этот метод применяется к изучению разрешимости в слабом смысле одной нелинейной гидродинамической задачи. Кроме того, вводится так называемая Div-Curl-лемма, на основе которой в дальнейшем исследуется одна задача для уравнения Камассы--Холма.

В седьмой главе излагается метод монотонности, который позволяет при недостаточном количестве априорных оценок доказывать теоремы о слабой разрешимости, если "главный" нелинейный оператор обладает неким свойством монотонности. В качестве примера рассматривается одна задача из теории сегнетоэлектриков.

В восьмой главе рассматривается один из самых распространенных методов нелинейного анализа -- метод, основанный на теореме о неподвижной точке. Рассматриваются приложения этого метода к нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям.

В девятой главе предлагается топологический метод, основанный на понятии степени отображения. Предлагаются его применения к некоторым стационарным задачам.

В десятой главе рассматривается важный метод верхних и нижних решений, работающий там, где имеет место принцип максимума.

В одиннадцатой главе рассматриваются два основных метода доказательства отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений различных типов -- энергетический метод Х.А.Левина и метод нелинейной емкости С.И.Похожаева и Э.Митидиери.

Наконец, в Приложении рассматривается результат А.Жулькина о распространении метода теории категории Люстерника--Шнирельмана на многообразия C1-гладкости.

Данная книга была написана в ходе выполнения проекта РФФИ №01--00376 и президентской программы поддержки молодых докторов наук МД-99.2009.1.


 Об авторах

Максим Олегович КОРПУСОВ (род. в 1973 г.)

Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова, в 1998 г. -- аспирантуру по кафедре математики и защитил кандидатскую диссертацию на тему "Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн". В 2005 г. защитил докторскую диссертацию "Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа". Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Алексей Георгиевич СВЕШНИКОВ

Известный специалист в области математического моделирования задач электродинамики и гидродинамики. Почетный работник высшего профессионального образования РФ, заслуженный профессор МГУ. Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность, награжден Почетной грамотой ВАК России. Автор свыше 400 научных работ, в том числе 6 монографий и монографических обзоров, а также 5 учебников и учебных пособий. Удостоен ордена "Знак Почета", ордена Трудового Красного Знамени, медали "За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И.Ленина" и многих других медалей.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце