URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Полищук Е.М. Софус Ли: 1842--1899
Id: 118515
 
269 руб.

Софус Ли: 1842--1899. Изд.2

URSS. 2011. 216 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-01649-0.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена жизни и творчеству великого норвежского математика второй половины XIX века Софуса Ли --- создателя теории непрерывных групп, играющей огромную роль в современной математике и теоретической физике. Широко используя переписку Ли, воспоминания о нем его близких и коллег, автор подробно прослеживает жизненный путь ученого от школьных лет до его драматического завершения. В книге обстоятельно излагаются все основные направления творчества Ли: непрерывные группы с их приложениями, контактные преобразования, классические работы по дифференциальным уравнениям. Много внимания уделяется также малоизвестным геометрическим исследованиям ученого.

Книга рассчитана на широкий круг читателей --- математиков, механиков, физиков и всех, кто интересуется историей математики и естествознания; может быть полезна студентам и аспирантам физико-математических вузов.


 Оглавление

Введение
Национальный фон
Родительский дом. Учеба. Выбор пути
Немного геометрии и анализа. Первый творческий опыт
По маршруту Абеля: Берлин--Париж--Рим
Геометрия прямолинейных комплексов и сфер
Геометрические истоки теории групп преобразований
Уравнения с частными производными: от Якоби -- к Майеру и Ли
Элементферайн -- характеристики и их геометрия
Непрерывные группы -- начало теории
Минимальные поверхности
Поверхности переноса
Контактные преобразования -- теория, примеры, приложения
Проблема Пфаффа, эмоции, инварианты
Подарок судьбы
Лейпцигское двенадцатилетие
Группы преобразований -- второй период
Основания геометрии
Из работ последних лет: интегральные инварианты
"Опустим занавес"
Издание собрания сочинений
После Ли
Основные даты жизни и творчества Софуса Лп
Библиография

 Введение

Софус Ли, норвежский математик второй половины XIX в., был автором многих выдающихся открытий в анализе и геометрии, но прославился прежде всего как создатель дисциплины "Непрерывных групп преобразований". Чтобы подчеркнуть ее важность, заметим, что внешний мир мы воспринимаем как мир непрерывных групп. Несмотря на свое молекулярное строение, предметы, нас окружающие, видятся нам непрерывными и более того -- кусочно гладкими (плоскость стола, например). Мир наш пребывает в движении. Совокупность двух шагов можно заменить одним, суммарным шагом. Шагу вперед отвечает такой же шаг назад, а их последовательность дает нулевой шаг. Множество шагов, смещений, образует группу. И если она непрерывна, то наряду с любым шагом х допустим и шаг x + h, где | h | произвольно мало (за исключением случая, когда мы идем по лестнице). Под словом "шаг" можно понимать и вектор на плоскости или в пространстве. Сказанное справедливо для вращений вокруг точки, оси и т.п.

Примеры непрерывных групп были известны и до Ли, но теории их не существовало. Особенность дисциплины, построенной Ли, помимо ее важности и красоты, состоит в том, что она была им далеко и тщательно разработана. Изложение ее заняло три объемистых тома и еще два тома составляли приложения. Но и они не смогли вместить всех результатов, полученных Ли в данной области. За пределами этих книг остались его работы по бесконечным группам и многое другое. В истории науки трудно найти подобный пример создания одним исследователем столь развитой дисциплины. Еще при жизни Ли после признания его работ другими математиками были получены многие очень важные результаты по теории непрерывных групп, но даже суммарный их вклад в эту область уступает сделанному Ли. Поэтому закрепившееся за ней в начале нашего века наименование -- "Группы Ли" -- ни у кого не вызывало возражений.

Примечательно, что творчество Ли оказалось связанным с двумя ведущими физическими теориями нашего века -- теорией относительности и теорией элементарных частиц, хотя приписывать ему заслуги в их создании было бы неверно. Группа Лоренца, лежащая в основе теории относительности, -- весьма частный случай группы Ли. Принцип ковариантности, которому Эйнштейн придавал исключительное значение (математическое выражение инвариантности физических законов относительно выбора системы координат), представляет собой перенесение на физическую почву положения Клейна, согласно которому каждая геометрия есть теория инвариантов той или иной группы. Схема Клейна получила у Ли далеко идущее и многостороннее развитие в построенной им теории дифференциальных инвариантов. Кроме того, Ли (в связи с "пространственной проблемой Римана--Гельмгольца") в своем творчестве существенно затронул также и геометрию римановых пространств, на базе которой Эйнштейн построил свою общую теорию относительности. Примечательно, что в 50-х годах нашего века проблема разыскания частных решений уравнений гравитации Эйнштейна, классификация этих решений потребовали методов, восходящих непосредственно к исследованиям Ли.

Уже на первом этапе развития квантовой механики теория непрерывных групп оказалась для нее очень важной. Это обусловлено инвариантностью основного ее уравнения -- уравнения Шредингера -- относительно группы вращений пространства. Столь же важную роль играет группа Лоренца на ее следующем, релятивистском этапе, связанном с именем Дирака. Здесь всюду, как и в последующей общей теории элементарных частиц, важнейшим инструментом теоретического исследования является теория представлений групп Ли того или иного типа, в основе которой лежит созданный Ли для других целей мощный инфинитезимальный метод.

Давид Гильберт в знаменитом докладе на Втором международном математическом конгрессе (Париж, 1900 г.), на котором он сформулировал "Проблемы Гильберта" (одна из них относилась к группам Ли), сказал, что группы Ли будут иметь большое значение для теоретической физики XX в. Это предсказание полностью оправдалось.

Как область математики теория групп Ли имеет теперь огромную литературу. В разных странах действуют семинары по группам Ли, в реферативных журналах существуют специальные рубрики "Группы Ли", не перестают выходить книги под этим названием.

Методы нового времени, конечно, наложили свой отпечаток на эту дисциплину, радикально преобразив ее по сравнению с прошлым: топология, функциональный анализ, меры на группах, современная алгебра... Ли совершенно не узнал бы теперь свою теорию. Но наука этим и отличается от искусства, например от музыки: произведениями Баха, Шопена, Рахманинова... мы продолжаем наслаждаться в их первозданном виде.

Работы Ли по теории групп заслонили другие его достижения. А между тем и они грандиозны. В публикациях Дарбу, Клейна, Картана (здесь названы только самые выдающиеся имена) встречаются многочисленные восторженные отзывы о работах Ли по теории комплексов, отображениям многообразий, поверхностям переноса, минимальным поверхностям... В книгах Гурса, Форсайта, Гюнтера, Каратеодори теория Ли уравнений в частных производных первого порядка излагается как вершина достижений в этой области, как итог ее развития с появления работ Лагранжа, Коши, Якоби. Метаморфоза, происшедшая с непрерывными группами с момента их создания, вообще говоря, мало коснулась других направлений исследований Ли. Примечательно, что и классическая теория групп Ли в последнее время переживает период возрождения, вызванный главным образом ролью групповых решений дифференциальных уравнений в физике сплошных сред. Полученные здесь новые важные результаты непосредственно восходят не к абстрактным построениям позднейшей теории лиевских групп, а к работам самого Ли и его учеников.

Феликс Клейн, ставивший Гаусса превыше всего, заметил как-то, что творчество его целиком проникнуто духом XVIII столетия. И Ли среди современников его ранга был, пожалуй, самым архаичным. Он следил за достижениями науки своего времени, мы встречаем у него упоминание даже столь от него далекого по духу творчества Георга Кантора, тем не менее бОльшую часть своих результатов Ли получил, пользуясь методами первой половины XIX в., опираясь на свой талант аналитика и поразительную геометрическую интуицию. Он пребывал в континууме, в идеализированном мире, где царят гладкость многообразий и функций, великолепно справляясь, впрочем, с дискретными построениями, когда к ним его приводила логика событий. Во всех направлениях своего творчества Ли, выражаясь фигурально, всегда оставался равен самому себе. Берясь за любую из избранных областей, он доводил совокупность полученных результатов до теории ("Лиевская теория минимальных поверхностей"...). Нельзя не отметить и монолитность его творчества. В литературных ссылках (а ему большей частью приходилось ссылаться на самого себя) Ли часто отмечал проходящие через его результаты связи между, казалось бы, очень далеко отстоящими друг от друга проблемами, его занимавшими. При всей самобытности своего творчества Ли никогда не был одиночкой в науке и не желал им быть. За исключением сравнительно короткого периода построения основ теории непрерывных групп, он сотрудничал с коллегами, а научное соперничество с наиболее выдающимися из них было для него одним из стимулов прогресса.

Что же известно о личности Ли?

Достойным преемником его гениального соотечественника -- Нильса Абеля -- назвал Ли знаменитый Гастон Дарбу. Но если Абелю посвящена большая литература -- статьи, книги, то о Ли в двадцатом веке написано всего несколько небольших биографических заметок. Здесь налицо явный разрыв: с одной стороны, огромное влияние, оказанное ученым, поток информации, восходящей к его творчеству, и литературное забвение его личности -- с другой. Это обстоятельство, в котором Ли далеко не одинок, имеет свои объяснения.

Внезапная кончина Абеля, в 1829 г. не достигшего и 27-летнего возраста, произвела ошеломляющее впечатление и вызвала к нему громадный интерес. "Это большая потеря для науки, -- писал Гаусс Шумахеру в мае 1829 г. -- Если где-нибудь существует биография этого в высшей степени замечательного человека и Вам попадется в руки ее экземпляр, дайте мне знать. Мне также хотелось бы иметь портрет Абеля, если только его где-нибудь можно достать".

Оставшиеся после Абеля многочисленные письма родным и друзьям позволяют воссоздать его духовный облик, яркий и благородный. Из них мы узнаем историю его любви к Кристине Кемп, о его увлечениях за пределами математики, в частности театром, а из описания его путешествия за границу -- впечатления о Германии, Франции, Италии, о людях, с которыми ему довелось там встретиться. Таким образом, нимало не помышляя об этом, Абель стал первым и притом лучшим своим биографом.

Совсем иначе обстоит дело с Ли. Его переписка с родными и друзьями, способная пролить свет на его внутренний мир, до нас не дошла, а опубликованные выдержки из писем к коллегам носят сугубо профессиональный характер. Лишь крайне редко и скупо Ли сообщает в них что-либо о себе или о своих близких.

Не отличаются щедростью и опубликованные воспоминания о Ли. Ближайший его друг и ученик Фридрих Энгель в свое время говорил о желательности создания книги о Ли. Однако, сравнивая Ли чуть ли не с самим Ньютоном, проделав огромную работу по редактированию литературного наследия Ли, опубликовав подробные воспоминания и статьи о других математиках, сам Энгель скупо поделился с нами воспоминаниями о своем кумире. А между тем он провел с ним много месяцев в его доме, на прогулках, за работой. По нашему мнению, он не сделал этого по соображениям этического порядка, что вытекает из одной его фразы, с которой читатель ознакомится в конце книги.

Семидесятилетие, отделяющее кончину Ли от кончины Абеля, было ознаменовано таким множеством событий в математике, какого наука не знала и за более длительные промежутки времени. Оформляются геометрии -- проективная в синтетической и аналитической трактовке, неэвклидовы, восходящие к Лобачевскому--Больяи и Риману с их интерпретациями на поверхностях постоянной кривизны и на основе проективной метрики, создаются теории конгруэнций и комплексов. В 90-х годах многотомный трактат Дарбу подводит итог столетнему развитию дифференциальной геометрии. Теория аналитических функций приобретает вид законченной дисциплины, многообразной как по методам (Коши, Риман, Вейерштрасс), так и по ее разделам (целые функции, мероморфные функции, эллиптические функции с их обобщениями, восходящими к Якоби--Вейерштрассу, аналитическая теория дифференциальных уравнений Пуанкаре). Формируются в самостоятельные дисциплины вариационное исчисление (Лежандр, Якоби, Вейерштрасс, Гамильтон); аналитическая и алгебраическая теории чисел. В целом заканчивается развитый Лагранжем--Коши--Якоби период классической теории дифференциальных уравнений первого порядка, отчетливо вырисовываются контуры теории уравнений математической физики. Трудами Пуанкаре закладываются основы качественной теории дифференциальных уравнений, а Ляпунова -- теории устойчивости движения. На основе общего подхода к предельным теоремам теории вероятности возникает ее новый, послелапласовский период (Чебышев, Марков). Кантор создает теорию множеств, сыгравшую решающую роль в последующем оформлении оснований математики, логике, теории функций; Вольтерра -- теорию интегральных уравнений и своей теорией функций линий предвосхищает создание функционального анализа. Мемуар Пуанкаре 1895 г. знаменует создание комбинаторной топологии. На последнее десятилетие века приходится первый, алгебраический период творчества Гильберта.

За этим далеко не полным перечнем стоит столь грандиозная картина, что, несмотря на все преклонение перед огромными достижениями науки века нынешнего, век минувший, пожалуй, с бОльшим основанием можно назвать веком математики, по крайней мере континуальной. Почетное место занимают в нем группы Ли и другие его создания. Вместе с тем ясно, что в момент ухода Ли математический мир выглядел уже иначе, чем когда его покинул Абель. При всех своих заслугах Ли уже не представлял собой столь уникального явления. И в этом, возможно, вторая причина, почему бедна литература о нем в XX в. Из публикаций Нетера, Клейна, Дарбу, Энгеля, Картана, Хегора мы все же знаем достаточно подробно основные вехи жизни Ли, знаем о его учителях, родных и друзьях. Мы знаем, какова была его внешность, характер, взгляды, увлечения. Кое-что, хотя и очень мало, Ли сам сказал о себе. Разумеется, известны историческая и национальная специфика среды, которая окружала Ли. Все это позволило составить его биографию, которая вместе с подробным рассказом о всех направлениях творчества Ли предлагается читателю. В процессе работы над ней возникло множество правдоподобных догадок, но автор весьма осторожен в гипотетических выводах.

В конце книги приводится библиография, состоящая из двух частей с самостоятельной нумерацией: I -- собственные труды Ли; II -- литература о нем и связанная с излагаемым материалом. В соответствии с этим ссылки в тексте, приводимые в квадратных скобках, содержат номер части, позиции, страницы, а при необходимости -- номер тома, главы или параграфа.


 Об авторе

Ефим Михайлович ПОЛИЩУК (1914--1987)

Известный отечественный математик и историк математики, педагог. Родился в Киеве. В 1937 г. окончил Киевский университет. В 1941 г. в МГУ им. М.В.Ломоносова защитил кандидатскую диссертацию, в 1970 г. -- докторскую. После окончания аспирантуры преподавал математические дисциплины в различных вузах страны -- Красноярском педагогическом институте, Владивостокском высшем мореходном училище, Дальневосточном государственном университете и т. д. В 1966--1971 гг. -- старший научный сотрудник Агрофизического научно-исследовательского института ВАСХНИЛ. Активно участвовал в работе секции истории математики и механики Ленинградского отделения Советского национального объединения историков естествознания и техники.

Основное направление исследований Е.М.Полищука -- функциональный анализ; им получены важные результаты в области континуальных средних и уравнений в вариационных производных с функциональными операторами Лапласа--Леви. Его научные статьи публиковались во многих математических журналах: "Успехи математических наук", "Математический сборник", "Теория вероятностей и ее применения", "Дифференциальные уравнения" и др. Наряду с собственно математическими работами Е.М.Полищуку принадлежат исследования по вопросам навигации и гидрографии в условиях Севера, по теории девиации компаса и устойчивости судов, а также по статистической динамике численности биоценозов и математической обработке биологических экспериментов. Кроме того, он является автором научных биографий знаменитых математиков -- Вито Вольтерра, Эмиля Бореля, Софуса Ли, Жака Адамара.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце