|
Оглавление
Понятие натуральнаго числа
1. Количественное число. Натуральное число можно разсматривать съ двухъ точекъ зренiя: количественное число (доля) отвечаетъ на вопросъ "сколько?"; порядковое число (номеръ) означаетъ "место по порядку" ("rang") какого-нибудь предмета. Идея количественнаго числа предполагаетъ идею раздельныхъ предметовъ, соединенныхъ въ одно целое, въ одинъ комплексъ, отличный отъ того, что не есть онъ, при чемъ комплексъ этотъ можетъ содержать хотя бы лишь одинъ предметъ. Число, соединяемое съ некоторымъ комплексомъ, есть не что иное, какъ сама идея этого комплекса, когда абстрагируютъ отъ природы раздельныхъ предметовъ, составляющихъ его. Благодаря тому, что абстрагируютъ отъ всего того, что различаетъ каждый изъ этихъ предметовъ – за исключенiемъ того, что каждый изъ нихъ отличенъ отъ другихъ, – предметы, составляющiе комплексъ, или единицы, принимаются за эквивалентные. Часть какого-нибудь комплекса представляетъ некоторый комплексъ, называемый частичнымъ. Элементами последняго являются некоторые – но не все – предметы перваго комплекса. Сказать, что какому-нибудь предмету некотораго комплекса соответствуетъ какой-нибудь определенный предметъ другого комплекса, это значитъ утверждатъ, что мысль о предмете перваго комплекса вызываетъ мысль о предмете второго комплекса. Если взаимно мысль объ этомъ определенномъ предмете второго комплекса вызываетъ единственно мысль о томъ же самомъ предмете перваго комплекса, то объ этихъ двухъ предметахъ говорятъ, что они соответствуютъ взаимно другъ другу. Когда всякому предмету каждаго изъ обоихъ комплексовъ соответствуетъ такимъ образомъ одинъ единственный предметъ другого комплекса и когда – предполагая, что А есть какой-нибудь предметъ одного изъ этихъ комплексовъ, а А' есть соответствующiй ему предметъ въ другомъ комплексе – оба предмета А и А' взаимно соответствуютъ другъ другу, то говорятъ, что соответствiе между обоими комплексами совершенное (одно-однозначное) или что оба комплекса совершенно соответствуютъ другъ другу. Два комплекса имеютъ одно и то же число (или, если угодно, равныя числа), если между ними можно установить совершенное соответствiе. 2. Конечные или безконечные комплексы. Комплексъ можетъ быть конечнымъ йли безконечнымъ. Довольно трудно определить оба эти слова. Если предполагать, что значенiе перваго намъ дано опытомъ, то можно считать, что второе определяется отрицательнымъ образомъ. Конечный комплексъ не можетъ иметь того же числа, что одна изъ его частей. Наоборотъ, можно установить совершенное соответствiе между безконечнымъ комплексомъ и одной изъ его частей, такъ что, согласно предыдущему определенiю, безконечный комплексъ имеетъ то же число, что и одна изъ его частей. Ничто не мешаетъ предположить, что это последнее предложенiе какъ бы содержитъ въ себе положительное определенiе слова безконечный: комплексъ безконеченъ, когда имеется часть этого комплекса, совершенно соответствующая ему. Но въ этомъ случае слово "конечный" определяется отрицательнымъ образомъ: комплексъ конеченъ, когда не имеется части этого комплекса, совершенно соответствующей ему. Согласно Ч.Пирсу, комплексъ конеченъ, если, какимъ бы образомъ ни переходить отъ одного предмета къ другому, отъ этого другого къ третьему,..., мы неизбежно возвращаемся къ одному изъ встреченныхъ раннее предметовъ. Чтобы одределенiе это имело положителышй смыслъ, следовало бы уметь убедиться въ томъ, что, действительно, испробованы все способы перехода и что, значитъ, установлено, что число этихъ способовъ конечно. Въ этой статье речь будетъ идти лишь о конечныхъ числахъ. 3. Натуральный рядъ чиселъ. Нуль. – Если два конечныхъ комплекса не равны по числу, то это значитъ, что можно установить соответствiе между единицами одного изъ нихъ и единицами части другого: о числе последняго говорятъ, что оно больше, чемъ число перваго; о которомъ говорятъ, что оно меньше. Если расположить числа въ такомъ порядке, что каждое изъ нихъ больше предыдущаго и меньше следующаго, то они образуютъ непосредственный рядъ натуральныхъ чиселъ или натуральный рядъ чиселъ. Въ качестве знака какого-нибудь числа можно взять комплексъ реальныхъ предметовъ, которые легко изобразить или которыми легко оперировать: параллельныя черточки, повторяющееся слово "одинъ", счетныя марки, камешки или условные символы: слова устной нумерацiи, цифры и группы цифръ. Эти знаки или эти символы тоже называются числами. Считать предметы какого-нибудь комплекса, перечислять эти предметы – это значитъ определить тотъ знакъ, который, согласно принятымъ соглашенiямъ, представляетъ число этихъ предметовъ. Нуль означаетъ отсутствiе всякаго предмета въ комплексе, который такимъ образомъ пустъ и, собственно говоря, не существуетъ. Но нуль, какъ и любое другое число, представляетъ ответъ на вопроеъ "сколько?" и съ этой точки зренiя долженъ разсматриваться, какъ число. Но обыкновенно его не включаютъ въ натуральный рядъ чиселъ. Если бы его туда включили, онъ долженъ былъ бы фигурировать во главе этого ряда. Въ дальнейшемъ нуль не будетъ разсматриваться, какъ натуральное число... Об авторах
 Таннери Жюль Французский математик и философ, ученик Ш. Эрмита. Профессор Сорбонны, член Французской академии наук. Брат известного математика и историка науки Поля Таннери. В сферу научных интересов Таннери входили теория функций действительного переменного и теория множеств, а в его посмертно опубликованной работе «Наука и философия» (1912) обсуждались проблемы взаимоотношения философии и науки, вопросы научной методологии и педагогики. Его работы оказали влияние на таких выдающихся математиков, как Ж. Адамар, П. Дюгем, П. Пенлеве и др.
 Мольк Жюль Французский математик, работавший над проблемами эллиптических функций. Профессор университета Нанси. Член Французской академии наук и Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина». Награжден премией Французской академии наук (1913). С 1902 г. был главным редактором Французской математической энциклопедии, в издании которой принимали участие многие знаменитые математики: П. Аппель, Ж. Адамар, Д. Гильберт, Э. Борель, Э. Цермело и др.
|
||||||||||||||||||||