|
Оглавление
 Предисловие Введение Глава I. Уравнения над конечными полями § 1. Сравнения 1. Основные понятия (13). 2. Сравнения по простому модулю (15). 3. Алгебраические сравнения (15) Задачи § 2. Сравнения по двойному модулю и конечные поля 1. Кольцо Fp [х] (24). 2. Количество неприводимых в Fp [х] многочленов степени п (26). 3. Алгебраическая структура конечных полей (28). 4. Автоморфизмы конечного поля Fq (29). 5. Единственность поля Fq (33) Задачи § 3. Л-функции Артина 1. Характеры конечных абелевых групп (37). 2. Характеры поля Fq (40). 3., Производящая функция Артина (41) Задачи § 4. Суперэллиптическое уравнение и уравнение Артина — Шрейера 1. Суперэллиптическое уравнение и суммы характеров (51). 2. Число -рациональных точек па кривой f(x, у) = 0 (53). 3. Оценка сумм характеров с многочленом (56) Задачи Глава II. Распределение квадратичных вычетов и невычетов § 1. Результаты И. М. Виноградова и Д. Берджесса. 1. Теорема Виноградова — Полиа (67). 2. Гипотезы И. М. Виноградова (69). 3. Теорема Берджесса (71) Задачи § 2. Большое решето и его применение к задаче о наименьшем квадратичном невычете 1. Большое решето (82). 2. Исключительные простые числа (87). 3. Теорема Линника (88) Задачи Исторические комментарии к Главам I и II Глава III. Рациональные точки на алгебраических кривых § 1. Рациональные кривые 1. Плоские алгебраические кривые (101). 2. Параметризация кривых (102). 3. Алгебраические кривые второй степени (104). 4. Алгебраические кривые степени ns* 3 (108) Задачи § 2. Эллиптические кривые 1. Бирациональный изоморфизм кривых (113). 2. Сложение точек на эллиптических кривых (115). 3. Теорема Морделла (117)., 4. Ранг эллиптической кривой (122) Задачи Глава IV. Теорема Римана — Роха § 1. Аффинные и проективные многообразия 1. Аффинные алгебраические множества (130). 2. Регулярные отображения (132). 3. Рациональные функции на алгебраическом многообразии (134). 4. Проективные и квазипроективные многообразия (136). 5. Неособые алгебраические многообразия (140) Задачи. § 2. Дивизоры на алгеораических кривых
1. Локальное кольцо точки (146). 2. Нормирования (147)., 3. Дивизоры (155)
Задачи
§ 3. Теорема Римана — Роха па алгебраической кривой
1. Теорема Римана (164). 2. Распределения (167). 3. Дифференциалы (170). 4. Канонический класс (175)
Задачи
Глава V. Гипотеза Римана для конгруенц-дзета-функцпи
§ 1. Дзета-функции алгебраических кривых и многообразий
1. Рациональные точки многообразия (184). 2. Рациональные дивизоры на кривой (185). 3. Дзета-функция кривой (192). 4. Дзета-функция многообразия (204)
Задачи
§ 2. Число рациональных точек алгебраической кривой над конечным полем
- 1. Предварительная оценка (217). 2. Оценка А. Вейля (220)
Задачи
Глава VI. Целые точки на кривых и нестандартная арифметика
§ 1. Целые точки на алгебраических кривых
1. Уравнение Туэ (223), 2. Суперэллиптические уравнения (230). 3. Целые точки на кривых рода g >1 (232)
Задачи
§ 2. Алгебраические системы и модели
1. Суперструктуры (243). 2. Стандартный и нестандартный универсумы (247). 3. Алгебраические системы (249). 4. Принцип перманентности (253). 5. Теорема направленности (256)
Задачи
§ 3. Нестандартные расширения полей алгебраических чисел
1. Арифметика поля алгебраических чисел (269). 2. Арифметика нестандартного расширения поля алгебраических чисел (270). 3. Нестандартные простые дивизоры (272). 4. Внутренние дивизоры (276)
Задачи
Глава VII. Теорема Зигеля — Малера
§ 1. Нестандартный эквивалент теоремы Зигеля — Малера
1. Функциональные дивизоры (292). 2. Исключительные функциональные дивизоры (304)
Задачи
§ 2. Доказательство теоремы Зигеля — Малера
1. Гиперэллиптический случай (322). 2. Общий случай кривых рода g>i. (326)
Задачи
Заключение. Десятая проблема Гильберта
Список литературы
Предметный указатель
|