URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Дарбу Ж.Г. Принципы аналитической геометрии. Пер. с фр.
Id: 112898
 
525 руб.

Принципы аналитической геометрии. Пер. с фр. Изд.3

URSS. 2010. 376 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-484-01236-7.

 Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга известного французского математика Жана Гастона Дарбу (1842--1917), которая представляет собой изложение некоторых избранных вопросов аналитической, проективной и неевклидовой геометрии. Свойственное автору мастерство изложения, оригинальность выбора материала, умение связать рассматриваемый вопрос с самыми различными отделами математики, разнообразие методов исследования --- все это придает книге совершенно особый характер. Предполагается, что читатель вполне владеет основами аналитической и проективной геометрии в объеме вузовской программы.

Рекомендуется преподавателям, студентам, аспирантам естественных вузов, а также всем, кто использует в своей работе методы аналитической геометрии.


 Оглавление

Из предисловия автора

Книга первая. Ангармоническое отношение

Глава I. Введение
Глава II. Тетраэдрические координаты
Глава III. Ангармоническое отношение
Глава IV. Метод сокращенных обозначений Bobillier и гомология на плоскости
Глава V. Двуосная гомология
Глава VI. Принцип двойственности
Глава VII. Коррелятивные фигуры
Глава VIII. Конические сечения и проективность

Книга вторая. Метрические определения

Глава I. Метрические соотношения на плоскости
Глава II. Исследование одного специального класса кривых, аналогичных коническим сечениям
Глава III. Метрические элементы в пространстве
Глава IV. Прямолинейные образующие сферы
Глава V. Сферическая тригонометрия
Глава VI. Сопряженные отрезки на сфере

Книга третья. Теоремы Poncelet

Глава I. Изучение одной специальной системы координат
Глава II. Теоремы Poncelet
Глава III. Общая теорема Poncelet

Книга четвертая. Геометрия Cayley

Глава I. Начала геометрии Cayley
Глава II. Перемещения в пространстве Cayley
Глава III. Тригонометрия Cayley

Книга пятая. Инверсия

Глава I. Инверсия. Ее основные свойства
Глава II. Пентасферические координаты
Глава III. Циклиды в декартовых координатах
Глава IV. Циклиды в пентасферических координатах
Глава V. Циклиды и их главные сферы
Глава VI. Тройная ортогональная система, образованная тремя семействами циклид
Глава VII. Об одном методе преобразования пространства, связанном с изучением циклид

 Из предисловия автора

Новый том, который я представляю вниманию математиков, есть резюме моих лекций, читанных с 1872 г. как в Ecole Normale superieure, так и в Faculte des Sciences de Paris. Прежде чем появиться в печати, большая часть входящих в него вопросов, вместе с некоторыми другими, была изложена моим ученикам в Ecole Normale с 1872 по 1876 гг. Общий теоретический материал, образующий содержание первых четырех книг, был предметом моего курса в Сорбонне в 1879--1880 гг. Основы геометрии Cayley я излагал в 1895--1896 гг. Наконец важнейшие свойства циклид входили, начиная с 1880--1881 гг., существенной частью во все мои курсы по тройным ортогональным системам.

Настоящий труд не следует рассматривать как дидактическое и систематическое изложение принципов и методов замечательного творения Descartes'a. Он предполагает предварительное знакомство с элементами аналитической геометрии. Его основная цель заключается в уточнении понятий относительно мнимости, бесконечности и т.д. и показать, что в геометрии эти понятия должны завоевать то место и значение, которыми они уже давно пользуются в анализе,

10 января 1917 г.


 Из главы I. Введение

Цель настоящих лекций: изложение принципов, на которых основаны открытия Monge'a и его школы. Роль мнимости и бесконечности в современных геометрических исследованиях. -- Возможность применения двух методов: одного, связанного с декартовыми координатами, который, главным образом, и будет применяться в этом сочинении, и другого, который открыт Chasles'oм и дополнен Staudt'oм и который будет использован в меньшей мере.

Характеристика методов анализа и современной геометрии. -- Применение небольшого числа основных принципов, из которых вытекают частные следствия. -- Недостатки геометрии древних.

Первые шаги в направлении современной геометрии, которыми мы обязаны Desargues'y, и последующие, как необходимые логические выводы из них. -- Пример, заимствованный из истории развития алгебры.

Геометрия. -- Принцип непрерывности Poncelet. -- Полемика с Cauchy. Введение мнимости и бесконечности в аналитическую геометрию. -- Простейшие понятия о мнимых прямых и плоскостях. -- Рассмотрение возражений Staudt'a по поводу применения метода координат для определения мнимых точек.

1. Предмет, к которому я намерен приступить в курсе этого года, является несомненно одним из самых интересных в современной геометрии. Я намерен изложить принципы, на которых основываются геометрические открытия Monge'a и его школы. Изучение этих принципов представляет большой философский интерес, которым слишком пренебрегают в настоящее время. И совершенно нецелесообразно изучать эти вопросы в классах с элементарной программой, где они не могут быть изложены со всей возможной полнотой, которой они заслуживают и которую я буду иметь возможность здесь дать.

Мнимость и бесконечность играют в настоящее время во всех геометрических исследованиях очень важную, но не всегда достаточно выясняемую роль. Поэтому я начну с напоминания того, каким образом можно строго обосновать в современной геометрии применения мнимых и бесконечно удаленных элементов, неизвестных в геометрии древних.

2. Что касается мнимости, то здесь можно вести исследование двумя различными методами: один, который я буду излагать подробным образом, исключительно аналитический и основывается на применении декартовых координат. Другой, принадлежащий Chasles'ю, изложенный этим знаменитым ученым в Высшей геометрии и дополненный затем немецким геометром Staudt'oM, напротив, основывается на чисто геометрических соображениях. В своем "Traite" de geometric superieure" Ghasles показывает прежде всего, как можно определить и ввести в рассуждения мнимые элементы, связывая с каждым из них сопряженный ему мнимый элемент и определяя затем совокупность этих двух элементов симметрическими вещественными функциями. Таким образом, если даны две мнимые сопряженные точки на прямой (обязательно вещественной), то их можно определить пересечением этой прямой с вещественной окружностью, что дает одновременно их среднюю точку и произведение их расстояний до некоторой точки, взятой на прямой или же в пространстве. Но в этом методе, как можно видеть, обе мнимые сопряженные точки неразличимы. Во многих приложениях, куда эти элементы входят симметрично, это не является затруднением. Однако ангармоническое отношение четырех мнимых точек на одной прямой уже не может быть определено таким образом. Допустим, для определенности, что в процессе доказательства рассматривается ангармоническое отношение четырех точек. Может случиться, что, благодаря соответствующему расположению деталей, эти четыре точки будут то вещественными, то мнимыми. Следовательно, нужно было бы различать отдельные случаи, строить для каждого из них свое отдельное доказательство, или отказаться от применения, иногда столь удобного, ангармонического отношения.

3. В своих "Beitrage zur Geometrie de Lage", вышедших в 1856--1860 гг., Staudt устранил отмеченную нами трудность посредством данного им более широкого толкования метода Chasles'я и оказался в состоянии определить чисто геометрически любой мнимый элемент и установить его отличие от сопряженного ему элемента. Это обобщение, будучи строгим, очень абстрактно и трудно. В основном его можно определить следующим образом: две мнимые сопряженные точки можно рассматривать как двойные точки инволюции на вещественной прямой и подобно тому, как переходят от мнимой величины к ее сопряженной посредством замены i на -- i, также различают две мнимые точки на прямой, ставя в соответствие каждой из них одно из двух направлений, которые можно приписать прямой. Но в этом чувствуется что-то искусственное, и развитие теории по необходимости оказалось довольно сложным. Вследствие этого метод Staudfa не занял ведущего места. Поэтому для введения и истолкования мнимостей лучше будет остановиться на аналитическом методе, который основывается на применении прямолинейных координат. Таким образом, мы ограничимся исключительно этим методом изложения и будем развивать аналитические понятия, относящиеся к этому вопросу, причем мы их уточним и свяжем с истинным источником.

4. Характерное свойство методов анализа и современной геометрии состоит в применении небольшого числа основных принципов, независимых от относительного положения различных элементов или от относительных значений различных символов; следствия из них будут тем более общими, что сами принципы имеют общий характер. Древние не дошли до этой концепции; каждый раз, когда, например, в фигуре две вспомогательные прямые были иногда параллельны, а иногда пересекались, они давали отдельные доказательства для каждого случая. Если в фигуре оказывались прямая и круг, то в доказательстве нужно было рассматривать последовательно и совершенно изолированно три случая, когда прямая пересекает, касается или не пересекает круга. Доказательства всегда строились для одной определенной фигуры, и всякий раз, как только менялись соотношения в расположении, приходилось перестраивать доказательство. Это разъясняет, почему были посвящены целые трактаты знаменитым задачам, которые решены в нескольких строках как в Геометрии Descartes'a, так и в Высшей геометрии. Добавлю, что и сами формулировки предложений должны были быть также разнообразны, и хотя доказательства были весьма сходные для всех этих частных случаев, тем не менее необходимость рассматривать столько различных случаев, делать столько подразделений остановило бы развитие геометрии и помешало бы ей подняться много выше элементов.

5. Первый шаг в направлении современной геометрии был сделан Desargues'oм, который рассматривал две параллельные прямые как пересекающиеся и тем самым неявно ввел то, что мы в настоящее время называем бесконечно удаленными точками. После этого все методы неизбежно должны были начать совершенствоваться. Человеческая мысль в своих исканиях следует законам, в которых не всегда отдает себе ясный отчет. Нет ничего более запутанного и неясного, чем первые пути, которыми достигаются научные истины. Их творцы не следуют дидактическим путем; они часто не заботятся и о достижении наибольшей возможной общности. Но задачи, возникавшие перед нами, становились в такой мере обширными, что с неизбежной необходимостью приводили их мало-по-малу (без того, чтобы они всегда отдавали себе ясный отчет о полной строгости рассуждений) к построению общих методов, без которых был бы невозможен прогресс науки.

6. Рассмотрим, например, алгебру. Нетрудно усмотреть из истории развития этой науки справедливость предыдущих замечаний. Viete -- ее подлинный создатель -- первый обозначает неизвестные и данные величины буквами и выполняет над ними некоторые операции. Но он еще не делал переноса всех членов уравнения в одну сторону, он не знал отрицательных величин. В уравнении второй степени он различал столько случаев, сколько существует комбинаций из знаков коэфициентов. Позднее Harriot и Descartes применяли отрицательные величины; Harriot первый сделал перенос всех членов уравнения на одну сторону. Еще позднее начали вводить мнимые числа, не будучи в состоянии дать удовлетворительную теорию этих элементов, обогащающих науку, просто в связи с задачами, с которыми она последовательно сталкивалась, а не в силу какого-либо рассуждения a priori.

Откройте два лучших учебных руководства XVIII века; "Алгебру" Euler'a и "Введение в анализ бесконечно малых" того же автора. Вы, увидите в первом из них теорию (очень полную) отрицательных величин, которая является в настоящее время совершенно неприемлемой, во втором же -- множество совершенно правильных формул, относящихся к мнимым числам или к их приложениям. Но в то время эти формулы трудно было строго обосновать, иначе чем соответствием их результатов с исследованиями, основой которых они служат.

Именно к этой эпохе относится известная фраза d'Alembert'a: "Двигайтесь вперед, а уверенность в правильности результатов придет в свое время".

Laplace, после того как вывел формулы, относящиеся к определенным интегралам, в которых все элементы вещественны и оставались таковыми же во все время доказательства; не боялся распространить их и на те случаи, когда некоторые из этих элементов становятся мнимыми. И хотя его изумительное искусство и предохраняло от ошибок, он, чтобы оправдать это обобщение, ссылался на "всеобщность анализа" (la generalite d'Analyse), выражение, которое часто встречается в его мемуарах. И только нашей эпохе было суждено создать в геометрии и в анализе вполне удовлетворительную теорию отрицательных и мнимых чисел, которая позволила ввести в алгебру ясность и строгость аналогично геометрии древних, но с общностью, совершенна неизвестной ей.

7. Относительно геометрии имеют место такие же замечания. Сначала Monge и некоторые из его учеников открыто применяли метод координат Декарта. Poncelet, напротив, желая построить все здание геометрии совершенно независимо, встретил затруднения, на которые я уже указывал. Чтобы преодолеть или, вернее, обойти их, он ввел знаменитый "принцип непрерывности", который породил большую дискуссию, особенно между ним и Cauchy, и который можно сформулировать так: во всех случаях, когда доказательство какого-нибудь предложения получено в предположении, что некоторые части фигуры, участвующие в доказательстве, вещественны, это предложение продолжает существовать и в том случае, когда эти части исчезают или становятся мнимыми, а само доказательство перестает существовать.

Этот замечательный принцип может оказать большие услуги; но Poncelet повредил ему тем, что не захотел его изложить в настоящем виде и не опубликовал его как простое следствие анализа. Аналитически его можно обосновать следующим образом. В огромном большинстве случаев геометрическое предложение приводится к поверке одного или нескольких рациональных соотношений между величинами. Эти же соотношения не зависят от вещественности или мнимости фигурирующих в них элементов и поэтому достаточно их доказать, когда они вещественны, чтобы заключить, что они будут справедливы и в том случае, когда эти элементы становятся мнимыми. С другой стороны, Cauchy ошибался, желая свести принцип непрерывности к чистой индукции, отказываясь заметить, что во всех случаях приложений своего принципа Poncelet никогда не рассматривал тех фигур, к которым могли бы быть применены возражения знаменитого аналиста.

Следует сказать, что ни один из этих двух знаменитых геометров не был ни вполне прав, ни вполне неправ. Среди различных случаев существуют такие, как, например, те, которые рассматривал Poncelet, к которым принцип непрерывности применим и имеет значение, большее чем просто индукция. Наоборот, существуют и другие, где он? может привести к ошибкам.

8. После этих исторических замечаний я вернусь к предмету своих лекций и поставлю себе задачей показать, каким образом применение этого закона, на который я уже указывал, именно, что научные методы имеют естественную тенденцию основываться только на абсолютно общих предложениях, независимых от величины и от взаимного расположения элементов, привело неизбежным путем ко всем нашим условным понятиям анализа и современной геометрии, к последовательному введению отрицательных, мнимых величин, бесконечно удаленных точек, мнимых точек на конечном расстоянии и мнимых бесконечно удаленных точек.

Я лишь слегка коснусь теории отрицательных величин. Известно, что если мы откажемся от их введения, то основное предложение алгебры, которое постоянно применяется в вычислениях, а именно, что в алгебраической сумме можно изменять порядок слагаемых, окажется подчиненным множеству ограничений, зависящих от величины и от места членов, суммы и таким образом приведет к огромному количеству случаев и подразделений и сделает утомительными самые элементарные исследования. Эти соображения аналогичны тем, которыми оправдываются введения и приложения мнимых чисел в алгебре. Рассмотрим, например, квадратные уравнения: одни из них имеют два корня, другие только один корень, третьи -- ни одного. Все эти случаи объединяют, говоря, что эти уравнения имеют два корня: вещественных и различных, вещественных и равных, или мнимых. Кроме того известно, какое значение имеют мнимые величины при изучении высшей алгебры, и я не буду больше на этом останавливаться.


 Об авторе

Жан Гастон Дарбу (1842--1917)

Выдающийся французский математик, член Парижской академии наук (1884), ее секретарь (с 1900 г.), член-корреспондент Петербургской академии наук (1895). Родился в Ниме. В 1864 г. окончил Высшую нормальную школу в Париже. Занимал должность профессора математики в Коллеж де Франс. С 1873 г. работал в Сорбонне.

Основные труды Г.Дарбу посвящены дифференциальной геометрии и дифференциальным уравнениям. В дифференциальной геометрии им получено много важных результатов, относящихся к теории поверхностей и теории криволинейных координат. Эти результаты были изложены в многотомных "Лекциях по общей теории поверхностей" (1887--1896) и в "Лекциях об ортогональных системах и криволинейных координатах" (1898). Геометрические исследования привели Дарбу к рассмотрению различных вопросов интегрирования дифференциальных уравнений. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений он изучил уравнения 1-го порядка, уравнения, интегрируемые с помощью найденных в достаточном количестве частных решений, и уравнения, интегрируемые алгебраически. В теории определенных интегралов имя Дарбу носят верхний и нижний интегралы, верхняя и нижняя суммы. Он также получил важные результаты в теории аналитических функций, плодотворно занимался вопросами кинематики, равновесия, малых колебаний систем точек.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце