В монографии изучаются некоторые вопросы дифференциальной геометрии «в целом» в сравнительно нестандартных пространствах: псевдоевклидовом и галилеевом. Эти пространства возникли в процессе построения специальной теории относительности: псевдоевклидово пространство является пространством времени специальной теории относительности, а галилеево пространство возникло при ретроспективном анализе классической механики как пространство --- время, соответствующее этой теории.
Для студентов и аспирантов, научных работников, специализирующихся в области геометрии, дифференциальных уравнений и теории относительности.
Предисловие
Часть I. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Введение
Глава 1. Основные понятия теории поверхностей в псевдоевклидовом
пространстве
§ 1.1. Псевдоевклидово пространство и его подмногообразия
§ 1.2. Полные поверхности в псевдоевклидовом пространстве
§ 1.3. Кривизна псевдоримановых пространств
§ 1.4. Основные уравнения теории поверхностей в псевдоевклидовом пространстве
Глава 2. Выделение естественных классов поверхностей
§ 2.1. Поверхности отрицательной кривизны с индефинитной метрикой
§ 2.2. Поверхности положительной кривизны и положительно определенной метрики
§ 2.3. Строение предельного конуса выпуклой поверхности с положительно определенной метрикой
§ 2.4. Некоторые свойства многогранной метрики отрицательной кривизны
§ 2.5. Существование выпуклого многогранника с данной метрикой класса W
§ 2.6. Нерегулярные выпуклые поверхности
§ 2.7. Реализуемость полных положительно определенных метрик отрицательной кривизны с ограниченной полной кривизной
§ 2.8. Постановка вопроса об априорной регулярности выпуклой поверхности с положительно определенной метрикой
§ 2.9. Выпуклые шапки с положительно определенном метрикой
§ 2.10. Априорная регулярность выпуклой поверхности
§ 2.11. О задаче Минковского для выпуклых поверхностей с положительно определенной метрикой в псевдоевклидовом пространстве
§ 2.12. О единственности выпуклых поверхностей с положительно определенной метрикой и отделенной от нуля кривизной
§ 2.13. Теорема сравнения для выпуклых шапок
§ 2.14. Поверхности с индефинитной метрикой и положительной кривизной
§ 2.15. О бесконечно малых изгибаниях поверхностей в псевдоевклидовом пространстве
§ 2.16. О поверхностях в многомерных псевдоевклидовых пространствах
Часть II. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ С ВЫРОЖДЕННЫМИ МЕТРИКАМИ
Введение
Глава 3. Обзор геометрии плоских неевклидовых пространств
§ 3.1. Необходимый минимум. Галилеево пространство и цилиндрическое отображение
§ 3.2. Общее определение плоского неевклидова пространства
§ 3.3. Двойственное отображение выпуклых поверхностейв.
Глава 4. Дифференциальная геометрия в галилеевом и изотропном пространствах
§ 4.1. О геометрии галилеевой плоскости
§ 4.2. Геометрия изотропного пространства.
§ 4.3. Поверхности в галилеевом пространстве.
§ 4.4. Вторая квадратичная форма и кривизна кривой на поверхности
§ 4.5. Основные формулы теории поверхности и геодезическая кривизна кривой
§ 4.6. Внешняя кривизна и ее свойства
Глава 5. Основные задачи геометрии в целом галилеевом пространстве
§ 5.1. Галилеево пространство и уравнения типа Монжа---Ампера.
§ 5.2. Решения уравнений Монжа---Ампера и задача о восстановлении поверхностей по внешней кривизне
§ 5.3. Общий случай уравнений Монжа---Ампера в неодносвязных и невыпуклых областях
§ 5.4. К постановке проблемы реализации
§ 5.5. Внутренняя геометрия поверхности в галилеевом пространстве
§ 5.6. К проблеме Минковского в галилеевом пространстве
§ 5.7. Проблема Минковского в регулярном случае
Часть III. НЕМНОГО О ФИЗИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ
Глава 6. Сингулярности в решениях уравнений Эйнштейна
§ 6.1. Понятие интегрируемой особенности решений уравнений Эйнштейна
§ 6.2. Конические особенности
Список использованной литературы
