Гуц А.К. Комплексный анализ и кибернетика Изд. стереотип.

URSS. 2021. 150 с. ISBN 978-5-382-02032-7.

Типографская бумага

Мягкая обложка

Аннотация

Настоящая книга посвящена изложению основ теории функций комплексного переменного и ее приложений к компьютерным наукам. В ней даются сведения о комплексных числах и функциях, фракталах и фрактальном сжатии, аналитических функциях, комплексных интегралах Коши, рядах Лорана и особых точках, а также сведения по теории сигналов и квантовой информатике.

Книга может быть использована в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся... (Подробнее)

Анонс

Фрактальное сжатие информации

Теория сигналов

Квантовая информатика

Сохранение информации при дискретизации сигналов

Оглавление

1	Комплексные числа и функции
	1.1.	Комплексные числа
		1.1.1.	Плоские числа
		1.1.2.	Решение квадратных уравнений и различные типы плоских чисел
		1.1.3.	Пространственные числа
		1.1.4.	Свойства комплексных чисел
		1.1.5.	Тригонометрическая запись комплексного числа
		1.1.6.	Бесконечно удаленная точка и расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана
	1.2.	Последовательности
		1.2.1.	Предел последовательности
		1.2.2.	Подпоследовательности и предельные точки
	1.3.	Ряды
		1.3.1.	Определение ряда
		1.3.2.	Операции с рядами
	1.4.	Топология комплексной плоскости (С
		1.4.1.	Открытые множества, окрестности и топология
		1.4.2.	Точки прикосновения и замыкание
		1.4.3.	Компактные множества
		1.4.4.	Области
	1.5.	Комплексные функции
		1.5.1.	Функции, изучаемые в комплексном анализе
		1.5.2.	Предел функции
		1.5.3.	Непрерывные функции
	1.6.	Георг Риман
	1.7.	Основная теорема алгебры
	1.8.	Интерпретация комплексных чисел Флоренским
	1.9.	Заблуждение великих
2	Комплексная динамика и фрактальное сжатие информации
	2.1.	Фракталы
		2.1.1.	Итерации
		2.1.2.	Множества Мандельброта и Жюлиа
		2.1.3.	Фракталы
	2.2.	Построение фракталов на основе их самоподобия
		2.2.1.	Треугольник Серпинского
		2.2.2.	Кривая Коха
	2.3.	Фрактальное сжатие информации
		2.3.1.	Сжатие информации
		2.3.2.	Идея фрактального сжатия изображения
	2.4.	Математические основы теории фрактального сжатия
		2.4.1.	Метрическое пространство
		2.4.2.	Теорема Банаха о неподвижной точке
		2.4.3.	Метрика Хаусдорфа
	2.5.	Алгоритм фрактального сжатия изображения
		2.5.1.	Построение алгоритма
		2.5.2.	Схема алгоритма декомпрессии изображений
3	Аналитические функции
	3.1.	Определение аналитической функции
	3.2.	Частные производные действительных функций
	3.3.	Условия Коши-Римана
	3.4.	Конформные свойства аналитических функций
		3.4.1.	Кривые на комплексной плоскости
		3.4.2.	Консерватизм углов
		3.4.3.	Постоянство искажения масштаба
		3.4.4.	Конформные отображения
	3.5.	Степенные ряды
		3.5.1.	Определение степенного ряда
		3.5.2.	Радиус сходимости
		3.5.3.	Сложение и умножение степенных рядов
	3.6.	Представление аналитических функций в виде степенного ряда
	3.7.	Функции е^z, sin z, cos z
4	Комплексные интегралы Коши
	4.1.	Определение интеграла Коши
		4.1.1.	Свойства интеграла Коши
		4.1.2.	Интеграл Коши как сумма криволинейных интегралов 2-го рода
	4.2.	Теорема Коши
		4.2.1.	Многосвязные и односвязные области
		4.2.2.	Теорема Коши
		4.2.3.	Обобщенная теорема Коши
	4.3.	Вычисление комплексных интегралов
		4.3.1.	Первообразная
		4.3.2.	Формулы для вычисления комплексных интегралов
	4.4.	Интегральная формула Коши
	4.5.	Огюстен Коши
5	Ряды Лорана и особые точки
	5.1.	Ряд Лорана
	5.2.	Особые точки
		5.2.1.	Классификация особых точек
		5.2.2.	Поведение функции в окрестности существенно особой точки
		5.2.3.	Ряд Лорана в окрестности особой точки
		5.2.4.	Ряд Лорана для бесконечно удаленной точки z = оо
	5.3.	Целые и мероморфные функции
		5.3.1.	Целые функции
		5.3.2.	Мероморфные функции
6	Теория сигналов
	6.1.	Определение сигнала
	6.2.	Гармонический анализ сигнала
		6.2.1.	Разложение периодического сигнала на гармоники
		6.2.2.	Разложение непериодического сигнала на гармоники
		6.2.3.	Энергия сигнала и его энергетический спектр
	6.3.	Фильтры и фильтрация сигналов
	6.4.	Преобразования Лапласа
		6.4.1.	Изображение произведения двух оригиналов
		6.4.2.	Переход к преобразованию Фурье
7	Вычеты
	7.1.	Понятие вычета
	7.2.	Формулы для вычетов
	7.3.	Вычисление интегралов с помощью вычетов
	7.4.	Применение вычетов для вычисления определенных интегралов
8	Сохранение информации при дискретизации сигналов
	8.1.	Дискретизация сигнала
	8.2.	Спектр дискретизированного сигнала. Теорема Котельникова
	8.3.	Ряд Котельникова
9	Замечательные комплексные функции
	9.1.	Дзета-функция Римана и простые числа
		9.1.1.	Распределения простых чисел
		9.1.2.	Гипотеза Римана
	9.2.	L-функция Дирихле
		9.2.1.	Расширенная гипотеза Римана
		9.2.2.	Криптография, криптоанализ и расширенная гипотеза Римана
	9.3.	Дельта-функция Дирака
	9.4.	Оливер Хевисайд
10	Квантовая информатика
	10.1.	Принципы построения компьютера
	10.2.	Логические элементы
		10.2.1.	Неклассический элемент sqrt(НЕ)
		10.2.2.	Квантовые логические элементы – гейты
		10.2.3.	Квантовые параллельные вычисления
	10.3.	"Наивная" квантовая механика
		10.3.1.	Состояния
		10.3.2.	Принципы "наивной" квантовой механики
	10.4.	Квантовый компьютер
	10.5.	Схема работы квантового компьютера
		10.5.1.	Ввод начальных данных
		10.5.2.	Вычисление
		10.5.3.	Вывод результата
	10.6.	Квантовая криптография
	10.7.	Юрий Манин
	10.8.	Дэвид Дойч
	10.9.	Математические основы квантовой механики
		10.9.1.	Гильбертово пространство
		10.9.2.	Бра- и кет-векторы
		10.9.3.	Линейные операторы
		10.9.4.	Постулаты квантовой механики
		10.9.5.	Эвереттовская трактовка квантовой механики
Литература

Об авторе

Александр Константинович ГУЦ

Окончил Новосибирский государственный университет. Математик. Доктор физико-математических наук. Профессор по кафедре математического анализа. Заведующий кафедрой кибернетики Омского государственного университета, декан факультета компьютерных наук.

Области исследования:

– математическая теория пространства-времени, квантовая теория времени;

– общая теория относительности, теория машины времени, эволюция геометрии и топологии пространства;

– математическое моделирование этнических, социальных и психических процессов;

– многовариантная и теоретическая история.