URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Шурыгин В.А. Алгоритмическая теория обратимости операторов
Id: 111441
 
155 руб.

Алгоритмическая теория обратимости операторов

URSS. 2010. 120 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-397-01319-2.

 Аннотация

Теория алгоритмов, создававшаяся первоначально как раздел математической логики, находит применение и в других областях математики; в частности, она позволяет глубже проникнуть в некоторые закономерности, относящиеся к методам регуляризации некорректно поставленных задач. Содержание настоящей книги можно рассматривать как начала теории, исследующей с позиций теории алгоритмов возможные подходы к регуляризации некорректных задач типа операторных уравнений и логические связи между этими подходами. В книге рассмотрены также условия обратимости алгоритмических операторов с точки зрения основанной А.А.Марковым и А.Н.Колмогоровым теории сложности алгоритмов. Приводятся необходимые сведения из теории алгоритмов. От читателя ожидается знакомство с основными понятиями функционального анализа.

Книга адресована в первую очередь математикам, чья специализация связана с теорией алгоритмов, но она может быть интересной и более широкому кругу читателей для ознакомления с одним из новых направлений в теории алгоритмов.


 Оглавление

Введение
 § 1.Используемая символика и необходимые сведения из теории алгорифмов
 § 2.О проблемах алгорифмической вычислимости в математическом анализе
 § 3.О регулярности и сингулярности композиции операторов
 § 4.Построение обратных операторов и псевдообращений операторов
 § 5.Связь между регулярностью и непрерывностью исходных операторов и обратных к ним операторов
 § 6.Связь между псевдорегулярностью, сингулярностью, псевдосингулярностью, регулярностью и квазирегулярностью операторов
 § 7.Связь между прослеживаемостью и регулярностью операторов
 § 8.Регулярность и прослеживаемость линейных операторов
 § 9.О регулярности сопряженного оператора
 § 10.О регулярности дифференцируемых операторов
 § 11.Прослеживаемые функционалы
 § 12.О регулярности пределов последовательностей операторов
 § 13.Проблема обратимости операторов в свете теории сложности алгорифмов
ЛИТЕРАТУРА
УКАЗАТЕЛЬ

 Из введения

Основной целью этой книги можно считать исследование возможности получения решений уравнений

F(x) = X (0.1)

с помощью алгоритмов, где x и X -- элементы метрических пространств и F -- алгоритмический (то есть заданный как алгоритм) оператор, отображающий одно из этих пространств в другое. Утверждение о возможности получения решения этого уравнения при любом X из множества значений оператора F можно сформулировать как утверждение о существовании алгоритмического оператора f, правого обратного к F, то есть такого, что

F(f(X)) = X (0.2)

для любого X из множества значений оператора F. Далее под обратными операторами будем подразумевать правые алгоритмические обратные операторы (кроме особо оговоренных случаев).

Основную проблематику этой книги можно усмотреть в исследовании вопроса: если F -- алгоритмический оператор, то какая информация об операторе F необходима и какая достаточна для построения правого обратного к F алгоритмического оператора?

Объекты, входящие в исходные данные и результаты вычислений алгоритмов, должны представлять собой конечные наборы стандартных знаков, расположенных определенным образом относительно друг друга (такие наборы знаков называются конструктивными объектами).

Коль скоро под операторами здесь имеются в виду алгоритмы, то сказанное в предыдущем абзаце необходимо отнести и к операторам, отображающим метрические пространства.

Если при исследовании принципиальной возможности построения алгоритмов делаются ссылки на теоремы, утверждающие существование тех или иных объектов, то важно различать случаи, когда в доказательствах этих теорем эти объекты строятся с помощью известных алгоритмов по четко указанным исходным данным для этих алгоритмов или когда существование рассматриваемых объектов доказывается косвенно, со ссылками на так называемые чистые теоремы существования.

Поэтому исследование вопросов, связанных с применением теории алгоритмов в математическом анализе, целесообразно вести (по крайней мере, по методическим соображениям) в рамках теории, в которой объектами исследования служат конструктивные объекты и последовательно прослеживается алгоритмическая вычислимость математических объектов. При исследовании алгоритмических проблем математического анализа нам представляется технически более удобным использовать понятия математического анализа не в их полном объеме, а лишь их частные случаи, которые допускают задание в виде конструктивных объектов, а также применять терминологию, отражающую различия между алгоритмической вычислимостью математических объектов и их существованием в "чистом" смысле (со ссылками на чистые теоремы существования).

Для этих целей хорошо подходит конструктивный математический анализ школы А.А.Маркова. В рамках конструктивного математического анализа школы А.А.Маркова мы и будем вести изложение, однако форма изложения здесь приближена к форме изложения классического (основанного на теории множеств) математического анализа и специфика конструктивного анализа проявляется лишь в истолковании квантора существования (термина "существует"), иcтолковании дизъюнкции (логической связки "или") и употреблении двойного отрицания (об этом речь пойдет в § 1), поэтому можно говорить, что здесь изложение ведется не в рамках конструктивного анализа, а в конструктивном стиле. Сведения из конструктивного математического анализа, на которые будут ссылки в последующих параграфах, здесь даны в § 1; читатель, не знакомый с конструктивным математическим анализом, может все, о чем здесь говорится, понимать, как в классическом анализе, не придавая значения стилю изложения, характерному для конструктивной математики (но вследствие этого иногда теряя часть информации о возможности или невозможности построения некоторых алгоритмов).

Обстоятельное изложение методологических основ конструктивного направления школы А.А.Маркова можно найти в работе А.А.Маркова [10], а также в работе [20] и книгах [7], [24].


 Об авторе

Виктор Афанасьевич ШУРЫГИН

Представитель научной школы А. А. Маркова в области конструктивного направления в математике. Первые его исследования были связаны со свойствами алгорифмических отображений множеств конструктивных объектов, для которых определено отношение эквивалентности. Другой цикл работ относится к конструктивному математическому анализу. Будучи математиком-прикладником по образованию и опыту первых лет практической работы, В. А. Шурыгин стремится придать конструктивному анализу характер прикладной теории, определяющей на основе теории алгорифмов возможные подходы к разработке численных методов математического анализа и его приложений. Еще одно направление научной работы В. А. Шурыгина относится к теории сложности алгорифмов, основанной А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым; он определил класс проблем конструктивного математического анализа, для которых невозможны алгорифмические верхние оценки сложности. Является автором более 20 научных работ, в том числе монографий "Основы конструктивного математического анализа" (2-е изд. URSS, 2009) и "Сложностный метод теории алгоритмов" (URSS, 2009).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце