URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук: Догреческая математика. Пер. с нем.
Id: 111314
 
263 руб.

Лекции по истории античных математических наук: Догреческая математика. Пер. с нем. Изд.2

URSS. 2010. 242 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-382-01153-0.

 Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга австрийского историка науки О.Нейгебауэра (1899-1990), в которой впервые в научной литературе была дана связная картина истории догреческой математики. По мнению автора, математика Древнего Востока находилась под сильнейшим влиянием строения ее системы чисел и связанной с этой системой вычислительной техники. Поэтому в книге не только описаны достижения египетской и вавилонской математики, но и показаны глубокие различия между ними, обусловленные в своих основных чертах большей или меньшей степенью овладения чисто числовыми процессами.

В конце книги в качестве приложения приводится статья К.Фогеля "Кубические уравнения у вавилонян".

Книга предназначена историкам математики, но содержащийся в ней материал будет интересен этнографам, психологам, лингвистам, а также широкому кругу читателей.


 Оглавление

Предисловие переводчика
Предисловие автора
Введение
Глава I. Вавилонская вычислительная техника
 § 1.Таблицы обратных значений
  а)Предварительные замечания
  б)Способ расположения чисел и терминология в таблицах обратных значений
  в)Способ составления таблиц обратных значений
  г)Добавление. Обобщенные таблицы обратных значений
 § 2.Другие таблицы и вавилонская вычислительная техника вообще
  а)Сложение и вычитание
  б)Умножение и деление
  в)Отдельные замечания к системе таблиц умножения
  1.Принцип выбора основных чисел
  2.Дополнение текстов таблиц
  г)Другие таблицы
  д)Вычисление иррациональных квадратных корней
  е)Заключительное замечание
 Список литературы к главе I
Глава II. Общая история. Язык и письмо
 § 1.Хронологический и географический обзор
 § 2.Принцип клинописи
  а)Техника письма
  б)Система письма в клинописных текстах
  в)Языки клинописных текстов
  г)Математическая терминология
 § 3.Египетское письмо
 Список литературы к главе II
Глава III. Система счисления
 § 1.Сущность вопроса
 § 2.Целые числа
 § 3.Дроби
 § 4.Шестидесятеричная система
  а)Фактический материал. Постановка вопроса
  б)Система мер
  в)История возникновения шести десятеричной позиционной системы
 Список литературы к главе III
Глава IV. Египетская математика
 § 1.Тип египетской математики
  а)Источники
  б)Общая характеристика математических текстов
 § 2.Египетская геометрия
  а)Планиметрические задачи
  б)Объемы
  в)М 10
 § 3.Египетская теория дробей
  а)Алгорифм вспомогательных чисел
  б)Структура таблицы величин 2/n
 Список литературы к главе IV
Глава V. Вавилонская математика
 § 1.Геометрия
 § 2.Из области арифметики
 § 3.Алгебра
  а)Система линейных уравнений
  1.Разложение треугольника (5 неизвестных)
  2.Разложение треугольника (10 неизвестных)
  3.Два неизвестных
  б)Квадратные уравнения
  1.Разложение треугольника
  2.Другие разложения треугольника на части
  3.Неоднородные уравнения
  4.Квадратные уравнения для обратных значений
  5.Серии задач на квадратные уравнения
  в)Биквадратные уравнения
  1.Биквадратные уравнения для "длины" и "ширины"
  2.Серии биквадратных уравнений
  3.Другие задачи на биквадратные уравнения
 § 4."Трансцендентные" задачи
  1.Кубическое уравнение
  2.Простые и сложные проценты
  3.Таблицы и их терминология
 § 5.Общий обзор и положение вопроса в настоящее время
  Список литературы к главе V
К. Фогель. Кубические уравнения у вавилонян
Предметный указатель

 Предисловие переводчика

До последнего времени в истории математики господствовало представление, что родоначальницей нынешней математики является математика античного мира. Думали, что только в математике античного мира впервые появляются научные обобщения и доказательства; математика древнего Востока рассматривалась как собрание практических рецептов, выведенных грубо эмпирическим путем и вследствие этого содержащих грубейшие ошибки. Так, еще Кантор в своих лекциях по истории математики утверждал, что, по египетским представлениям, площадь равнобедренного треугольника равна произведению основания на боковую сторону, -- формула, которая для огромного большинства случаев является не приближенной, а просто грубо неверной. Сообщениям древних греков о том, что их геометрия позаимствована у египтян и что виднейшие греческие математики ездили учиться геометрии в Египет, обычно не верили: в них видели только частный случай общеизвестной тенденции греков возводить всю свою культуру к древневосточным прототипам.

В 1917 г. русский ученый, акад. Б.А.Тураев, опубликовал в Ancient Egypt начертанную на папирусе, хранящемся в Москве, египетскую задачу. Оказалось, что уже в эпоху Среднего царства египтянам была известна точная формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. Это повело к пересмотру вопроса о египетской математике. Акад. В.В.Струве в своем издании московского папируса показал, что указанные выше грубо неверные египетские формулы для площади треугольника обязаны своим существованием неправильному толкованию соответствующих терминов в папирусах. В одной из задач папируса он открыл даже формулу для поверхности шара, но это открытие вызвало возражения со стороны некоторых египтологов, и пока вопрос остается открытым. Все эти открытия вызвали пересмотр всего вопроса о роли египетской геометрии в истории математики.

В 1931 г. появляются и в Германии и в Англии новые обзоры египетской геометрии; в 1932 г. автор этой статьи подверг рассмотрению в особой статье вопрос о египетском влиянии на греческую геометрию.

Но пока ученые вели споры о значении содержащихся в Московском папирусе египетских задач, учеными-ассириологами были сделаны еще гораздо более поразительные открытия. Выли расшифрованы сотни клинописных математических текстов, написанных как на древнейшем сумерийском, так и на семитическом (аккадском) языках. Оказалось, что в области геометрии вавилоняне ничуть не уступали египтянам; но гораздо поразительнее другое: в то время как нам ничего неизвестно о какой-либо примитивной алгебре у египтян, а греки, поскольку мы можем заключить из труда Евклида, считали нужным решать вопросы алгебры чисто геометрическим путем (геометрическая алгебра), вавилоняне, как это видно из множества соответствующих текстов, решали большое количество вопросов способом, содержащим уже зачатки алгебры.

От сравнительно поздней эпохи (III век н.э.) до нас дошел труд грека Диофанта, довольно ловко оперирующего сравнительно сложными алгебраическими выкладками. Ясно, что Диофант должен был иметь целый ряд предшественников. И в самом деле, нам известно, что наряду с геометрией у греков существовала особая наука -- логистика, охватывающая нашу арифметику и отчасти алгебру. Уже со времени Платона она третировалась как низшая, прикладная дисциплина, не входящая в круг образования философа и ученого. Поэтому до нас не дошло ни одной книги но греческой логистике; но из трудов Архимеда и Герона мы видим, что, например, правила извлечения квадратного и кубического корней, очевидно, были даны и обоснованы в курсах логистики; поэтому указанные авторы применяют эти правила как общеизвестные. Сама собой напрашивается мысль, что эта греческая алгебра имеет своим источником вавилонскую; такое предположение в самом деле подтверждается на ряде частных совпадений.

Эти вновь возникшие проблемы и побудили Нейгебауера издать трехтомный курс лекций по истории античных математических наук, в котором первый том (уже вышедший и предлагаемый здесь в переводе) посвящен догреческой математике, второй будет посвящен греческой математике, а третий -- точной астрономии у вавилонян и греков.

Изучение вавилонских текстов привело Нейгебауера к очень высокой оценке вавилонской алгебры. По его мнению, для этой алгебры характерно "полное овладение всей областью рациональных чисел"; он, не колеблясь, готов приписать вавилонянам сложнейшие алгебраические преобразования с целью суммирования рядов (см. ниже, стр.192), ибо "здесь нет ничего, что превышало бы силы вавилонской математики"; он полагает, что вавилоняне не только без труда решали квадратные и биквадратные уравнения, но обладали и хорошо разработанной процедурой для приведения любого кубического уравнения к каноническому виду х3 + х2 = с. Как мы покажем ниже, эти утверждения представляют собою несомненные преувеличения; тем не менее достижения вавилонской математики остаются громадными, и, в частности, громадны шаги в направлении алгебраизации математики. Эти увлечения, естественные для пионера в новой области, не умаляют, таким образом, значения открытий Нейгебауера, составляющих эпоху в научной истории математики.

Есть у книги Нейгебауера и внешний недостаток, делающий многие утверждения автора недостаточно убедительными. Полное издание текстов, лежащих в основе его лекций, еще не вышло к моменту появления в свет книги: оно недавно лишь появилось в серии Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik под заглавием Mathematische Keilscbrifttexte (см. ниже, стр.232, V, 4). Между тем приводимые им тексты автор обычно дает только в нынешней алгебраической транскрипции, так что мы не в состоянии судить, насколько точно эта транскрипция передает ход мыслей древневосточного ученого; как мы увидим, в некоторых случаях этот ход мыслей нужно восстанавливать совсем по-иному

Если принять во внимание, что автор -- немец, которого фашистский переворот застиг еще в Германии (ныне он профессор в Копенгагене, хотя книга и вышла в свет в Берлине), то ряд его высказываний получит особо глубокое значение. Мы знаем, что работы по истории математики сплошь и рядом служат целям националистической и даже шовинистической пропаганды: авторы их видят цель своего труда в том, чтобы показать, что именно их родине принадлежит особенно выдающаяся роль в истории математики. На ряде страниц они стараются per fas et nefas доказать, что в том или ином крупном математическом открытии приоритет принадлежит именно представителю их страны или что тот или иной ученый является их соплеменником (спор о приоритете Ньютона и Лейбница; спор о национальности Коперника). Особенно выделяются в этом отношении итальянские ученые, даже не дающие себе труда замаскировать эти вненаучные импульсы.

Совсем другой характер носит труд Нейгебауера. Он с самого же начала (в предисловии) заявляет, что "читатель, интересующийся преимущественно вопросами приоритета, найдет мало интересного в этих лекциях". Далее, главную роль в создании предпосылок для нынешней математики Нейгебауер отводит семитам -- вавилонянам, а не арийцам -- грекам; уже один этот факт получает особый смысл в книге, появившейся в стране "расовой проблемы". Но Нейгебауер идет еще дальше: он считает оперирование с национальными особенностями вообще ненаучным приемом и, наоборот, удивительный расцвет математики в Вавилонии он объясняет прежде всего смешением национальностей (см. ниже, стр.77 и ел.). Он показывает, что такое гениальное открытие, как позиционная шестидесятеричная система, не была продуктом гениального творчества какого-либо научного "Fulirer'a" прошлых эпох, а возникла постепенно, путем приспособления к новым условиям, причем она сохранила еще явственные следы, рудименты уже пройденных стадий. Исходным пунктом в этом развитии является экономический фактор, приведший к системам мер, различным в каждом городе-государстве. Развитие междугосударственных отношений приводит к тому, что приходится эти самодовлеющие системы поставить в зависимость друг от друга; при этом фактически должно было оказаться, что отношения между единицами мер разных городов-государств (или различных групп мер в одном и том же государстве) выражались неокругленными числами (смешанными дробями с большим знаменателем). Это создавало крупные затруднения для оборота; поэтому пришлось эти отношения упростить, а поскольку уже в древнейшее время оперировали с 1/2 и 1/3, наиболее удобным оказалось отношение 1: 6. При таком отношении между единицами в двух системах мер в объединенную систему прекрасно укладываются и 1/2 и 1/3 (они равны 3 и 2 низшим мерам). В соединении с существовавшей с древнейших времен десятичной системой получаем новое отношение 1: 60. С другой стороны, применение в различных городах разных систем мер привело к тому, что с появлением письменных знаков для мер один и тот же знак в разных городах стал обозначать неодинаковые меры. При соединении разных систем мер в одну это привело к тому, что один и тот же знак получал разное значение в зависимости от места в написании составного именованного числа, т.е. к позиционной системе обозначения. Первоначально речь шла главным образом о мерах веса (игравших роль денежных единиц), но затем знаки для этих мер были распространены и на числа вообще. При переходе сумерийского письма к семитам, людям, говорившим на совершенно ином языке, сумерийские иероглифы, служившие для обозначения математических понятий, стали уже восприниматься не как комплекс определенных звуков, а как чисто математические символы. Это повело к возникновению древнейшей в мире математической символики. Таким образом Нейгебауер кладет во главу угла своей красивой и убедительной реконструкции не гениальную интуицию ученых прошлого и даже не внутринаучные потребности, а экономические потребности, потребности оборота.

Как я указал уже выше, Нейгебауер увлекся открывшейся перед ним грандиозной картиной развития вавилонской математики и несколько модернизировал ее. С его точки зрения, поскольку речь идет о положительных рациональных числах, вавилонская алгебра принципиально ничем не отличается от нынешней. Это утверждение, однако, неверно; чтобы не быть голословным, я позволю себе в подстрочных примечаниях подвергнуть разбору важнейшие из приведенных Нейгебауером примеров (см. стр.193, 205 и далее). Дошедшие до нас памятники содержат, правда, лишь готовые рецепты-решения, поэтому ход мыслей их составителей мы вправе реконструировать по-разному. Но уже a priori ясно, что если данные на табличках решения можно получить при помощи более элементарных процедур, то постулировать современные алгебраические методы у вавилонян нет никаких оснований.

В подстрочных примечаниях к отдельным разбираемым у Нейгебауера задачам на уравнения первой степени я показываю, что весь ход действия на табличках может быть гораздо лучше, чем у Нейгебауера, осмыслен чисто арифметически, методом ложного предположения, и что поэтому в разбираемых задачах больше основания видеть предшественников соответственных типичных индийско-арабских арифметических задач, чем нынешней алгебры.

Правда, задачи на квадратные уравнения по самому своему существу не могут быть осмыслены арифметически. Но Нейгебауер ни в одном случае не показал, что алгебраическая интерпретация является единственно возможной: я в своих примечаниях стараюсь показать большую вероятность геометрического толкования. Я вообще уверен, что на той стадии, на которой находилась вавилонская математика, решение задач на квадратные уравнения могло при доказательстве осмысливаться только геометрически, так, как это было в Египте и Греции.

Правда, Нейгебауер в противовес этому предположению указывает на то, что вавилоняне умели решать и неоднородные квадратные уравнения, где площади складываются с длинами, а такое сложение никак не может быть осмыслено геометрически.

Но применение геометрического метода решения квадратного уравнения отнюдь не исключает того, что условие задачи предварительно преобразовывалось к однородному виду чисто арифметическим, крайне элементарным путем. А между тем именно в этом и состоит вся "трудность" приводимых Нейгебауером задач. Так, например, в одной из этих задач дано: "Площадь вместе с суммой сторон равна 14, а сумма сторон 5 x 5/6. Найти стороны". Всякому непредубежденному человеку должно быть ясно, что, имея сумму суммы сторон с площадью и отдельно сумму сторон, вавилонянин непосредственно находил площадь:

14--5 x 5/6 = 8 x 1/6,

после чего уравнение переставало быть неоднородным.

Как вавилоняне находили величины по их сумме и произведению, мы, правда, не знаем. Скорее всего они поступали так же, как мы, т.е. от х2 + 2xy + y2 отнимали 4xу и таким путем находили разность. Но разве для этой процедуры не напрашивается сама собой геометрическая интерпретация?

Далее, Нейгебауер без всякого основания выделяет в вавилонской математике еще особую категорию биквадратных уравнений. В примечании на стр.213 я указываю, насколько излишня такая классификация в применении к отдельной приведенной им задаче; столь же мало можно говорить о "биквадратных уравнениях" в применении к сериям задач, приводимым Нейгебауером ниже, на стр.214 и сл.

Я готов согласиться с Нейгебауером, что мы имеем здесь дело действительно с задачами, хотя и мыслимо, что это просто математические таблицы, составленные с неизвестной нам целью, причем значения х и у заранее вполне известны. И при толковании Нейгебауера мы имеем ряд уравнений типа

m2х2 + рху + n2у2 = с,

причем значение ху известно. Ясно, что путем прибавления определенной, без труда находимой величины, кратной ху, это уравнение легко привести к виду

m2х2 + -- 2mnху + n2y2 = с'

откуда простым извлечением корня находятся mх + nу и mх -- nу, а следовательно, х и у. Мы уже видели, что знакомство с этой процедурой необходимо постулировать в Вавилоне и что она могла быть осмыслена чисто геометрически.

Как раз таким же геометрическим путем я осмыслил себе и то, что Нейгебауер называет "решением кубических уравнений у вавилонян".

Однако давать здесь обоснование этих взглядов было бы излишне, так как эта работа уже проделана виднейшими историками математики К.Фогелем в Мюнхене и Э.Бортолотти в Болонье, пришедшими почти к одним и тем же результатам (мы даем здесь в приложении статью Фогеля, а не Бортолотти, так как Фогель лучше знаком со спецификой вавилонской математики; кроме того, националистическая установка Бортолотти-его задача доказать приоритет его отечества в этом вопросе-не может не ослабить убедительности его аргументации).

Как мы увидим из данной в приложении статьи Фогеля, в Вавилоне дело сводилось по существу к построению куба, часто с наложенным на него слоем, высота которого равна единице меры; это дает возможность свести ряд задач к нахождению х по дошедшей до нас таблице значений:

x3 + x2 = c,

которую надо осмысливать как таблицу объемов кубов с наложенным на них слоем толщиной в единицу меры. Нейгебауер в этом случае модернизирует. Однако ознакомление с подлинными текстами показывает, что в ту эпоху, когда написаны интересующие нас документы, вавилоняне уже, не задумываясь, говорили о сложении объемов с поверхностями, т.е. образы, имевшие первоначально геометрический смысл, в математической практике были уже алгебраизированы.

Наконец на стр.193 читатель убедится, что и в том случае, когда Нейгебауер постулирует у вавилонян умение суммировать сложные ряды, дело может быть сведено к простой геометрической процедуре.

Если, таким образом, достижения вавилонян в области алгебры преувеличены Нейгебауером, то в угоду своей -- верной в основе -- идее о принципиальной противоположности между египетской и вавилонской математикой он склонен недооценивать уровень математических знаний египтян. Он совершенно неосновательно ставит во главу угла тот факт, что математическое образование было составной частью образования египетского чиновника, и поэтому тематика математических задач обычно теснейшим образом увязана с будущей практикой администратора и счетовода. Знание такой сложной формулы, как формула для объема усеченной пирамиды, имеет предпосылкой серьезную теоретическую работу в области геометрии, и, конечно, греческие ученые ездили в Египет не для того, чтобы узнать несколько эмпирических землемерных формул! Нельзя забывать, что из Египта до нас дошло всего два связных математических текста, не дающих никакого права судить об общем характере египетской математики, тем более, что эти тексты носят узко прикладной характер. "Реконструировать по ним всю математику египтян -- такая же ошибка, как если бы мы по двум плохим учебникам коммерческой арифметики стали бы реконструировать современную математику" (М.Я.Выгодский).

В примечаниях к соответствующим местам текста будут еще приведены примеры недооценки Нейгебауером египетской геометрии. Здесь укажу только на то, что, в то время как всему египетскому учению об объемах Нейгебауер посвящает только пять страниц (142--146), он посвящает целых десять страниц текста (ниже, стр.146--155) доказательству того, что теория В.В.Струве, по которой в задаче М 10 речь идет о поверхности шара, несостоятельна. Этот обширный экскурс (вся книга имеет около 200 страниц), несомненно, неуместен и нарушает стройность изложения; получается впечатление, что Нейгебауер, возражая против теории В.В.Струве, все же инстинктивно чувствует, что эта теория имеет очень многое за себя. Нельзя, например, считать серьезной ссылку на то, что "такая формула принципиально и резко противоречила бы всему тому, что мы знаем об уровне египетской математики, и данным всего прочего материала источников" (стр.146). Я не сомневаюсь, что и формулу объема усеченной пирамиды (если бы папирус допускал какую бы то ни было возможность другого толкования) Нейгебауер считал бы несоответствующей уровню египетской геометрии. Эти рассуждения -- типичное petitio principii: мы, в сущности, ничего не знаем о возможностях египетской математики и должны быть готовы ко всяким неожиданностям.

Разумеется, поскольку возможны иные толкования, нельзя считать теорию В.В.Струве уже доказанной. Не будучи специалистом в египтологии, я, конечно, не могу судить, насколько основательны лингвистические возражения, сделанные Струве. Но как филолог я должен заметить, что чтение, обходящееся без коньектур (каково чтение Струве), заслуживает в принципе предпочтения перед другими; если Струве удастся свидетельствами египетских текстов доказать, что предлог r употреблялся в смысле "по", "в каждом направлении" и т.д., то я, не задумываясь, предпочту его толкование всякому другому.

С другой стороны, Нейгебауер должен был бы отметить, что и при чтении Пита толкование Струве остается столь же возможным, как и другие (в этом случае речь шла бы о полушаре, т.е. о корзине с кругом в сечении, как о частном случае корзины с эллипсом в сечении, когда длина и ширина сечения не равны обязательно друг другу).

Далее, сам же Нейгебауер иногда приписывает египтянам столь сложные преобразования, что они свидетельствовали бы об очень высоком уровне египетской математики, если бы такие предположения были действительно обоснованы. Так, в своей упомянутой уже статье об египетской геометрии Нейгебауер совсем не делал попытки восстановить аргументацию, приведшую к нахождению объема усеченной пирамиды. Как он справедливо указывал, для правильного нахождения этого объема необходима инфинитезимальная процедура; совершенно невероятно, чтобы такая процедура была известна египтянам. Итак, замечает он, решение получено путем ошибки, а искать, какая это ошибка,занятие довольно праздное. В.В.Струве в своем издании Московского папируса стал на обратную точку зрения: он приписывал египтянам чисто алгебраическую, по существу, процедуру, известную нам из Герона.

В действительности дело обстоит так: если египтянам был известен объем пирамиды (хотя бы он был получен эмпирическим путем), то для получения объема усеченной пирамиды уже не требовалось никаких инфинитезимальных выкладок; но, с другой стороны, приписывать египтянам знакомство с алгебраическими преобразованиями у нас нет оснований. Исходя из этих соображений, л предложил чисто геометрическую реконструкцию этого решения.

В предлагаемой здесь книге Нейгебауер изменил свой подход: и он прибегает к реконструкции. Эта реконструкция -- в основе своей геометрическая; но приводится она к алгебраической формуле

h/3 (a -- b)2 + hab = h/3 (a2 + ab + b2)

Непонятно, что выиграл Нейгебауер по сравнению с решением Струве: он сам же заявляет, что всякое восстановление может допускать только преобразования, засвидетельствованные в египетских памятниках. Правда, он ссылается на то, что якобы преобразование (а -- b)2 засвидетельствовано в задаче В 1, но это неверно (см. ниже, примечание к стр.146).

Таким образом, мне кажется, что если уже итти по пути реконструкции решения этой задачи, то и здесь надо ограничиться чисто геометрической реконструкцией, что я и сделал в своей статье. Как бы то ни было, эта задача показывает, что геометрические познания египтян стояли на высоком уровне.

Мы остановились на этих преувеличениях и ошибках Нейгебауера, повторяю, не для того, чтобы дискредитировать его книгу. Цель наших поправок -- дать в руки русскому читателю этот оригинальный курс, открывающий совершенно новые горизонты в истории математики, в таком виде, чтобы читатель не мог быть приведен в смущение возможными нападками на нее злостной критики. В самом деле, и помимо этих преувеличений достижения вавилонской математики, с которыми впервые познакомил нас Нейгебауер, в частности далеко зашедшая алгебраизация, в достаточной мере поразительны.

В заключение я хотел бы еще указать на то, что книга Нейгебауера интересна не только для историка математики или историка вообще: она содержит материал, чрезвычайно поучительный и для этнографа и лингвиста, давая ряд новых наблюдений из области первобытной психологии. Особое внимание следует обратить на применение математического (функционального) способа обозначения для характеристики различных языковых типов -- этот метод обозначения, несомненно, раньше или позже получит право гражданства и в официальной лингвистике -- и на графический способ, применяемый с эвристическими целями для дополнения историко-научных документов.

С.Лурье

 Предисловие автора

История античной математики зиждется на двух основаниях, хронологически далеко отстоящих друг от друга: с одной стороны, это произведения классической греческой математики -- труды Евклида, Архимеда и Аполлония, относящиеся к IV и III векам до н. э., с другой -- египетские и вавилонские тексты, которые, по крайней мере в преобладающем большинстве, более чем на тысячелетие древнее первых. Если мы хотим дать последовательную картину истории возникновения античной математической мысли, то необходимо отправляться от этих двух более или менее прочно установленных опорных пунктов. Тогда прежде всего приходится искать ответ на две группы вопросов. Первая касается тех исторических предпосылок, которые обусловили возникновение древневавилонской математики; вторая имеет целью реконструкцию путей возникновения собственно греческой математики, для восстановления которых не существует почти никаких прямых источников, т.е. ставит себе задачей перебросить мост между греческой и догреческой математикой.

Цель этих лекций -- дать краткий эскиз, обрисовывающий обе эти группы проблем, ответить на вопросы, из них вытекающие, и познакомить читателя с теми методами и вспомогательными средствами, которыми мы в данный момент располагаем для хотя бы частичного разрешения интересующих пас задач.

Я отнюдь не собираюсь дать такую картину наших нынешних знаний о математическом развитии античного мира, которую можно было бы в том или ином смысле считать законченной. То, что предлагается здесь вниманию читателя, -- на самом деле лекции, переданные почти точно в том виде, в каком я их читал в Копенгагене. Лекция по самой своей сущности требует, чтобы докладчик занял определенную позицию по отношению к отдельным частным вопросам, Я вовсе не пытался уклониться от этой обязанности; напротив, я пытался в максимально краткой и выпуклой форме обрисовать положение вещей, выявляющееся на основе наличного материала, содержащегося в источниках, и сделать все те выводы, которые, по моему мнению, отсюда вытекают. Таким образом мой подход к теме, налагающий печать на всю книгу, насквозь субъективен и основан на моих личных воззрениях.

Весь труд разделен на три тома. Предлагаемый здесь читателю первый том посвящен исключительно восточной математике. Второй том будет посвящен греческой математике; как уже было сказано выше, его исходным пунктом будет тот материал источников, который один только и дошел до нас полностью, т.е. прежде всего Аполлонии и Архимед; исходя из этого материала, мы будем пытаться проникнуть в предисторию греческой математики. Третий том будет посвящен точной астрономии, т.е. прежде всего основному и до сих пор недостаточно оцененному труду Птолемея, с одной стороны, и вавилонской астрономии, -- с другой. Эта астрономия -- сравнительно позднего происхождения и на нынешней стадии ее изучения значительно труднее и недоступнее, чем работа Птолемея.

В заключение я надеюсь дать нечто вроде общего обзора античных математических наук. Еще раз необходимо подчеркнуть, что моей единственной целью является -- как можно отчетливее обрисовать те проблемы, которые при этом возникают, и указать на существующие между ними связи. Однако никак не следует пользоваться этими лекциями как компендиумом всего того, что содержится в доступных нам источниках. Кто хочет надлежащим образом заняться отдельными вопросами, не сможет обойтись без самостоятельного изучения источников в подлинниках. Публикуемые здесь лекции имеют целью лишь попытаться показать широкому кругу читателей, к каким выводам можно притти в результате работы над дошедшими до нас остатками античной математической литературы и каковы предпосылки этой работы.

Попытка дать связную картину истории догреческой математики делается здесь впервые. Вряд ли кто-либо чувствует острее, чем я сам, как велики пробелы в том материале, на котором приходится строить такую реконструкцию. Одновременно с этими лекциями выйдет из печати издание всех известных мне математических клинописных текстов; в этом издании я пытаюсь по мере возможности сделать доступным во всех его подробностях весь наличный материал текстов, не прибегая ни к каким историческим конструкциям. Всякого, кто хотел бы проверить или дополнить даваемую нами в настоящих лекциях картину, мы отсылаем к этому изданию. Само собой разумеется, у того широкого круга читателей, для которого эта книга предназначена, знакомство с этим материалом не предполагается. Изучение догреческой математики основано на исследованиях самого последнего времени; поэтому надо ожидать, что уже в ближайшее время в наше изложение придется внести ряд дополнений и исправлений. Однако основная цель этих лекций -- побудить читателя подумать над разбираемыми здесь вопросами. Если он придет к иным выводам, более правильным, чем те, которые сформулированы здесь, то я буду гораздо более удовлетворен, чем в том случае, если бы мне удалось так затушевать все спорные вопросы, чтобы ошибки в моих выводах остались незамеченными.

Мне крайне неприятно, что открытие вавилонской математики с неизбежностью приводит к более ранней датировке открытия ряда математических теорем и зависимостей. Впрочем, я полагаю, что читатель, интересующийся преимущественно вопросами приоритета, найдет мало интересного в этих лекциях. Время служит системой координат для истории -- это неизбежно, но этим и исчерпывается роль времени для истории. Кроме того, наши познания из области догреческой математики еще далеко не столь глубоки, чтобы можно было дать хронологически законченную картину ее истории. Однако, если бы даже материал наших текстов и содержал во много раз меньше хронологических проблем, я считал бы хронологическое изложение истории догреческой математики принципиальной ошибкой. В самом деле, в то время как история античной мысли разыгрывается на фоне эллинизма, история догреческой эпохи в основных чертах обусловлена дуализмом культуры Египта, с одной стороны, и культуры народов Месопотамии -- с другой. Поэтому при изучении догреческой математики все внимание должно быть обращено на возможность двоякого выражения одного и того же процесса. Эта двойственность, это наличие двух одновременных процессов развития, вполне аналогичных во всей постановке выдвигаемых вопросов, но приведших тем не менее к совершенно различным результатам, является для нас столь единственным в своем роде даром судьбы, что мы лишили бы себя самого полезного орудия более глубокого понимания вопроса, если бы в угоду тому или иному "систематическому" изложению отказались от постоянного сопоставления и сравнения египетского и вавилонского материалов. Этим подходом обусловлено и расположение материала в наших лекциях, о чем будет еще вкратце сказано во введении к книге,

О. Нейгебауер

 Введение

Если мы хотим более ясно представить себе механизм догреческой математики, то нам необходимо прежде всего понять внешний аппарат этой математики, т.е. ее вычислительную технику. Характерной чертой всей догреческой математики является то, что во всех доступных нам текстах она представлена не в виде общих формул или геометрических доказательств в стиле Евклида, а исключительно в виде ряда отдельных примеров па действия с числами. Поэтому уже по причинам внешнего характера необходимо заняться вавилонской и египетской вычислительной техникой: не зная ее, совершенно невозможно провести грань между методами решения задачи по существу и выполнением решения в числах. Но сверх того более тщательное изучение догреческой математики показывает, что между египетской и вавилонской математикой существовали глубокие различия, обусловленные в своих основных чертах большей или меньшей степенью овладения чисто числовыми процессами.

Одна из важнейших задач этих лекций -- показать, что основной предпосылкой для более высокого уровня вавилонской математики было полное овладение всеми проблемами числового характера; и, наоборот, то состояние, в котором находилась египетская математика, было обусловлено тем своеобразным направлением, которым шла египетская вычислительная техника в противоположность вавилонской. Поэтому изучение своеобразной вычислительной техники догреческой математики так же важно для понимания этой математики, как знакомство со своеобразной "геометрической алгеброй" для понимания, скажем, методов интегрирования Архимеда или греческой теории конических сечений. Поэтому, начиная пашу работу с освоения методов действий над числами, мы изучаем действительно основы догреческой математики.

В то время как материал первоисточников египетской математики весьма скуден, для вавилонской математики нам известно до сих пор приблизительно 200 "табличных текстов", очевидно, имеющих целью облегчить практические вычисления. Поэтому мы в наших лекциях прежде всего будем отправляться от того внешнего факта, что нам известно сравнительно большое число таких текстов; эти тексты мы будем классифицировать с точки зрения их практического назначения. Таким путем мы сможем охарактеризовать общими чертами ту основу, на которой покоилась вавилонская математика. Но уже в первой главе нам станет ясно, что значение текстов этого типа не исчерпывается понятием "вспомогательные орудия для вычислений". Мы увидим, что даже па этих простых текстах еще не стерлись следы весьма сложного исторического развития; это ставит пред нами задачу попытаться восстановить в основных чертах эту предисторию. Для этого придется подвергнуть изучению всю историю развития вавилонской системы счета и чисел. Выяснится, что для этого совершенно необходимо остановиться на истории возникновения языка математических знаков в сфере месопотамской культуры; а этот вопрос в свою очередь теснейшим образом связан с историей возникновения важнейшего для этой культуры средства общения -- клинописи. Лишь после более подробного рассмотрения этого круга вопросов можно будет перейти к истории вавилонской системы счисления в более узком смысле.

Эта система счета, как известно, имеет совершенно особенное значение: это -- по крайней мере в основных частях -- "позиционная система", как и наша, только основанием ее служит не 10, а 60. Поэтому она самым резким образом отличается от всех других способов выражения чисел в древности. Несмотря на это, мы убедимся в том, что и египетская система счисления на первых порах тесно связана с теми наглядными представлениями, из которых развилась и шестидесятеричная система. Далее, подобно тому, как вся вавилонская математика получила свой типичный облик благодаря ее удивительно удобной вычислительной технике, и египетская математика находилась под сильнейшим влиянием строения ее системы чисел и связанной с этой системой вычислительной техники. Поэтому первые четыре главы этих лекций, несмотря на все внешние различия разбираемого в них материала, тесно спаяны между собой, поскольку все они посвящены вопросу об историческом генезисе догреческих систем счисления и их использовании в математике. На долю последней, пятой, главы остается изобразить в самых общих чертах, какой характер имеет вавилонская математика, покоящаяся па этой основе.

Самый важный результат привлечения этих новых математических текстов, как я полагаю, надо видеть в следующем: они показали, что наряду с давно уже известной египетской математикой с ее характерной примитивностью и наряду с тончайшим Логическим анализом тщательно отделанной греческой математики в сфере средиземноморских культур существовал еще третий тип образования математических понятий: это -- алгебраический тип вавилонской математики. Хотя в настоящее время получается впечатление, что эта область существует как нечто совершенно замкнутое в себе, мы тем не менее убедимся, что и эта вавилонская алгебра имеет тесные исторические связи с теми стадиями развития, которые обусловили формирование математических таблиц. Мы покажем таким образом, что, констатируя алгебраический характер вавилонской математики, мы не даем еще достаточно отчетливой картины этой математики: только полное взаимопроникновение алгебраического способа выражения и вычислительной техники дают действительно верное представление об этом процессе. Мы убедимся, что именно такой подход приводит нас к постановке ряда новых проблем, причем па эти вопросы мы в ряде частностей еще вовсе не в состоянии дать сколько-нибудь удовлетворительного ответа. Эти вопросы не только помогают нам выяснить отличив от греческой математики отчетливее, чем это было возможно до сих нор; исходя из выдвинутых нами проблем, можно будет перекинуть мост к характерным методам античной вычислительной астрономии.


 Об авторе

Отто Эдуард НЕЙГЕБАУЭР (26 мая 1899 -- 19 февраля, 1990)

Выдающийся австрийский математик и историк науки. Родился в Инсбруке, в семье инженера-железнодорожника. Учился в университетах Граца и Мюнхена; в 1922--1924 гг. изучал математику в Геттингенском университете под руководством известных ученых Р.Куранта и Э.Ландау. В 1926 г. защитил докторскую диссертацию по математике Древнего Египта. С 1927 г. читал лекции по истории античной математики в Геттингенском университете одним из его студентов был будущий выдающийся историк математики Б. Ван дер Варден. С 1934 г. -- профессор математики Копенгагенского университета. В 1939 г. уехал в США, где основал кафедру истории математики в Университете Брауна. С 1969 г. работал в Институте перспективных исследований в Принстоне.

Исследования О. Нейгебауэра оказали огромное влияние на историю точных наук. Его книги и статьи содержат большое богатство оригинальных идей, остроумные реконструкции античных методов, яркие характеристики больших периодов в развитии наук, гипотезы о появлении тех или иных задач и теорий и т. д. Он много изучал историю астрономии, восстановил александрийский календарь, показал связь между астрономическими методами вавилонян и греков; им было опубликовано большое количество исторических источников. За выдающиеся научные заслуги О. Нейгебауэр был избран в состав ведущих академий мира, включая Датскую королевскую академию наук, Австрийскую академию наук и Национальную академию наук США; удостоен многих наград, в том числе премии им. Э. Бальзана (1986) и медали им. Франклина от Американского философского общества (1987).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце