| Предисловие переводчика |
| Из предисловия авторов |
| Глава I. | Существование и единственность решений |
| | § 1. | Существование решений |
| | § 2. | Единственность решений |
| | § 3. | Метод последовательных приближений |
| | § 4. | Продолжение решений |
| | § 5. | Системы дифференциальных уравнений |
| | § 6. | Уравнение порядка n |
| | § 7. | Зависимость решений от начальных данных и параметров |
| | § 8. | Комплексные системы |
| | Задачи |
| Глава II. | Существование и единственность решений (продолжение) |
| | § 1. | Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения |
| | § 2. | Уточнения теорем единственности |
| | § 3. | Единственность и последовательные приближения |
| | § 4. | Зависимость решений от начальных данных и параметров |
| | Задачи |
| Глава III. | Линейные дифференциальные уравнения |
| | § 1. | Предварительные определения и обозначения |
| | § 2. | Линейные однородные системы |
| | § 3. | Неоднородные линейные системы |
| | § 4. | Линейные системы с постоянными коэффициентами |
| | § 5. | Линейные системы с периодическими коэффициентами |
| | § 6. | Линейные дифференциальные уравнения порядка n |
| | § 7. | Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами |
| | § 8. | Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем |
| | Задачи |
| Глава IV. | Линейные системы с изолированными особенностями. Особенности первого рода |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Классификация особенностей |
| | § 3. | Формальные решения |
| | § 4. | Строение фундаментальных матриц |
| | § 5. | Уравнение порядка n |
| | § 6. | Особенности в бесконечности |
| | § 7. | Пример. Уравнение второго порядка |
| | § 8. | Метод Фробениуса |
| | Задачи |
| Глава V. | Линейные системы с изолированными особенностями. Особенности второго рода |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Формальные решения |
| | § 3. | Асимптотические ряды |
| | § 4. | Существование решений, которые имеют своими асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай |
| | § 5. | Асимптотическая природа формального решения в комплексном случае |
| | § 6. | Случай, когда матрица A0 имеет кратные характеристические корни |
| | § 7. | Иррегулярные особые точки уравнения порядка п |
| | § 8. | Интеграл Лапласа и асимптотические ряды |
| | Задачи |
| Глава VI. | Асимптотическое поведение линейных систем, содержащих большой параметр |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Формальные решения |
| | § 3. | Асимптотическое поведение решений |
| | § 4. | Случай равных характеристических корней |
| | § 5. | Уравнение порядка n |
| | Задачи |
| Глава VII. | Самосопряженные задачи на собственные значения в случае конечного интервала |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Самосопряженные задачи на собственные значения |
| | § 3. | Существование собственных значений |
| | § 4. | Теоремы разложения и полноты |
| | Задачи |
| Глава VIII. | Теоремы осцилляции и сравнения для линейных уравнений второго порядка и их приложения |
| | § 1. | Теоремы сравнения |
| | § 2. | Существование собственных значений |
| | § 3. | Периодические краевые условия |
| | § 4. | Области устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами |
| | Задачи |
| Глава IX. | Cингулярные самосопряженные краевые задачи для уравнений второго порядка |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Случаи предельной точки и предельного круга |
| | § 3. | Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в бесконечности |
| | § 4. | Случай предельного круга в бесконечности |
| | § 5. | Сингулярное поведение на обоих концах интервала |
| | Задачи |
| Глава X. | Cингулярные самосопряженные краевые задачи для уравнений порядка n |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Теорема разложения и равенство Парсеваля |
| | § 3. | Теорема обратного преобразования и единственность спектральной матрицы |
| | § 4. | Функция Грина |
| | § 5. | Представление спектральной матрицы при помощи функции Грина |
| | Задачи |
| Глава XI. | алгебраические свойства линейных краевых задач на конечном интервале |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Формула краевых форм |
| | § 3. | Однородные краевые задачи и сопряженные задачи |
| | § 4. | Неоднородные краевые задачи и функция Грина |
| | Задачи |
| Глава XII. | Несамосопряженные краевые задачи |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = – х" |
| | § 3. | Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = – х" + q(t)х |
| | § 4. | Случай уравнения порядка n |
| | § 5. | Характер разложения |
| | Задачи |
| Глава XIII. | Асимптотическое поведение нелинейных систем. Устойчивость |
| | § 1. | Асимптотическая устойчивость |
| | § 2. | Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устойчивость) |
| | § 3. | Асимптотическое поведение одной системы |
| | § 4. | Условная устойчивость |
| | § 5. | Поведение решений вне устойчивого многообразия |
| | Задачи |
| Глава XIV. | Возмущения систем, имеющих периодическое решение |
| | § 1. | Неавтономные системы |
| | § 2. | Автономные системы |
| | § 3. | Возмущение линейной системы с периодическим решением в неавтономном случае |
| | § 4. | Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль якобианом |
| | Задачи |
| Глава XV. | Теория возмущений двумерных действительных автономных систем |
| | § 1. | Двумерные линейные системы |
| | § 2. | Возмущения двумерной линейной системы |
| | § 3. | Правильные узлы и правильные фокусы |
| | § 4. | Центры |
| | § 5. | Неправильные узлы |
| | § 6. | Седла |
| | Задачи |
| Глава XVI. | Теория Пуанкаре-Бендиксона двумерных автономных систем |
| | § 1. | Предельные множества траектории |
| | § 2. | Теорема Пуанкаре-Бендиксона |
| | § 3. | Предельные множества с особыми точками |
| | § 4. | Индекс изолированной особой точки |
| | § 5. | Индекс простой особой точки |
| | Задачи |
| Глава XVII. | дифференциальные уравнения на торе |
| | § 1. | Введение |
| | § 2. | Числа вращения |
| | § 3. | Производное множество |
| | § 4. | Эргодический случай |
| | § 5. | Характеристика решений в эргодическом случае |
| | § 6. | Система двух уравнений |
| Литература |
| Указатель обозначений |
| Предметный указатель |
Книга Э.А.Коддингтона и Н.Левинсона содержит подробное
изложение разнообразных разделов теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. Наряду с традиционными разделами этой
теории, например таким и, как теоремы существования и единственности
или теория линейных систем, авторы дают довольно подробное
изложение аналитической теории дифференциальных уравнений,
теории самосопряженных краевых задач как для конечного,
так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию
несамосопряженных краевых задач.
Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII
включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвященную
линейным уравнениям.
Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена
нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, периодические
решения и теория возмущения систем, имеющих периодическое
решение, качественная теория систем второго порядка
(включая теорию Пуанкаре–Бендиксона) и, наконец, теория уравнений
на торе. Более подробное представление о содержании книги
читатель может получить из оглавления.
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет
систематическое применение в аналитической теории дифференциальных
уравнений понятия формального решения. Спектральная
теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена
независимо от теории операторов в пространстве Гильберта.
К каждой главе приложено большое число задач; при этом
наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности.
В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указаниями
авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что
решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако
авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.
Книга является хорошим введением в большое число важных
разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений
и может быть использована в качестве учебного пособия для студентов
и аспирантов физико-математических факультетов, а также
может оказаться полезной для научных работников.
Б.М.Левитан
Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит,
вероятно, больше материала, чем обычно излагается в одногодичном
курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами
авторов.
Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области практических
применений дифференциальных уравнений, так и для
математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги
необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории
функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега
используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима
лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части, относящейся
к практическим применениям, полностью покрываются
главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла
Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X
требует известного математического развития и, во всяком случае,
предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые
здесь используются. Другой подход состоит в применении теории
глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано
в доказательстве теоремы 3.1 гл.IX. Этот подход предполагает лишь
знание интеграла Римана–Стильтьеса.
Главы III–XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной
теории теоремы существования решений гл.I не необходимы.
Теорема, необходимая для гл.III, намечена в задаче 1, помещенной
в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7
гл.III. Задача 7 гл.I обеспечивает необходимые дополнительные
результаты существования для глав VII–XII.
Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих
глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих
глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит
от главы VII.
Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 – также
глава XI.
Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей
части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл.I.
Не делается никакой попытки показать историческое возникновение
теории, и в конце книги дано только ограниченное число
ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте
в тех случаях, когда они излагают новые результаты.
Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал,
не рассмотренный в тексте.
Авторы выражают благодарность коллегам и студентам, прочитавшим
отдельные части рукописи, в частности Ф.Г.Брауэру,
проф. А.Хорну и доктору Дж.Дж. Левину.
Эрл А.Коддингтон,
Норман Левинсон
