URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи
Id: 110796
 
210 руб.

Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи. Изд.2

URSS. 2010. 136 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-484-01189-6.

 Аннотация

Настоящая книга посвящена изучению псевдодифференциальных уравнений в конусах. Для исследования разрешимости модельных краевых задач для псевдодифференциальных уравнений в канонических негладких областях развит новый аналитический аппарат, связанный со специальной факторизацией эллиптических символов. Описаны корректные постановки модельных краевых задач и применения к задачам математической физики.

Книга представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, занимающихся теорией дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений, теорией операторов, уравнениями математической физики.


 Оглавление

Идеи
1 Истоки
 § 1.Конический мультипликатор
 § 2.Многомерная задача Римана и сингулярные интегральные уравнения
 § 3.Символическое исчисление
 § 4.Нетеровость
 § 5.Индекс
 § 6.Регуляризатор
2 Продвижения
 § 7.Волновая факторизация
 § 8.Псевдодифференциальные уравнения
 § 9.Задачи Дирихле и Неймана
 § 10.Общие краевые задачи
 § 11.Задачи с потенциалами
3 Приложения
 § 12.Дифракция на квадранте
 § 13.Вдавливание клиновидного штампа
4 Апробация
 § 14.Лапласиан: условия Дирихле
 § 15.Лапласиан: условия Неймана
5 Перспективы
 § 16.Эллиптические задачи и разностные уравнения
 § 17.Параболические задачи
 § 18.Другие возможности (асимптотики, статистическая механика, теория рассеяния)
Вместо послесловия
Литература

 Идеи

Идеи диссертанта, конечно, вздорны, но развиты с таким изяществом и блеском, что я принял диссертацию к защите.
Поль Ланжевен о диссертации Луи де Бройля [72]

Основным объектом исследования в этой работе будут псевдодифференциальные уравнения в конусах (точнее, б\'ольшая часть материала будет связана с двумерной ситуацией, именно, с бесконечным углом на плоскости). Такая постановка первоначальной задачи обусловлена принципом "замораживания коэффициентов" (локальным принципом). Первый термин используют специалисты по дифференциальным операторам (уравнениям) в частных производных, начиная с работ Ю.Шаудера, второй -- специалисты по сингулярным интегральным операторам (работы И.Б.Симоненко [185, 186] -- аналитический аспект, работы И.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника [71] дают "перевод" на алгебраический язык). Упомянутый принцип предписывает выявить условия обратимости специального "модельного" оператора с "замороженными коэффициентами", определенного в некоторой "канонической" области (точный смысл всех этих терминов будет разъяснен ниже). Именно с модельной краевой задачи в конусе (угле) для дифференциального оператора в частных производных было начато исследование "негладких" ситуаций. Первой работой в этом направлении была статья В.А.Кондратьева [100], в которой упомянутая эллиптическая краевая задача в конусе была путем некоторых преобразований сведена к краевой задаче с параметром lambda в области с гладкой границей, и далее применялись полученные ранее результаты М.С.Аграновича и М.И.Вишика [6]. При таком подходе возникала некая оператор-функция R(lambda) (оператор краевой задачи), полиномиально зависящая от lambda, нули которой препятствовали обратимости. Забегая несколько вперед, отмечу сразу, что в случае псевдодифференциального оператора такая функция R(lambda) имеет зависимость от lambda произвольного характера. Тем не менее, такие построения для псевдодифференциальных операторов тоже проводились (работы С.А.Назарова и Б.А.Пламеневского [148, 149, 318]).

Следующим серьезным шагом в исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений в негладких областях была работа В.Г.Мазьи и Б.А.Пламеневского [126], где для границы области допускались более сложные типы особенностей, например, граница могла содержать точки типа "ребро" и "вершина многогранного угла". Однако в таких ситуациях появлялись определенные "неприятности". Так, для нормальной разрешимости исходной краевой задачи постулировалась однозначная разрешимость некоторой краевой задачи, правда, в пространстве меньшей размерности. Автор согласен с выводами работы В.А.Кондратьева и О.А.Олейник [101], что последний постулат придает результату условный характер и что проверка условий такого типа -- весьма непростая задача. Лишь в некоторых случаях А.И.Комеч [98] доказал справедливость этого постулата для уравнения второго порядка и особенности типа "ребро коразмерности два".

Дальнейшее исследование "негладких" ситуаций как для дифференциальных, так и для псевдодифференциальных уравнений развивалось приблизительно по схеме, описанной выше: краевая задача в "канонической" негладкой области сводится к краевой задаче с параметром в области с гладкой границей и т.д. Параллельно с этим направлением интенсивно развивались алгебраические аспекты теории псевдодифференциальных операторов (краевых задач) в негладких областях. Строились алгебры псевдодифференциальных операторов на многообразиях с особенностями (Б.А.Пламеневский [161], Б.-В.Шульце [327, 238], G.Grubb [294], R.Melrose [313, 314], R.Mazzeo [309]), алгебры псевдодифференциальных краевых задач в духе работы Л.Буте де Монвеля [246] (см. также [180]), включая теорию индекса, предлагались и другие аналитические подходы, связанные с так называемыми "конормальными асимптотиками" и "разложениями Меллина" [324--326]. Я не ставил здесь своей целью написание обзора всех исследований по псевдодифференциальным операторам (краевым задачам) на многообразиях с особенностями (многообразиях с негладким краем), однако я бы хотел, чтобы читатель представил себе, сколько различных точек зрения можно иметь на одну и ту же, по сути, проблему. Поэтому, прежде чем изложить свои идеи, которые легли в основу этой моей работы, я попробую сгруппировать вышеупомянутые исследования по ключевой идее, давая каждому направлению условное обозначение.

а) Алгебраическое направление. Его придерживается большая группа математиков, работы которых содержат алгебры конкретных (чаще всего сингулярных интегральных) операторов, построенные на алгебраическом варианте локального принципа И.Ц.Гохберга -- Н.Я.Крупника [71]. Здесь, в первую очередь, следует отметить работы Н.Л.Василевского [35--38] и Р.В.Дудучавы [282, 283], исследования которых по проблематике наиболее близки к моей работе. Более того, одна из алгебр, построенных Н.Л.Василевским, содержит операторы Гахова (см. ниже §1), однако они "затерялись в толпе остальных операторов".

а1"Идеалистическое" направление. Это направление возникло в недрах алгебраического, и такой точки зрения придерживается большая группа математиков, осознавшая неизбежность усложнения алгебр рассматриваемых операторов и преодолевающая трудности алгебраическими методами, примененными последовательно несколько раз. Наиболее яркие представители: H.-O.Cordes [265--258], R.Douglas и R.Howe [279], А.С.Дынин (A.Dynin) [284--286], H.Upmeier [336--338]. Говоря об "идеализме", я имею в виду прежде всего концепцию разрешимых C*-алгебр, выдвинутую Александром Дыниным [284]. По Дынину, нужно найти цепочку идеалов C*-алгебры U

0= T0 subset T1 subset ... subset TN+1 = U,

обладающую специфическими свойствами (подробности в [284]), и проводить регуляризацию последовательно, по модулю операторов следующего (меньшего) идеала. Кроме того, Дынин определил так называемый j-индекс оператора (он, между прочим, K-значный; топологическая формула для j-индекса была получена в [337]). Далее были рассмотрены конкретные приложения этой теории. Многомерные операторы Винера--Хопфа -- результат Р.Дугласа и Р.Хоу -- был уложен в описанную схему (кратко напомню: оператор Винера--Хопфа в гипероктанте нетеров, если обратимы какие-то другие операторы, подобные ему, но действующие в пространстве меньшей размерности). Что же касается операторов Кальдерона--Зигмунда, то вряд ли "идеализм" здесь уместен -- давно имеются четкие и эффективные критерии нетеровости таких операторов (см. И.Б.Симоненко [186]). На многообразиях с особенностями для операторов Кальдерона--Зигмунда эти идеи Дынин не апробировал, и я позволил себе немножко "поидеализировать", правда, со своей точки зрения, при доказательстве теоремы об индексе [50], когда занимался "эллиптической хирургией" и вводил виртуальные операторы. Кстати, В.А.Малышев [131] почему-то считает, что Дынин основывался на работе Г.Р.Аллана [234], хотя, на мой взгляд, чтобы выдвинуть подобную теорию, вполне достаточно знания работ Х.-О.Кордеса [265] (с возникающими двухсимвольными гомоморфизмами) и Р.Дугласа с Р.Хоу [279].

б) Аналитическое направление. Историю аналитических исследований, на мой взгляд, уместнее всего начать с упомянутой выше работы В.А.Кондратьева [100], где рассматривались краевые задачи для дифференциальных уравнений в областях с углами и ребрами (см. также более поздний обзор [101]). Сразу же следом В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневский публикуют большой цикл статей на эту тему (см., в частности, [126]). Если проследить за работами Бориса Пламеневского последних лет, то можно сказать, что этот цикл продолжается аж по сегодняшний день [148, 149, 161--165, 318] (только в "псевдодифференциальном" контексте и с заменой В.Г.Мазьи на С.А.Назарова). Основной принцип "аналитиков" -- сведение "модельной" краевой задачи в конусе путем преобразования Меллина к краевой же задаче с параметром в гладкой области. При этом возникает некая полумифическая оператор-функция, нули которой "препятствуют" обратимости. Успехи аналитиков так же эфемерны, как и успехи идеалистов; лишь в некоторых частных случаях А.И.Комеч [98] убедился в том, что ядро и коядро оператора вспомогательной задачи являются нулевыми. Как поступать в общем случае, остается загадкой.

Серьезные аналитические исследования в негладких ситуациях были выполнены Б.-В.Шульце и Ш.Ремпелем. Эти авторы прежде всего знамениты тем, что детально прокомментировали работу Луи Буте де Монвеля (содержащую 40 страниц печатного текста) на 400 страницах "Теории индекса эллиптических краевых задач" [180], восполнив с немецкой аккуратностью все пробелы в работе француза. Затем у них появились "конормальные" асимптотики, и Берт--Вольфганг Шульце принялся за работу в негладких ситуациях [324--326] (судьба Штефана Ремпеля мне неизвестна). Конечно, здесь следует упомянуть и работы Г.И.Эскина (G.Eskin) [280, 290], -- ведь асимптотики решений сначала появились у него в гладких ситуациях. Особо хотелось бы отметить его работу с волновым уравнением в угле (Common. Part. Differ. Equat., 1992, V.17. 99--160), где, как выразился Л.Р.Волевич, "эллиптические методы работают в гиперболической ситуации" (см. также S.Osher [322]).

90-е годы принесли аналитикам еще несколько вариантов работы в негладких ситуациях; отмечу здесь работы [287, 305, 309, 313, 314, 327, 328].

в) Абстрактное направление. Первые абстрактные теории (индекса) для операторных алгебр, навеянные, как мне кажется, "эмпирическими" успехами "алгебраистов" в сингулярных интегралах, начали появляться с 60-х годов (см., например, М.Броер -- Х.-О.Кордес [249]) и вылились в топологическую теорию операторных алгебр [276, 277]. Конечно, я не имею в виду те направления, которые ведут начало от работ, скажем, Джона фон Неймана, а только те аспекты, которые связаны с каким-либо символическим исчислением и (или) теорией индекса. Хотя, разумеется, все это тесно переплетается. Наиболее яркие результаты абстрактного направления принадлежат Аллену Конну [264] и Г.Каспарову [94] (это не чемпион мира по шахматам). Однако методы "абстракционистов" не дают эффективных результатов в более "заземленной" области, что, впрочем, вполне естественно. Упомяну еще две серьезные работы, выписанные в духе "абстракционизма" [278, 300].

г) Прикладное направление. К этой категории я отношу работы авторов, которые либо рассматривают специальные виды операторов на компактных многообразиях с особенностями, либо конкретные прикладные задачи, приводящие к появлению опять-таки конкретных операторов на многообразиях с особенностями. Я хорошо знаком с работами миннеаполисской группы (недавно скончавшийся Юджин Фейбс и Ko [272, 291, 292, 304, 342]; Бьёрн Дальберг -- "варяг", увы, тоже недавно скончавшийся), с "немецкой классической философией" Э.Майстер [310--312], Ф.-О.Шпек [334], М.Костабел [269--271], Э.Стефан [343] и др.). Наконец, в 90-е годы появились работы Роберта Сили и Йоханна Брюнинга [250--252], Григория Эскина [289, 290], Моник Дож [273, 274], Пьера Грисвара [293] и многих других.

Миннеаполисская группа работает с идеями "старой доброй" теории потенциала, но очень современными методами (теоремы А.Кальдерона -- Г.Давида [275]). Локальный принцип там не используется -- изучаются лишь свойства потенциалов простого и двойного слоя (Lp-ограниченность) с последующим применением к задачам математической физики. Немцы предпочитают преобразование Фурье с методом Винера--Хопфа в частных прикладных задачах и локальный принцип в теоретических. Третья большая группа, упомянутая мной, -- это приверженцы аналитического направления, работающие в специальных ситуациях. Некоторое исключение -- тандем Й.Брюннинг -- Р.Сили, -- здесь присутствуют идеи и методы как аналитиков, так и представителей абстрактного направления, хотя оператор рассматривается специальный ("регулярно сингулярный" в их терминологии).

д) Геометрическое направление. Здесь я буду совсем краток, и укажу лишь на работы Джеффа Чигера [259], Михаила Громова и Вернера Мюллера.

Более конкретно, в их работах речь идет о "спектральной геометрии на (римановых) многообразиях с особенностями" (одна из работ Дж.Чигера почти так и называется). Поскольку на многообразия нужно "посадить" какие-то операторы, то в своих исследованиях геометры продвигаются настолько далеко, насколько им позволяют аналитики.

Наконец, перед тем, как переходить к изложению своих идей, мне бы хотелось отметить тезисы докладов участников двух школ в Обервольфахе 1986 и 1987 гг. [288, 344], связанных с моими исследованиями, при этом пересечений нет (разумеется, исключая тему исследования). Меня очень заинтересовали, в частности, таинственные "пролегомены" Александра Дынина к изучению краевых задач, однако в последующих его публикациях я не нашел ключ к раскрытию тайны. Свое понимание этих пролегомен я изложу ниже.

е) Мои идеи. Пожалуй, только одна (но ключевая) идея заслуживает здесь упоминания. Это -- концепция волновой факторизации символа эллиптического псевдодифференциального оператора. Идея не новая, она уже всплывала в 60-е годы в работах В.С.Владимирова [58, 59] для решения многомерной задачи линейного сопряжения (многомерного аналога краевой задачи Римана). Увы, это не произвело никакого впечатления на математическую общественность и не имело никакого продолжения. Впрочем, то многомерное (их много!) обобщение, которое предлагал В.С.Владимиров, действительно трудно было где-либо применить. Вторая моя идея (вернее, она первая по счету) -- взять за основу другое многомерное обобщение классической краевой задачи Римана, где не оставалось бы "пустых" мест, как в постановке В.С.Владимирова (см. ниже). В этой связи большую роль играют операторы Гахова, которые представляют собой многомерное обобщение (еще одно!) преобразования Гильберта и играют ключевую роль в построении точных решений задач, брошенных "аналитиками" на произвол судьбы. Методы, предлагаемые мной, почти не отличаются от использованных Ф.Д.Гаховым для решения классической (одномерной) задачи Римана и позволяют не только убедиться в ряде случаев в нульмерности ядра и коядра рассматриваемой задачи, но и выписать общее решение, если (ко)ядро нетривиально. Все это приводит к плавному переходу от теории М.И.Вишика -- Г.И.Эскина к моей теории (или, если угодно, к пролегоменам) краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений в негладких областях, подробный эскиз которой я набросал во второй главе.

Несколько слов мне хотелось бы сказать о списке литературы, помещенном в конце статьи. Ни одна из перечисленных работ прямого отношения к материалу этой статьи не имеет (разумеется, исключая мои собственные работы), однако все они в совокупности оказали какое-то (порой непостижимое) влияние на все то, о чем будет рассказано ниже. Конечно же, большинство из этих работ связано с псевдодифференциальными операторами (или соответствующими уравнениями и краевыми задачами) на многообразиях с особенностями.

И последнее. В издательстве Kluwer Academic Publishers вышла моя книга "Wave factorization of elliptic symbols: theory and applications", которая содержит подробное изложение моих идей и результатов, связанных с волновой факторизацией.

Поскольку эта книга будет малодоступна российскому читателю, то специально для него я пишу эту обзорную статью.

Благодарности. Я очень признателен организациям, которые оказывали мне финансовую поддержку в течение ряда лет: Российскому фонду фундаментальных исследований (гранты 96--01--01698 и 99--01--00780), Конкурсному центру по исследованиям в области математики при Новосибирском государственном университете и Конкурсному центру по исследованиям в области фундаментального естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете (гранты 97--0--1.6--61 и E02--1.0--161). Я признателен также моему коллеге Владимиру Николаеву за его поддержку и подготовку компьютерного варианта рукописи.


 Об авторе

Владимир Борисович Васильев

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информационных технологий Брянского государственного университета им. акад. И.Г.Петровского. Родился, учился и работал в Баку, затем в Великом Новгороде. Автор около 70 научных работ, связанных с вопросами анализа и дифференциальных уравнений с частными производными. В их число входит монография "Wave factorization of elliptic symbols: theory and applications" (Dordrecht--Boston--London, 2000).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце