Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику:
ХАОС И ФРАКТАЛЫ. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие
Глава 1.	Фракталы
	1.1.	Фрактальная геометрия природы
	1.2.	Длина береговой линии
	1.3.	Фрактальные размерности множеств
	1.4.	Регулярные самоподобные фракталы
		1.4.1.	Множество Кантора
		1.4.2.	Снежинка Коха
		1.4.3.	Салфетка Серпинского
		1.4.4.	Губка Мегнера
		1.4.5.	Еще одно определение фрактала
		1.4.6.	Кривые Пеано
		1.4.7.	Функция Вейерштрасса
	1.5.	Итерации линейных систем
		1.5.1.	Детерминированный алгоритм
		1.5.2.	Метод случайных итераций
		1.5.3.	Расширение возможностей
		1.5.4.	Лист папоротника
	1.6.	Нелинейные комплексные отображения
		1.6.1.	Неподвижные точки. Циклы. Аттракторы
		1.6.2.	Множество Жюлиа квадратичного отображения
		1.6.3.	Множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа
		1.6.4.	Множество Жюлиа и хаос
		1.6.5.	Итерации Ньютона
Глава 2.	Детерминированный хаос
	2.1.	Линейные и нелинейные математические модели
	2.2.	Что такое динамическая система?
	2.3.	Фазовое пространство динамической системы
	2.4.	Фазовый портрет колебательной системы с одной степенью свободы
		2.4.1.	Консервативный осциллятор
		2.4.2.	Линейный осциллятор с затуханием
	2.5.	Линейный анализ устойчивости
	2.6.	Изменение фазового объема
	2.7.	Предельные циклы
	2.8.	Характеристические показатели Ляпунова
	2.9.	Структурная устойчивость и бифуркации динамических систем
		2.9.1.	Бифуркации состояний равновесия
		2.9.2.	Бифуркации периодических решений
	2.10.	Сечение Пуанкаре
	2.11.	Нелинейные системы с дискретным временем
		2.11.1.	Логистическое отображение
		2.11.2.	Бифуркационная диаграмма логистического отображения
		2.11.3.	Два фундаментальных свойства отображения, определяющих состояние хаоса в системе
		2.11.4.	Переход к хаосу через перемежаемость
	2.12.	Странный аттрактор в диссипативной нелинейной системе
	2.13.	Примеры хаоса в диссипативных динамических системах
		2.13.1.	Система Лоренца
		2.13.2.	Система Ресслера
		2.13.3.	Система Эно
		2.13.4.	Нелинейный осциллятор при гармоническом внешнем воздействии
	2.14.	Физические эксперименты с хаотическими системами
		2.14.1.	Нелинейный электрический контур при гармоническом внешнем воздействии
		2.14.2.	Электронный генератор Чуа
		2.14.3.	Подтекающий водопроводный кран
		2.14.4.	Явление детерминированного хаоса в самодуальных средах
Заключение
Список литературы  Предисловие

С древних времен считалось, что умение предсказывать – удел мудрецов, и вместе с тем, предвидение – это одна из основных целей науки. Развитие математики существенно расширило возможности исследователей в проведении научного прогноза. Оказалось, например, что движение небесных тел можно рассчитывать, решая дифференциальные уравнения, которые могут быть достаточно сложными, и для их решения нужно будет приложить немало усилий. Такая работа увлекла ученых на многие годы и, казалось, единственным препятствием будут чисто математические трудности, которые со временем преодолеются.

Однако с развитием науки возникло понимание того, что нельзя сделать, какие цели не стоят перед научным исследованием. Так, с появлением термодинамики стало понятно, почему никогда не построят вечный двигатель. Квантовая механика показала, что мы принципиально лишены возможности измерить с заранее заданной точностью одновременно координату и импульс элементарной частицы. На множество непреодолимых барьеров указала теория относительности. По сути, понимание новых ограничений стало признаком фундаментальных теорий.

В этом ряду важное место занимают работы последних лет, связанные с предсказуемостью. Стимулом к таким исследованиям послужила работа американского метеоролога Э.Лоренца, опубликованная в 1963 г. Лоренц поставил перед собой вопрос: почему при наличии мощных ЭВМ нельзя дать надежный, достаточно долгосрочный прогноз погоды. Он предложил простую модель, которая описывала динамику атмосферы, просчитал ее на ЭВМ и, получив результат, не отмахнулся от него как от ошибки вычислений, а отнесся очень серьезно. Этот результат – возникновение хаотических, напоминающих случайные, колебаний. При этом модель Лоренца была детерминированной, т.е. в уравнениях ее динамики полностью отсутствовали случайные параметры.

Таким образом, в системе, где будущее однозначно определяется прошлым, Лоренц обнаружил конечный горизонт прогноза. Это явление получило название детерминированного (динамического) хаоса. Вслед за работой Лоренца начались интенсивные исследования данного явления. Оказалось, что хаотическим колебаниям (явлениям), которые возникают согласно регулярным законам, присущ не "бесформенный" хаос, а хаос со скрытым порядком. Этот порядок связан с понятием фрактальной структуры. И хотя в математике подобные конструкции в той или иной форме появлялись более ста лет назад, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы XX века.

Как свидетельство этих перемен процитируем торжественное заявление, с которым выступил в 1986 г. всемирно известный английский гидромеханик сэр Дж.Лайтхилл, бывший в то время президентом Международного союза теоретической и прикладной механики: "Тут я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается механикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными."

Динамический хаос и фрактальные структуры свойственны не только, как казалось бы на первый взгляд, физическим нелинейным системам. В настоящее время фракталам и хаосу посвящено много книг и обзоров, большое число статей опубликовано в ведущих научных журналах мира по математике, физике, химии, биологии, астрономии, экономике и других. Особо следует отметить тот факт, что явление детерминированного хаоса было обнаружено в системах с малым числом степеней свободы. Сказанное таит в себе богатые возможности с точки зрения образовательного аспекта, поэтому, будучи солидарными с французским исследователем И.Помо [9, с.301], мы считаем очень желательным включение этих понятий в программу высшей школы.

При формировании структуры книги авторы старались реализовать традиционную последовательность образования. Поэтому в книге приведены основные сведения о фракталах, фазовом пространстве, характеристических показателях Ляпунова, линейном анализе устойчивости и других понятиях, которые являются теми аппаратными средствами, с помощью которых проводится исследование хаотической динамики.

Говоря о математических средствах в свете последовательного изложения материала книги, нужно особо выделить роль геометрических представлений. Использование понятий линии, вектора, кривых различных типов позволяет придать достаточно важную форму наглядности многим результатам физических теорий. В историческом аспекте следует отметить, что развитие физических представлений о природе в значительной мере основывалось на привлечении и использовании фундаментальных геометрических идей. Именно поэтому в предлагаемой книге при исследовании динамики систем геометрические представления и понятия занимают центральное место.

В первой главе даны основные понятия о фракталах, при этом авторы руководствовались замечательными книгами Е.Федера [42], Х.-О.Пайтгена и П.Х.Рихтера [34], С.В.Божокина и Д.А.Паршина [10]. Материал изложен намного шире, чем того требует последующий анализ хаотических режимов. Здесь рассмотрена целая серия геометрических объектов, обладающих фрактальными свойствами, рассказано о двух группах алгоритмов, с помощью которых возможно создание большого числа фрактальных изображений. В целом первая глава вполне самостоятельна и, по сути, вводит читателя в мир красочных фрактальных образов.

Во второй главе, после изложения необходимых аппаратных средств, о которых говорилось выше, исследуется ряд систем, обладающих хаотической динамикой. Среди разнообразия таких систем, рассмотрены, пожалуй, самые известные. Вместе с тем эти системы достаточно просты и позволяют проведение детального анализа, приемлемого на начальном этапе изучения. Далее, описаны физические эксперименты, в ходе которых наблюдались хаотические режимы исследуемых устройств. В последнем параграфе рассказано о так называемых самодуальных средах, некоторые свойства которых определяются наличием элементов детерминированного хаоса. Следует особо отметить, что большинство вычислительных и экспериментальных исследований, которые здесь приведены, могут быть легко повторены и развиты читателем. Это позволит ему убедиться в существовании описанных удивительных явлений и почувствовать себя первооткрывателем. Авторы согласны с американским физиком Л.Чуа [46, с.4], который заметил, что любого, кто увидит хаотическую систему в действии, увлечет если не ее красота, то ее необычность.

В конце книги приведен список литературы. Мы ограничились лишь некоторыми относительно доступными работами. Уровень изложения в них различен: от популярных статей до глубоких монографий.

Представленный в данной книге материал является основой спецкурса, читаемого одним из авторов на физико-математическом факультете НТУУ "КПИ".

Об авторах

Гринченко Виктор Тимофеевич

Академик Национальной академии наук Украины, заслуженный деятель науки и техники Украины, лауреат Государственной премии УССР в области науки и техники, директор Института гидромеханики НАНУ. Научные интересы: волновые процессы в упругих телах и жидкостях, генерация звука потоками, взаимодействие электрических и механических полей в средах с пьезоэффектом, эффекты детерминированного хаоса в стоксовых течениях жидкости.

Мацыпура Владимир Тимофеевич

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. Научные интересы: волновые процессы, фракталы, детерминированный хаос.

Снарский Андрей Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики Национального технического университета Украины «КПИ». Научные интересы: теория протекания, кинетические явления в случайно-неоднородных средах, термоэлектричество, фракталы, детерминированный хаос, теория сложных сетей.