URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. Пер. с англ.
Id: 109996
 
449 руб.

Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. Пер. с англ. Изд.3

URSS. 2010. 448 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-484-01132-2.

 Аннотация

Настоящая книга, написанная известным американским математиком Д.Пойа, посвящена методологии математики, вопросу о том, как возникают новые математические идеи. "Математическое открытие" --- этими словами автор характеризует получение любого (сколь угодно скромного!) математического результата, например, просто решение задачи. В книге не только содержится анализ самого процесса решения задачи (процесса "математического открытия"), но и немало места занимают прямые методические рекомендации; это вызвано тем, что процесс решения задач анализируется в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно увязаны два вопроса: "Как это решить?" и "Как научить это решать?". Основное внимание уделено задачам школьного уровня, и лишь в редких эпизодах изложение отклоняется в область высшей математики. Каждую главу сопровождают упражнения и дополнительные замечания к ним, дающие более широкое толкование вопроса.

Книга является ценным пособием для учителей математики средних школ и преподавателей педагогических институтов. Она также будет полезна студентам-математикам младших курсов, увлекающимся математикой школьникам-старшеклассникам и вообще всем любителям этой древней и мудрой науки.


 Оглавление

От редактора
Из предисловия автора
Советы и указания
Советы учителям и учителям учителей

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ  

Глава 1. Метод двух геометрических мест
 § 1.Геометрические построения
 § 2.От примера к методу
 § 3.Примеры
 § 4.Предположим, что задача решена
 § 5.Метод подобия
 § 6.Примеры
 § 7.Метод вспомогательных фигур
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1--54)
  [7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.]
Глава 2. Метод Декарта
 § 1.Декарт и его идея об универсальном методе
 § 2.Задачка
 § 3.Составление уравнений
 § 4.Школьные задачи
 § 5.Геометрические примеры
 § 6.Пример из физики
 § 7.Пример из области головоломок
 § 8.Озадачивающие примеры
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1--87: Раздел 1, 1--16; Раздел 2, 17--87)
  [10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87. Дополнительные задачи.]
Глава 3. Рекурсия
 § 1.История одного маленького открытия
 § 2.Дар небес
 § 3.И все же оно заслуживает внимания
 § 4.Рекурсия
 § 5.Абракадабра
 § 6.Треугольник Паскаля
 § 7.Математическая индукция
 § 8.В поисках новых подходов
 § 9.Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1--100: Раздел 1, 1--22; Раздел 2, 23--31; Раздел 3, 32--59; Раздел 4, 60--100)
  [2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа Сrn. 76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе pi. 100. Другие задачи.]
Глава 4. Суперпозиция
 § 1.Интерполяция
 § 2.Частный случай
 § 3.Решение общей задачи комбинированием частных решений
 § 4.Метод суперпозиции
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1--37: Раздел 1, 1--17; Раздел 2, 18--37)
  [11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.]

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ  

Глава 5. О задачах
 § 1.Что такое задача?
 § 2.Классификация задач
 § 3.Задачи на нахождение
 § 4.Задачи на доказательство
 § 5.Компоненты неизвестного, пункты условия
 § 6.Ищем соответствующую процедуру
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1--20)
  [8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.]
Глава 6. Расширение области применения метода
 § 1.Расширение области применения метода Декарта
 § 2.Расширение области применения метода двух геометрических мест
 § 3.С какого пункта условия следует начинать
 § 4.Расширение области применения рекурсии
 § 5.Последовательный охват неизвестных
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1--27)
  [1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.]
Глава 7. Геометрическое представление процесса решения
 § 1.Метафоры
 § 2.Что такое задача?
 § 3.Есть идея!
 § 4.Развитие идеи
 § 5.Оформление решения
 § 6.Замедленные кинокадры
 § 7.Коротко о дальнейшем
 § 8.План и программа
 § 9.Задачи внутри задач
 § 10.Зарождение идеи
 § 11.Умственная работа
 § 12.Дисциплина ума
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1--6)
  [1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.]
Глава 8. План и программа
 § 1.Составление плана как метод решения задачи
 § 2.Более общий метод
 § 3.Программа
 § 4.Выбор между несколькими планами
 § 5.План и программа
 § 6.Метод и план
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1--8)
  [1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.]
Глава 9. Задачи внутри задач
 § 1.Вспомогательные задачи
 § 2.Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция
 § 3.Цепочки эквивалентных задач
 § 4.Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция
 § 5.Косвенные вспомогательные задачи
 § 6.Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1 --16)
  [1. Надежные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3. Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. Л что если неудача? 16. Другие задачи.]
Глава 10. Зарождение идеи
 § 1.Проблеск света
 § 2.Пример
 § 3.Характерные черты полезной идеи
 § 4.Зависимость идеи от случая
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1--2)
  [1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.]
Глава 11. Умственная работа
 § 1.Как мы думаем
 § 2.Стремление решить задачу
 § 3.Направленность мышления
 § 4.Близость решения
 § 5.Предвидение
 § 6.Область поисков
 § 7.Промежуточные решения
 § 8.Мобилизация и организация
 § 9.Распознавание и вспоминание
 § 10.Пополнение и перегруппировка
 § 11.Изоляция и комбинация
 § 12.Диаграмма
 § 13.Часть подсказывает целое
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1--11)
  [1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11. Мыши и люди.]
Глава 12. Дисциплина ума
 § 1.Как надо думать
 § 2.Концентрация внимания на цели
 § 3.Оценка перспектив
 § 4.Блуждания: поиски подхода
 § 5.Блуждания: может быть, есть более обнадеживающий аспект задачи?
 § 6.Блуждания: поиски полезных сведений
 § 7.Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить?
 § 8.Искусство ставить вопросы
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1--16)
  [1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 7. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.]
Глава 13. Законы открытия?
 § 1.Правила бывают разными
 § 2.Рациональность
 § 3.Экономия, но без предвзятости
 § 4.Настойчивость, но и гибкость
 § 5.Правила предпочтения
 § 6.Части задачи
 § 7.Полезные сведения
 § 8.Вспомогательные задачи
 § 9.Резюме
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1--3)
  [1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах. 3. Стиль работы.]
Глава 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию
 § 1.Преподавание -- не наука
 § 2.Цель обучения
 § 3.Преподавание -- это искусство
 § 4.Три принципа изучения
 § 5.Три принципа обучения
 § 6.Примеры
 § 7.Как учить преподаванию
 § 8.Позиция учителя
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1--29: Раздел 1, 1--5; Раздел 2, 6--29)
  [2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях, правила Цермело. 29. Эпилог.]
Глава 15. Догадка и научный метод
 § 1.Научно-исследовательская работа на уровне средней школы
 § 2.Пример
 § 3.Обсуждение
 § 4.Еще один пример
 § 5.Графическое представление индуктивного рассуждения
 § 6.Один пример из истории
 § 7.Научный метод: догадывайтесь и испытывайте
 § 8.О некоторых чертах задач "научно-исследовательского характера"
 § 9.Выводы
 Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (1--58: Раздел 1, 1--21; Раздел 2, 22--41; Раздел 3, 42--58)
  [24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований 25. Буриданов осел 40. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике, или "Природа не смеет быть непредсказуемой". 41. n точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Еще одно задание исследовательского характера. 58. Предположение и факт.]
Решения упражнений
Библиография
Указатель

 От редактора

Имя выдающегося математика и педагога Дж. Пойа хорошо известно специалистам-математикам по многочисленным (и весьма разнообразным по тематике) научным работам, а также по (совместным с Г. Г. Харди, Дж. Литтльвудом и Г. Сегё) монографиям "Неравенства" и "Изопериметрические неравенства в математической физике", переведенным также и на русский язык. Однако наибольшей популярностью в среде любителей математики пользуются его двухтомные "Задачи и теоремы из анализа" [12] (совместно с Г. Сегё), а также более поздние по времени написания книги "Как решать задачу" [13] и "Математика и правдоподобные рассуждения" [14]; все эти сочинения тесно связаны с "Математическим открытием", в связи с чем о них здесь следует сказать подробнее.

Я боюсь, что в настоящее время, столь богатое книгами по математике, рассчитанными на разные категории читателей, написанные более 45 лет назад "Задачи и теоремы из анализа" несколько утратили в глазах начинающих математиков свой былой блеск: их тематика кое-кому может показаться устаревшей (как будто может устареть классический анализ!), а форма -- во всяком случае не поражающей воображение (ибо влияние книги [12] на всю последующую литературу привело к появлению и других сборников задач, построенных по тому же плану, ни один из которых, впрочем, нельзя сравнить с основополагающей книгой [12] по широте охвата материала и тщательности исполнения). Однако лет 30 тому назад эта книга не имела конкурентов -- и кто знает, скольких ученых породил этот задачник, где отдельные группы задач своей последовательностью и внутренними связями имитировали научное исследование, так что работа над ними вполне могла служить трамплином в область самостоятельного творчества.

Книга [12] доказала серьезный интерес ее авторов к сущности процесса научно-исследовательской работы -- и устойчивость этого интереса Дж. Пойа доказал появившимися в послевоенные годы книгами [13] и [14]. В русской и мировой литературе имеется немало книг по методике математики, книг, посвященных процессу преподавания. Гораздо более редкими являются сочинения по методологии математики в узком понимании этого термина, т. е. книги, анализирующие процесс математического творчества: ведь написать такую книгу способен лишь большой ученый -- а ученого, как правило, больше интересуют сами новые теоремы, чем вопрос о том, как он к ним пришел. И во всей мировой общенаучной и математической литературе можно указать лишь весьма мало книг, сопоставимых с сочинениями [13] и [14]; особенно хочется обратить внимание читателей на книгу [14], равных которой по тонкости анализа и увлекательности изложения сыскать нелегко.

Сходный характер имеет и настоящая книга. "Математическое открытие" -- этими словами Дж. Пойа характеризует получение любого (сколь угодно скромного!) математического результата, например, просто решение задачи -- также в первую очередь посвящено методологии математики, вопросу о том, как возникают новые математические идеи; с этой точки зрения центральной в книге, видимо, надо считать гл.7, содержащую анализ самого процесса решения задачи (процесса "математического открытия"). Однако в противоположность ранее упомянутым книгам, в этом сочинении, в значительной части адресованном учителям математики и "учителям учителей" (методистам и преподавателям педагогических учебных заведений), немало места занимают и прямые методические рекомендации (особенно частые в трех заключительных главах книги); это связано с тем, что процесс решения задач автор анализирует в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно увязаны два вопроса: "Как это решить?" и "Как научить это решать?". Последнее обстоятельство делает книгу ценным пособием для учителя математики в средней школе и для преподавателя педагогического института. Учитывая интересы преподавателей средних школ, Дж. Пойа в этой книге (в противоположность, скажем, "Математике и правдоподобным рассуждениям" или, тем более, "Задачам и теоремам из анализа") основное внимание уделяет задачам школьного уровня, отклоняясь в область "высшей математики" лишь в редких эпизодах (выделяемых с помощью специальной системы обозначений), пропуск которых не отразится на понимании всего остального содержания книги. Наряду с этим "Математическое открытие" очень хочется рекомендовать студентам-математикам младших курсов, увлекающимся математикой школьникам-старшеклассникам и вообще всем любителям нашей древней и мудрой науки.

Специально следует сказать о сопровождающих каждую главу Упражнениях и дополнительных замечаниях. Следуя автору, мы печатаем эти разделы книги мелким шрифтом (система, сознательно не выдержанная в русском издании книги [14]); таким образом, петитом напечатано больше половины всего объема книги. Хочется только подчеркнуть, что употребление мелкого шрифта в этом случае отнюдь не преследует своей целью призыв считать напечатанный петитом текст второстепенным и могущим быть опущенным -- оно лишь подчеркивает членение всего объема книги на две разные по характеру (но равноправные по важности!) части. ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ ПЛАВАТЬ, ТО СМЕЛО ВХОДИТЕ В ВОДУ, А ЕСЛИ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ, ТО РЕШАЙТЕ ИХ -- этот совет автора (см. стр.13) хочется особенно подчеркнуть: никакие рассуждения и теории не помогут вам так, как собственный опыт, и одна самостоятельно решенная задача даст больше двадцати других, решение которых вы узнали от друзей или прочитали в книге. По-настоящему овладеть изложенными здесь идеями можно лишь перерешав большую часть собранных в книге задач (которые опытный преподаватель Пойа перемежает замечаниями общего характера или просто анекдотами -- опасность задремать за книгой читателю не угрожает!), после чего можно перейти к другим сочинениям по математике, например к книгам [12] и (14] автора.

Скажем еще несколько слов о лежащей перед вами книге. В английском оригинале она вышла в свет двумя отдельными томами в 1962 и 1965 гг.; в 1968 г. второй том был переиздан с незначительными исправлениями и с Дополнением (Appendix), содержащим 35 новых задач, которые в переводе, следуя желанию автора, размещены на подходящих местах в тексте всех 15 глав. В настоящем издании исправлены также немногочисленные опечатки и мелкие ошибки английского издания, часть которых была указана нам автором, и учтены некоторые другие предложения Дж. Пойа, которого мне приятно поблагодарить за внимание к русскому изданию его книги. Наконец, нами несколько пополнен список рекомендуемой литературы (в основном в части, где перечисляются несколько сборников задач; номера добавленных книг и статей помечены звездочками); кроме того, в книгу включено Предисловие к знаменитому сочинению [12] автора и Г. Сегё и кое-где добавлены немногочисленные подстрочные примечания переводчика и редактора, отмеченные звездочками в отличие от нумерованных сносок автора. Второстепенные и часто очевидные отступления от авторского текста (замена указываемых автором книг их русскими переводами, ссылки на русский язык вместо английского или замена фигурирующего в гл.6 кроссворда другим, составленным по той же схеме и сохраняющим шутливый стиль автора, но включающим русские, а не английские слова) обычно не оговариваются; заметим только, что к их числу относятся также немногочисленные замены и пропуски в тех местах, где автор слишком явно апеллирует к опыту американской средней и высшей школы (например, ссылается на наглядные пособия, незнакомые русскому читателю). Для понимания некоторых мест книги следует еще отметить, что американская средняя школа насчитывает 12 классов -- от 1-го до 12-го, -- в течение которых учащиеся изучают курс математики, по объему довольно близкий к тому, который проходят школьники в нашей стране (точное сопоставление затрудняется тем, что американская школа не знает общеобязательной программы и стабильных учебников и что даже в пределах одной школы или одного класса учащиеся могут по собственному желанию выбирать разные наборы учебных предметов).

В заключение мне хочется прибавить несколько слов более личного характера. Называя в своей книге составленный при участии автора настоящих строк сборник задач [31], Дж. Пойа указывает присвоенное этой книге американскими переводчиками название "The USSR Olympiad Problem Book" (буквально -- "Советская Олимпиадная Задачная Книга"), видимо, не подозревая, что русское ее название "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" не случайно близко к названию перевода книги [12], причем прилагательное "избранные" было прибавлено составителями после некоторой дискуссии специально для того, чтобы не копировать слишком дословно название сборника Г. Полна и Г. Сегё (это казалось нам непозволительной дерзостью). Мы всегда будем считать Дж. Пойа и Г. Сегё своими учителями, во многом определившими наши взгляды на преподавание математики. И я всегда буду хранить присланный мне автором экземпляр "Математического открытия" с шутливой дарственной надписью "от брата по оружию", ибо хорошо отдаю себе отчет в том, какую роль сыграли "Задачи и теоремы из анализа" в сложившемся под их непосредственным влиянием моем мировоззрении преподавателя математики. Хочется верить, что и влияние книг "Как решать задачу", "Математика и правдоподобные рассуждения", "Математическое открытие" на новое поколение математиков-педагогов будет не меньшим того, которое имела в 30-х и 40-х годах старая и вечно молодая книга [12] замечательных ученых и преподавателей Г. Полна (Дж. Пойа) и Г. Сегё.

И. М. Яглом
Москва, январь, 1969

 Из предисловия автора

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть --
и далее подтвердить это,что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц, Opuscules, стр.161 (см. [4]).

1. Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия,- это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной. Решение задач является специфической особенностью интеллекта, а интеллект -- это особый дар человека; поэтому решение задач может рассматриваться как одно из самых характерных проявлений человеческой деятельности. Цель настоящей книги состоит в том, чтобы разобраться в характере этой деятельности, найти средства для развития соответствующих способностей читателя и, в конечном счете, научить его лучше решать задачи.

2. Эта книга состоит из двух частей; охарактеризуем кратко роль каждой из них.

Решение задач -- практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. И в этой книге вы не найдете волшебного ключа, открывающего все двери,- она не научит вас решать все задачи, но даст много хороших образцов для подражания и возможностей поупражняться. Но помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, старайтесь подмечать в задаче, которую вы решаете, то, что сможет пригодиться и в будущем, при решении других задач. Решение, найденное в результате собственных усилий, или то, с которым вы познакомились по книге, или то, которое вы выслушали (но обязательно с живым интересом и стремлением проникнуть в суть дела), может превратиться в метод, в образец, которому с успехом можно следовать при решении других задач. Первая часть этой книги как раз и ставит своей целью ознакомление читателя с некоторыми полезными методами.

Конечно, подражать уже известному решению легко, если новая задача очень похожа на известную вам; однако если сходство задач невелико, то такое подражание может оказаться гораздо более трудным и даже едва ли осуществимым. В глубине души человек стремится к большему: ему хотелось бы обладать универсальным методом, позволяющим решить любую задачу. У большинства из нас это желание остается скрытым, но оно иногда проступает наружу в сказках и в произведениях некоторых философов. (Возможно, вы припомните сказку о волшебном слове, открывающем все двери.) Над универсальным методом, пригодным для решения любых задач, размышлял Декарт; наиболее же четко сформулировал идею о совершенном методе Лейбниц. Однако поиски универсального, совершенного метода дали не больший эффект, чем поиски философского камня, превращающего неблагородные металлы в золото: существуют великие мечты, которым суждено оставаться мечтами. Тем не менее такие недостижимые идеалы не остаются бесполезными -- пока никто не достиг полярной звезды, но многие, глядя на нее, находили правильный путь. Эта книга не в состоянии предложить вам универсальный метод решения задач (и никакая другая книга никогда не сможет это сделать!), но и несколько маленьких шагов в направлении недостижимого идеала могут развить ваши способности и умение решать задачи. Часть вторая описывает в общих чертах некоторые из этих шагов.

3. Мне хотелось бы назвать исследование, которое предпринимается в настоящей работе, эвристическим, так как оно посвящается средствам и методам решения задач. Термин "эвристика", который употреблялся некоторыми философами прошлого, в наше время наполовину забыт, а наполовину дискредитирован, но я не боюсь им пользоваться.

По существу, большая часть настоящей работы представляет собой реальный, практический аспект эвристики: я пытаюсь всеми доступными мне средствами соблазнить читателя заняться решением задач и побудить его задуматься над методами и средствами, которые он при этом применяет.

В большинстве глав основная часть текста посвящена всестороннему раскрытию процесса решения немногих задач. Математику, не интересующемуся методическими вопросами, такое изложение может показаться слишком подробным. И действительно, содержание этих глав представляет собой не простое описание процесса решения, а методический разбор решения задачи. Такой разбор, относящийся к определенной задаче, демонстрирует перед читателем последовательность важнейших шагов, в результате которых, в конце концов, было найдено решение, и вскрывает мотивы и позиции, подсказывающие эти шаги. Кроме того, подробное описание решения отдельной частной задачи имеет своей целью найти общую рекомендацию или метод, которым читатель мог бы руководствоваться в аналогичных ситуациях. Окончательная формулировка такой рекомендации или метода обычно откладывается до отдельного параграфа, однако предварительные, пробные формулировки зачастую перемежают отдельные моменты методического разбора решения.

Каждая глава заканчивается упражнениями и дополнительными замечаниями. Читатель, выполнивший эти упражнения, получит возможность не только применить и лучше уяснить себе методические замечания, собранные в этой главе, но и расширить их. Дополнительные замечания, разбросанные между упражнениями, либо дают более широкое толкование вопроса, либо являются побочными комментариями.

Разумеется, я упорно стремился возбудить активность читателя -- не знаю, насколько мне это удалось. Я пытался перенести на страницы книги наиболее эффективные приемы моих аудиторных занятий. Методическим разбором хода решений я старался ввести читателя в атмосферу научного исследования. Выбором, формулировками и расположением задач (эти формулировки и размещение задач гораздо более важны и стоили мне гораздо большего труда, чем это может вообразить себе непосвященный читатель) я пытался растормошить читателя, возбудить его любопытство, пробудить его инициативу, открыть перед ним широкие возможности для ознакомления со всем многообразием ситуаций, встречающихся в научно -исследовательской работе.

4. Большая часть этой книги посвящена математическим вопросам. Нематематические задачи встречаются редко, но они всегда скрыто присутствуют на заднем плане. Я постоянно держал их в тюле зрения и старался, там где это было возможно, обсуждать математические задачи такими методами, которые проливали бы свет и на задачи иной природы.

Большая часть рассматриваемых в настоящей книге задач относится к элементарной математике. Однако выбор включенного в книгу материала в большой мере определялся более сложными проблемами, хотя ссылки на них встречаются довольно редко. В действительности здесь дело обстояло так: основным источником для меня служили собственные исследования -- и обработка большинства элементарных задач отражает опыт, накопленный мною при решении не вошедших в книгу более сложных задач.

5. Эта книга объединяет теоретическую цель -- изучение эвристики -- с конкретной практической и притом безотлагательной целью -- улучшением подготовки учителей средней школы.

Я имел превосходные возможности для наблюдений и мог составить себе достаточно аргументированное мнение об уровне подготовки учителей математики для средней школы, так как все прочитанные мною за последние пять лет курсы предназначались именно для этих учителей. Как мне кажется, я могу считаться относительно непредубежденным наблюдателем и с этой позиции должен высказать совершенно определенное мнение: подготовка учителей математики для средней школы неудовлетворительна. Виноваты в этом, как мне кажется, все ответственные за подготовку учителей учреждения и организации; в первую очередь здесь надо указать педагогические учебные заведения и математические отделения в колледжах, которые, если они хотят существенно улучшить положение, должны очень тщательно пересмотреть свои требования к подготовке учителей.

Какие курсы должны читаться в колледжах будущим учителям средней школы? Для того чтобы иметь возможность ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего спросить себя: какие требования должна предъявлять к ученикам средняя школа?

Вы, возможно, полагаете, что этот вопрос мало чем может помочь делу изНза своей дискуссионности,- и действительно, на него нельзя, видимо, дать ответ, с которым согласились бы все. Однако существует один аспект этого вопроса, относительно которого по крайней мере специалисты в данной области вполне могут договориться.

Процесс изучения того или иного предмета преследует своей целью как сообщение учащимся той или иной информации, касающейся этого предмета, той или иной суммы знаний, так и создание определенных умений. Если у вас накопился подлинный, bona fide опыт математической работы (на любом уровне, элементарном или более высоком), то вы не усомнитесь в том, что в математике владение предметом гораздо важнее, чем одно чистое знание, которое всегда можно пополнить с помощью подходящих справочников. Поэтому как в средней школе, так и в учебных заведениях других рангов мы обязаны не только сообщать учащимся известные знания, но и -- и это гораздо важнее -- научить их в какой-то степени владеть предметом.

Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач. Таково мое убеждение; вы, может быть, разделяете его не полностью, но я полагаю, что вы согласны с тем, что процесс решения задачи не должен проходить безлично, что какие-то его моменты должны акцентироваться преподавателем, а этого мне пока достаточно.

Учитель обязан хорошо знать то, чему он собирается учить. Он должен показывать учащимся, как решать задачи. Но как он может показать то, чем он сам хорошо не владеет? Учитель должен стараться, чтобы учащиеся лучше овладели предметом, научились лучше рассуждать, его задача -- стимулировать и поощрять творческое мышление; однако в программе, по которой он занимался когда-то, не уделялось достаточного внимания овладению основным содержанием предмета, а на выработку у будущего учителя умения рассуждать, решать задачи и творчески мыслить и вовсе не обращалось внимания. В этом, как мне кажется, заключается самый большой недостаток современной системы подготовки учителя математики для средней школы.

Чтобы ликвидировать этот недостаток, программа подготовки учителя должна открывать простор для творческой работы на соответствующем уровне. Я пытался предоставить возможность такой работы, руководя семинарами по решению задач. Настоящая книга содержит материал, который мне удалось собрать для своих семинаров, и указания по его использованию (см. "Советы учителям и учителям учителей", стр.20). Это, как я надеюсь, поможет улучшить подготовку учителя математики; как бы то ни было, в этом заключается конкретная цель настоящей книги.

Я убежден, что постоянное внимание к двум упомянутым целям, теоретической и практической, позволило мне улучшить изложение. Я надеюсь также, что интересы различных читателей этой книги не будут противоречить друг другу (для одних это могут быть общие вопросы, связанные с решением задач, для других -- развитие своих способностей решения задач, для третьих -- развитие этих способностей у учащихся, с которыми они занимаются). То, что покажется самым важным одному читателю, может, с большой долей вероятности, иметь значение и для остальных.

6. Настоящая книга продолжает линию, начатую двумя более ранними книгами автора "Как решать задачу" и "Математика и правдоподобные рассуждения" [последняя подразделялась на две части: Индукция и аналогия в математике (ч. I) и Схемы правдоподобных умозаключений (ч. II)]. Эти книги, существенно не перекрываясь, дополняют друг друга. Предмет, о котором идет речь в одной из них, может рассматриваться также и в другой, но характер обсуждения в ней будет уже несколько иным (другие примеры, другие детали, другие аспекты). Все эти книги независимы одна от другой; читать их можно в любом порядке.

Для удобства читателя в сводном указателе, помещенном в конце этой книги, мы сопоставляем эти три книги и указываем параллельные места.

7. Первые четыре главы настоящей книги содержат более широкий набор задач, чем последующие. По существу, часть первая во многих отношениях похожа на собрание задач из анализа [12], составленное Г.Сегё и автором. Однако здесь имеются и очевидные различия: задачи, предлагаемые в данной книге, гораздо более элементарны, а методические указания делаются не мимоходом, а излагаются подробно и затем обсуждаются.

Шестая глава написана под впечатлением недавно появившейся работы Вернера Xарткопфа [9]. Я останавливаюсь здесь лишь на некоторых аспектах этой работы Харткопфа, которые показались мне наиболее привлекательными, и излагаю их в такой форме, которая, как мне кажется, наилучшим образом согласуется с моей собственной концепцией эвристики; изложение идей Харткопфа я сопровождаю подходящими упражнениями и дополнительными замечаниями.

Дж.Пойа
Цюрих, Швейцария, декабрь 1961 -- октябрь 1964

 Об авторе

Дьёрдь ПОЙА (Георг (Джордж) Полиа) (1887--1985)

Известный американский математик венгерского происхождения. Родился в 1887  г. в Будапеште. В 1912 г. окончил Будапештский университет. В 1914--1940 гг. работал в Высшей технической школе в Цюрихе. С 1928 г. -- профессор Высшей технической школы. В 1940 г. переехал в США, где работал в Стэнфордском университете.

Автор многих трудов в области теории чисел, функционального анализа, математической статистики (распределение Пойа) и комбинаторики (теорема Пойа). Кроме того, он написал замечательные книги по методологии решения задач с примерами, доступными школьникам: "Математика и правдоподобные рассуждения", "Как решать задачу" и предлагаемая читателю "Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание".

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце