Маневич В.Б. Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа Ч.1-3

Мысль о написании книги «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа», предлагаемой сейчас вниманию читателя, возникла у автора в конце 60-х годов прошлого века, когда издательством «Мир» были напечатаны переведённые на русский язык книги У.Рудина «Основы математического анализа», М.Спивака «Математический анализ на многообразиях» и А.П. и В.Дж. Робертсонов «Топологические векторные пространства». Изложение основ математического ...(Подробнее)анализа в первых двух из этих книг резко отличалось по стилю и содержанию от изложения основ анализа в традиционных руководствах, известных автору к тому времени. Так, изложение дифференциального исчисления функций нескольких переменных в упомянутых книгах начинается с ведения общего понятия дифференцируемого отображения (одного конечномерного евклидова пространства в другое) и его производной. Затем, после доказательства терем об обратной функции (доказываемой в книге У.Рудина без использования понятия определителя) и неявной функции, вводится понятие кратного интеграла Римана и доказывается теорема о замене переменных в кратных интегралах. Далее излагается исчисление дифференциальных форм и доказывается абстрактная теорема Стокса (об интегрировании (k-l)-формы по границе k-цепи).

Следует заметить, что студент, добросовестно изучивший доказательства классических теорем Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского в их традиционном изложении, был не в состоянии понять (как справедливо отмечал Д.А.Райков), что эти теоремы являются частными случаями вышеупомянутой абстрактной теоремы Стокса. С тех пор прошло сорок лет. За это время отечественная математическая литература пополнилась руководствами, излагающими теорию дифференциальных форм, вышеупомянутую абстрактную теорему Стокса и её связь с классическими интегральными теоремами анализа. Таковы, например, книга В.А.Ильина и Э.Г.Поздняка «Основы математического анализа. Ч. 2» (М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1982) и университетский учебник «Математический анализ. Ч. 2» авторов В.А.Ильина, В.А.Садовничего, Бл.Х.Сендова (Изд-во Проспект и изд-во МГУ, 2006). Однако, в указанном университетском учебнике теория дифференциальных форм в евклидовом пространстве излагается (достаточно сжато) лишь в дополнение к основному тексту. Кроме того, по мнению автора, изложение теории дифференциальных форм в духе книги У.Рудина более доступно для студента, впервые приступающего к изучению анализа.

Книги У.Рудина и М.Спивака в некотором смысле являются взаимно дополняющими друг друга. Так, например, книга У.Рудина содержит элементы теории метрических пространств, теорию интеграла Римана-Стильтьеса, элементы теории рядов Фурье, элементы теории интеграла Лебега. Всё это отсутствует в книге М.Спивака. С другой стороны, книга М.Спивака содержит достаточно подробную теорию кратного интеграла Римана (включающую теорему Фубини), тогда как в книге У.Рудина понятие кратного интеграла определяется лишь для непрерывных функций, заданных на параллелепипедах. Кроме того, в книге М.Спивака определяются многообразия и многообразия с краем, вложенные в n-мерное евклидово пространство. Для этих многообразий доказывается общая теорема Стокса, из которой выводятся классические теоремы анализа в их современной формулировке. Для обеих рассматриваемых книг характерна предельная точность обозначений. Следует также заметить, что обе они написаны очень сжато и не содержат некоторые важные разделы анализа (такие, например, как теория несобственных интегралов, и интегралов, зависящих от параметра).

Приступая к написанию «Элементов», автор ставил себе целью соединить в одной книге достоинства упомянутых работ У.Рудина и М.Спивака с достоинствами известного курса Г.М.Фихтенгольца, содержащего «недостающие» разделы анализа и богатого примерами и упражнениями, облегчающими усвоение студентами теоретического материала. Кроме того, автор ставил себе целью написать книгу, которая могла бы служить введением в теорию локально выпуклых топологических векторных пространств.

«Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» содержат достаточно много упражнений, которые нельзя пропустить без ущерба для понимания основного текста (в котором, однако, приводятся ссылки на эти упражнения). Большинство упражнений снабжено подробными указаниями, фактически являющимися решениями (читателю рекомендуется попытаться решить се упражнения самостоятельно). Следует заметить, что в упражнениях приведена значительная часть теоретического материала. Так, в упражнениях к первой главе приведена элементарная теория конечных групп, в упражнениях ко второй главе – элементарная теория векторных пространств и т.д.

Книга «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» задумана как учебное пособие для студентов математических и физических факультетов педагогических вузов и некоторых втузов с углублённым изучением математики.