Лагалли М. Векторное исчисление в применении к математической физике.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие редактора

Книга немецкого ученого Лагалли, выпускаемая в русском переводе, дополняет русские руководства по векторному исчислению в том существенном пункте, что расширяет круг элементарных алгебраических операций над векторами еще одним, диадным, произведением. Это означает включение в векторную алгебру изучения линейной векторной функции от векторного аргумента, – включение, вполне оправдываемое алгебраическим характером материала. Оно позволяет также значительно расширить круг приложений векторного исчисления, и не только в области механики, но и в геометрическом материале книги.

В своем предисловии автор указывает на то, что книга сохранила следы курса лекции, из которого она возникла; это отразилось и в том, что не все доказательства, приводимые автором, доведены до той степени строгости, которую обычно находят в математическом руководстве. В наибольшей степени это относится к главам 2 и 4, в которых весьма часто используются инфинитезимальные соображения и физические аналогии.

Редактор перевода не счел возможным нарушить стиль книги чрезмерными разъяснениями. Те немногие добавления и изменения которые сделаны, нашли себе место либо в примечаниях редактора либо (чаще) для удобства читателя внесены в текст, где они, как правило, отделены от текста автора знаком *.

По желанию издательства в переводе сохранены обозначения оригинала.

Предисловие автора

Эти лекции по векторному исчислению значительно отличаются от большинства книг, посвященных этому предмету, не только своим построением и содержанием, но и прежде всего по основным взглядам на сущность и цели векторного исчисления. Понятие вектора вводится наглядно геометрически, но затем оно шаг за шагом углубляется и расширяется с помощью методов, близких к наглядному представлению; таким путем читатель не только знакомится с элементами векторного и диадного исчисления и теории поля, но и получает возможность подхода к тензорному анализу, ставшему актуальным благодаря успехам теории относительности и господствующему в настоящее время в обширных областях математики и математической физики.

В последние десятилетия векторное исчисление стало известным и доступным широким кругам и проникло в физические и технические учебники и журналы. Но при всем том оно получило лишь небольшое распространение. Его приложения ограничиваются в основном отдельными областями, как, например, аналитической и технической механикой, гидродинамикой, электродинамикой. В теорию упругости, например, оно едва проникло; правда, в современных ее изложениях часто идет речь о диаде деформации и диаде напряжения, но оперируют с этими диадами редко; в теории упругости координатное изложение господствует все еще почти неограниченно. Этот пример типичен; всюду, где оказываются достаточными простейшие операции векторного исчисления, достигаемая этим свобода от произвольной системы координат приветствуется как ценное приобретение, но оперировать с диадами и тензорами более высокого порядка избегают; там же, где введение понятия диады становится неизбежным, по меньшей мере избегают рассматривать ее как особый объект, величину, число и обозначать ее особым символом. Вместо того чтобы над зданием элементарного векторного исчисления надстроить еще один этаж, возвращаются к координатному исчислению. Однако именно формальное диадное исчисление есть тот ключ, который с минимальным трудом и кратчайшим путем открывает доступ ко всем тем задачам, при исследовании которых мы имеем дело с двумя векторными полями, связанными друг с другом аффинным преобразованием или линейной вектор-функцией.

Против диадного исчисления нередко приводятся те же доводы, которые приводились против векторного исчисления два-три десятилетия назад. Обсуждение этих доводов излишне.

Действительные причины сопротивления, оказываемого диадному исчислению, другие. Изложение начал диадного исчисления абстрактно; изучение его требует настойчивости и уверенности в том, что затраченный труд окупится. Тот, кто рассматривает векторное исчисление как вспомогательную науку и при введении каждой новой операции хотел бы возможно скорее уяснить себе возможность ее применения, испытывает чувство недовольства. Кроме того, в большинстве учебников векторного исчисления диадное исчисление преподносится лишь в конце; уже несколько утомленный и напуганный внезапно начинающейся новой отвлеченной главой, читатель не ожидает более ничего существенно важного. Поэтому основы диадного исчисления я поместил уже в первой главе, посвященной элементам векторной алгебры: важность диадного исчисления должна быть подчеркнута как можно раньше и сильнее. Более подробное изложение теории диад с ее приложениями к геометрии отложено до одной из последующих глав, к которой примыкает особая глава о важнейших диадах механики: диадах инерции, деформации, напряжения, и о законе Гука.

Другая причина, затруднявшая до сих пор проникновение диадного исчисления, лежит, как мне кажется, в вопросе об обозначениях. От обозначений простейших векторных операций надо требовать, чтобы они не ставили никаких препятствий дальнейшему развитию векторного исчисления. Наиболее употребительная в Германии система обозначений, разработанная Комиссией по выработке единиц и обозначений, сколь она ни удобна для простейших операций, не может быть расширена на операции тензорного исчисления без довольно искусственных добавлений; поэтому она затрудняет развитие и распространение этого исчисления. В последовательных системах обозначений недостатка нет; в моих лекциях я пользуюсь системой, введенной Гиббсом, которую я считаю если и не наилучшей из возможные то все же лучшей из существующих систем. Я не хотел бы входить здесь в детали по этому часто обсуждавшемуся вопросу.

Стремление к наглядности при введении понятия вектора и при построении всей теории проявляется в том, что геометрические соображения привлекаются не только к выводу теорем, но и к приложениям построенной теории. Часто едва ли возможно отделить одно от другого. Впрочем, выбор областей приложений требует ограничения. Через всю векторную трактовку диференциальной геометрии проходит одна кинематическая идея; напрашивается мысль расширить естественно намечающуюся кинематическую область приложения или, лучше, рассмотрения на область механики со включением механики непрерывной среды и теории потенциала. Я считал, что этого достаточно. Выбор примеров из самых разнообразных областей теоретической физики наряду с опасностью, связанной с рассеиванием внимания, таит, как мне кажется, еще одну опасность – легко вызвать упрек в том, что из неизмеримо обширной области выхватываешь сравнительно немногие, особенно благоприятные примеры, которые тем самым перестают служить доказательством особой пригодности излагаемых теорий к приложениям.

Что касается, в частности, геометрии, то она принадлежит к тем областям, в которые формальное векторное исчисление проникает медленно. Поэтому векторному изложению диференциальной геометрии я уделил больше места, чем это принято в немецких учебниках векторного исчисления, и несколько отделов посвятил построению естественной геометрии, которая в ее результатах совпадает с естественной геометрией Чезаро и в то же время методически значительно от нее отличается. Но геометрия дает также в руки средство наглядно обосновать теорию преобразования векторов и благодаря этому притти к уточнению понятия вектора, которое в дальнейшем испытывает еще одно расширение при исследовании векторов в многомерных и римановых пространствах. Эти последние исследования имеют отношение к теории относительности, но далеко выходят за пределы ее потребностей; наряду с многообразной приложимостью их результатов на практике они могут претендовать и на чисто математический интерес. Векторы теории относительности и римановых пространств, с одной стороны, и векторы евклидовой геометрии и механики – с другой, на первый взгляд представляются объектами разной природы; с этим связан пробел по существу методического характера, который я стремился преодолеть. Эта попытка представляет рискованный шаг не только вследствие отрицательного отношения широких кругов к приложению формальных векторных операций в теории относительности.

Даже тот, кто является сторонником применения самих векторов и тензоров вместо их координат, должен будет признать, что возможность полностью освободиться от системы отсчета при исследованиях общего характера ограничена пространствами с евклидовой метрикой; исследования в высших пространствах надо сравнить, с точки зрения метода, скорее с теми исследованиями в евклидовом пространстве, в основу которых кладется общая система отсчета, состоящая из трех семейств параметрических кривых. Этот недостаток компенсируется рядом значительных преимуществ; некоторые из них я хотел бы. отметить. Укажем прежде всего на введение абсолютного диференцирования и линейного перенесения; благодаря применению самого вектора вместо его координат изложение приближается к евклидовым представлениям более, чем при любом другом способе обоснования; и при переходе к евклидову пространству формулы получают непосредственно воспринимаемый смысл. Точно так же и тензор кривизны получает наглядный геометрический смысл в теснейшей связи с мерой кривизны поверхности.

Принципиально более глубокое значение имеет еще и следующее преимущество. Ввиду инвариантного характера тензора, определенного как комплексное число более высокого порядка для любой такого рода величины, инвариантность которой уже обнаружена, последующее доказательство тензорного характера ее оказывается излишним; при оперировании только с координатами тензора это доказательство должно было бы последовать только из рассмотрения их поведения при преобразовании координат.

Настоящая книга возникла из лекций, которые я в течение ряда лет читал в высших технических школах Мюнхена и Дрездена студентам, изучающим инженерные науки, физику и математику.

Содержание книги распадается на три ступени. В то время как во вводном курсе по высшей математике речь может итти только о простейших основных фактах векторного исчисления, в лекциях по векторному исчислению может быть изложена теория поля и диадное исчисление. Более трудные, так же как и более входящие в подробности, теории я излагал в специальных курсах перед узким кругом слушателей и в семинариях. Этому обстоятельству обязан своим происхождением последний, помещенный в виде добавления отдел о высших комплексных числах; методически он совершенно выходит из рамок книги, но его значение состоит как раз в том, что он выявляет возможность построения векторного исчисления на основе совсем других точек зрения; кроме того, при этом создается возможность затронуть кватернионы Гамильтона и векторы числовой плоскости Гаусса так же, как и получившие в последнее время значение дуальные векторы и моторы Мизеса.

Предлагаемое изложение использует некоторую свободу, которую представляют лекции по сравнению с методически строгим построением учебника. Оно часто прерывается приложениями или задерживается на выводе вспомогательных теорем; при возобновлении прерванной нити рассуждений я не боялся повторений. Книга предназначена в первую очередь для пользования параллельно со слушанием лекций.

Так как изучение векторного исчисления, если оно должно стать живым математическим орудием, никогда не может быть начато слишком рано, то первые главы предъявляют необычайно скромные требования к математическим познаниям читателя. С расширением своего математического образования учащийся может продвигаться и в чтении книги; последние отделы предназначены почти исключительно для математиков и заинтересуют изучающих инженерные и естественные науки лишь при особой теоретической подготовке.