Бурбаки Н. Теория множеств.
Пер. с фр. Изд. 2

Оглавление

Из предисловия редактора перевода

1. Что представляет собой французский оригинал данного издания

Трактат Никола Бурбаки "Начала математики" ("Elements de mathematique" par Nicolas Bourbaki) является одним из наиболее известных и наиболее нестандартных произведений современной математической литературы. Он еще не закончен, и не известно, как будет выглядеть все сочинение в целом и даже какого оно будет объема. Поскольку во время писания трактата математика тоже движется вперед, есть основания полагать, что работа не будет завершена никогда.

Трактат (traite) делится на части (parties), части – на книги (livres), книги – на главы (chapitres). Каждая книга, вообще говоря, должна, кроме глав, содержать еще Словарь (Dictionnaire) и Сводку результатов (Fascicule de resultats). Кроме того, каждая глава или группа глав сопровождаются относящимся к этой главе или группе глав Историческим очерком (Note historique). Трактат издается парижским издательством Hermann в серии "Actualites scientifiques et industrielles" и выходит отдельными выпусками (fascicules), начиная с 1939 г. Каждый выпуск содержит связную часть текста какой-либо из книг трактата. Выпуски нумеруются в том порядке, в каком они выходят в свет; номер выпуска сохраняется и при переизданиях. Порядок издания выпусков не соответствует логическому порядку частей, книг и глав; это объясняется тем, что, как указывает сам автор в своих анонсах, "составление большинства глав трактата ведется одновременно". В выпуски французского издания вкладываются брошюры, каждая из которых содержит список вышедших выпусков, распределение опубликованных глав, словарей и сводок результатов по книгам и "Способ пользования данным трактатом" ("Mode d'emploi de ce traite"). Кроме того, в эти выпуски, как правило, вкладываются относящиеся к предыдущим выпускам нумеруемые списки опечаток.

Список вышедших в свет выпусков трактата Н.Бурбаки приведен в приложении I к настоящему предисловию (см. стр.13–15). В приложении II (стр.15–16) показано, как опубликованные в этих выпусках главы, словари и сводки результатов объединяются в книги и части.

Если признаком законченности книги считать наличие в ней Сводки результатов или Словаря (их функции разъясняются в пп.5 и 9 "Способа пользования"), то законченными следует считать книги I, III, IV и V первой части. Надо, впрочем, иметь в виду, что уже вышедшие разделы Трактата время от времени перерабатываются, иногда очень значительно, и выходят новыми изданиями.

Большая часть исторических очерков (см. о них в п.11 "Способа пользования") собрана воедино в книге Н.Бурбаки "Очерки по истории математики" ("Elements d'histoire des mathematiques"), формально не входящей в трактат "Начала математики" и выпущенной в 1960 г. тем же издательством Hermann в качестве IV выпуска серии "Histoire de la pensee".

Ряд разделов трактата Н.Бурбаки вышел в русском переводе. Список этих русских изданий см. в приложении III на стр.16–17.

Настоящее русское издание представляет собой перевод первой книги (озаглавленной "Теория множеств" ("Theorie des Ensembles")) первой части (называемой "Основные структуры Анализа" ("Les structure fondamentales de l'Analyse") трактата. Во французском издании эту книгу составляют следующие четыре выпуска (приводимые в том порядке, в каком их переводы скомпанованы в настоящем издании): XVII (содержащий главы I и II), XX (содержащий главу III и Исторический очерк к § 5 главы III), XXII (содержащий главу IV и Исторический очерк к главам I–IV) и I (содержащий Сводку результатов). Для перевода были использованы второе издание выпуска XVII, первые издания выпусков XX и XXII и третье издание выпуска \mbox{I}.

Переводам названных выпусков предпослан в настоящем издании перевод "Способа пользования данным трактатом", выполненный с экземпляра, вложенного во второе издание выпуска X (1961 г.).

В настоящем переводе учтены списки опечаток N1–9. Незначительное число мелких неточностей исправлено без оговорок.

2. И. Бурбаки о своем трактате

В аннотации, помещенной в XXII выпуске Трактата, говорится: "В Трактате математика рассматривается с самого ее начала и даются полные доказательства. Поэтому его чтение не предполагает в принципе никаких специальных математических знаний, а требует лишь некоторого навыка к математическим рассуждениям и некоторой способности к абстракции.

Тем не менее Трактат рассчитан преимущественно на читателей, обладающих по крайней мере хорошим знанием материала, преподаваемого во Франции в курсе общей математики, – в других странах на первом или первых двух годах университетского обучения, – а также по возможности некоторым знанием основных разделов дифференциального и интегрального исчисления.

Трактат никоим образом не имеет своей целью служить энциклопедией современных математических знаний; мы произвели систематический отбор, особенно стараясь развить базисные понятия, используемые при решении большинства задач современной математики. Чтобы сделать эти понятия приложимыми к возможно большему числу случаев, мы представили их в самой общей и, следовательно, самой абстрактной форме, которая позволяет яснее всего видеть структуру различных разрабатываемых теорий. По той же причине мы не стремились включить в изложение каждой теории все теоремы, известные к настоящему моменту; мы принципиально ограничились теми из них, которые составляют логический каркас теории и знание которых необходимо для решения большинства задач, использующих эту теорию. Многие другие результаты, имеющие более ограниченную сферу применения, даны в форме упражнений, содержащих обычно указания, достаточно подробные для их решения.

Трактат разделен на отдельные книги. К каждой книге, как правило, приложена сводка результатов; в ней можно найти большинство определений и сформулированные без доказательства основные теоремы данной книги. Подобная сводка дает математику, желающему пользоваться соответствующей теорией, весьма удобный справочник; кроме того, она может помочь читателю получить представление о книге в целом раньше, чем он приступит к подробному ее изучению".

Так говорит о своем Трактате сам автор. За более подробными сведениями о строении и целях трактата мы отсылаем читателя к "Способу пользования" (стр.19–22) и к "Введению" (стр.23–30). Однако, пожалуй, наиболее отчетливо взгляд автора на роль его трактата передает открывающая настоящее издание иллюстрация (во французском издании она открывает собой первый выпуск).

3. "Теория множеств"-первая книга "Начал математики"

Целью трактата Бурбаки является построение всей или почти всей математики на базе теории множеств. Математические объекты рассматриваются автором как множества, наделенные той или иной "структурой" (об этом последнем понятии см. § 8 "Сводки результатов"). В п.2 прежнего варианта "Способа пользования" говорилось: "Первая часть Трактата посвящена основным структурам Анализа...; в каждой из книг, на которые делится эта часть, изучается одна из этих структур или ряд близкородственных структур.... Общие принципы, изучаемые в первой части, найдут затем в следующих частях применение к теориям, в которых появляются одновременно различные структуры".

Естественно, что при таком способе изложения первая книга – "Теория множеств" – занимает совершенно особое место в трактате. Автор, намеревающийся систематически выводить всю математику из теории множеств (путем присоединения к последней дополнительных аксиом), именно в этой книге закладывает фундамент своего построения. Поэтому введение к первой книге может в известном смысле рассматриваться как введение ко всему трактату.

В первой главе дается описание метода, посредством которого будет развиваться теория на протяжении всего Трактата. Таковым служит формальный аксиоматический метод, в котором (в отличие от неформального аксиоматического метода) четко формулируются не только аксиомы, но и правила вывода из них. Предложения рассматриваемой теории предстают при этом в виде знакосочетаний, а правила вывода одних предложений из других – в виде правил формального преобразования этих знакосочетаний. Именно таким способом развивается во второй главе теория множеств.

Разумеется, знакосочетания и действия с ними могут при желании рассматриваться безо всякой интерпретации, как говорят, с чисто синтаксической точки зрения (т.е. исключительно с точки зрения взаимного расположения самих знаков). Однако наибольший интерес представляют, конечно, те построения, которые сопровождаются интерпретацией, т.е. наделением рассматриваемых знакосочетаний определенным содержанием. В книге такая интерпретация постоянно указывается. Более того, благодаря широкому использованию так называемых сокращающих символов (см., например, определение символа "1" на стр.187–188) и соглашений о словесном прочтении знакосочетаний, текст книги по мере удаления от начала все более и более приобретает характер обычного математического текста (лишь в главе IV приходится снова вернуться к формальному языку). Однако следует всегда помнить, что каждое звучащее обычно предложение (вроде "Существует такое множество, что..." и т.п.) представляет собой на самом деле не что иное, как произведенную па основе сделанных соглашений словесную запись некоторого знакосочетания, – причем как раз такого, что это знакосочетание – при его интерпретации, заданной особым соглашением, – и это предложение – при обычном его истолковании в повседневном математическом языке – выражают одно и то же суждение. Таким образом, большинство предложений может расшифровываться двумя согласованными между собой способами – обычным, содержательным (как выражающее некоторое суждение) и формальным (как изображающее некоторое знакосочетание); см. для примера формулировку Предложения 1 на стр.85. Этот особый, "двусмысленный" стиль изложения представляется педагогической удачей автора: он позволяет, развивая формальную аксиоматическую теорию, считать, что мы занимаемся содержательной математикой (или, наоборот, занимаясь обычной математикой, развивать вместе с тем формальную теорию).

В третьей главе излагается теория упорядоченных множеств и кардинальных (количественных) чисел. К сожалению, важнейшее понятие ординального (порядкового) числа встречается лишь в упражнениях.

В главе IV определяется и изучается основное для всего трактата (вынесенное даже в название всей первой части) понятие структуры.

В силу самой тематики первой книги, помещенный в ней, как и в других, Исторический очерк (касающийся оснований математики, логики, теории множеств) более тесно связан здесь с основным изложением, чем где-либо в других разделах Трактата; достаточно сказать, что именно в нем формулируются знаменитые теоремы Гёделя об ограниченности формального аксиоматического метода. [Поэтому было решено набрать его в русском издании тем же шрифтом, что и основной текст (во французском оригинале исторические очерки набираются петитом).]

Наконец, Сводка результатов должна сделать возможным для читателя изучение последующих книг Трактата без непосредственного обращения к достаточно напряженному тексту глав I–IV.

Введение

Со времен греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство". Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хотим придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпоху, когда понятие доказательства было под угрозой утраты и математика находилась изНза этого в опасности, образцы искали именно у греков. Однако к столь славному наследию в течение последнего века прибавились новые важные завоевания.

Действительно, анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точки зрения как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке, который содержит лишь небольшое число неизменных "слов", соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным. Запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации и таблица логарифмов суть формализованные тексты. Формулы обычного алгебраического исчисления также будут формализованными текстами, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от них.

Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственные возможные источники ошибок – это длина или сложность текста. Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, "строгости", доказательства или теории, отнюдь не прибегает к одной из тех полных формализации, которыми мы сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частичными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении. Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмысленности к такой формализации – употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста, нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка. Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним. Иными словами, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка.

Аксиоматический метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики. В самом деле, и при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или иное значение или даже не приписывается никакого, – важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления, как знает каждый, могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимуществом – и по тем же причинам – обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу. Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству, и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы, но основанное прежде всего на повседневном знакомстве с этими объектами. На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в общей аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель (например, свойств, ведущих свое историческое происхождение от другой частной модели этой общей теории). Более того, – и это нам особенно важно в настоящем Трактате – аксиоматический метод позволяет, когда дело касается сложных математических объектов, расчленить их свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, т, е., если воспользоваться словом, которое далее получит точное определение, он позволяет классифицировать свойства по структурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами). Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие – алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли.Каким бы искусственным этот принцип классификации ни становился иногда по мере переплетения структур, именно он лежит в основе распределения по книгам материала, составляющего предмет настоящего Трактата,

Подобно тому как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков. Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, и их соотношений с обычными математическими текстами. Мы намереваемся в этой книге Трактата дать сначала описание одного такого языка вместе с изложением общих принципов, применимых ко многим другим подобным языкам. Однако для наших целей будет достаточно лишь одного-единственного языка. В самом деле, если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиции, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника – Теории множеств. Таким образом, нам будет достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как сформулировать на этом языке Теорию множеств, а затем постепенно, по мере того как наше внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств. Поступая так, мы не намереваемся давать законы на вечные времена. Может случиться, что когда-нибудь математики согласятся использовать способы рассуждения, не поддающиеся формализации в излагаемом здесь языке. Тогда придется если и не полностью изменить этот язык, то по крайней мере расширить правила синтаксиса. Решение принадлежит будущему.

Само собой разумеется, описание формализованного языка делается на обычном языке, подобно описанию правил игры в шахматы; мы не входим в обсуждение психологических или метафизических проблем, связанных с применимостью обычного языка в таких обстоятельствах (например, возможности опознать, что какая-нибудь буква алфавита является "той же самой" в двух различных местах страницы, и т.д.). Равным образом невозможно выполнить такое описание без того, чтобы не применять нумерацию; хотя строгие умы могли бы почувствовать затруднение при этом и даже найти здесь логическую ошибку, тем не менее ясно, что в данном случае цифры используются лишь как опознавательные метки (впрочем, заменимые другими знаками, например цветами или буквами) и что подсчет знаков в выписанной формуле еще не составляет никакого математического рассуждения. Мы не будем обсуждать возможность обучить принципам формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать.

Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то, составив описание выбранного нами формализованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке, подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая их в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков для своей полной формализации. Поэтому, уже начиная с Книги I настоящего Трактата, возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст введением новых слов (называемых "сокращающими символами") и дополнительных правил синтаксиса (называемых "дедуктивными критериями") в довольно значительном количестве. Поступая так, мы получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка. Но мы уже не будем иметь уверенности, что переход от одного из этих языков к другому может быть сделан чисто механическим образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы настолько усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной. Здесь, как и в алгебраическом исчислении и при употреблении почти любых обозначений, которыми обычно пользуются математики, удобный инструмент предпочитается другому, теоретически более совершенному, но слишком громоздкому.

Как увидит читатель, введение этого сжатого языка сопровождается "рассуждениями" особого типа, принадлежащими к так называемой Meтаматематике. Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лишь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и метаматематические "рассуждения" будут обычно устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст будет текстом другого данного типа. В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами (их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: "Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары"; ср. стр.34). Но очень скоро (ср. стр.37–38) мы встречаем примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Если выше мы устранили возражение против употребления нумерации при описании формализованного языка, то теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку теперь как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания. На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддающиеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы почерпываем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном смысле. Проще, по-видимому, сказать, что можно было бы обойтись без метаматематических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования "дедуктивных критериев" мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика не может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика, – доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле или численной таблице и которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.

Итак, мы очень скоро покинем формализованную математику, но тем не менее будем заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Льготы, приносимые первыми же "вольностями речи" такого рода, позволят нам написать остальную часть Трактата (и, в частности, сводку результатов Книги I) так, как пишутся на практике все математические тексты, т.е. отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером. Часто даже мы будем пользоваться обычным языком еще более смело, с произвольно вводимыми вольностями речи, с полным опущением мест, относительно которых предполагается, что мало-мальски искушенный читатель способен их легко восстановить, с указаниями, не переводимыми на формализованный язык и служащими для облегчения этого восстановительного процесса. Другие места, равно непереводимые, будут содержать комментарии, назначение которых сделать более ясным развитие идей, с обращением в случае необходимости к интуиции читателя; использование риторических средств становится поэтому законным, лишь бы оставалась неизменной возможность формализации текста. Первые примеры такого стиля будут даны уже в этой Книге Трактата, в гл.III, излагающей теорию целых и кардинальных чисел. Итак, написанный по аксиоматическому методу и сохраняющий всюду в виду, как некий горизонт, возможность полной формализации, наш Трактат претендует на полную строгость – претензия, которую не опровергают ни изложенные выше соображения, ни списки опечаток, с помощью которых мы исправляли и будем исправлять ошибки, время от времени вкрадывающиеся в текст. Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую Книгу Трактата, остается весьма незначительным.

В том же реалистическом духе мы рассматриваем здесь вопрос о непротиворечивости – один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встающих уже с самого начала при создании формализованных языков (см. "Исторический очерк"). Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая-либо теорема доказывается в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.

Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в выходящие за пределы нашей компетенции споры о самом понятии уверенности, заметим, что метаматематика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некоторая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением 0 не равен 0. Но метаматематика может пытаться с помощью способов рассуждения, заимствованных у математики, изучить строение этого формализованного текста, предполагаемого записанным, и в итоге ухитриться "доказать" невозможность такого текста. В самом деле, такие "доказательства" были даны для некоторых частных формализованных языков, менее богатых, чем тот, который мы хотим ввести, но достаточно богатых для того, чтобы на них можно было записать значительную часть классической математики. Можно спросить, правда, что именно "доказывается" таким путем; ведь если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения к материальным объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка можно было "доказать" посредством рассуждений, формализуемых в языке, менее богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема метаматематики, принадлежащая Гёделю, говорит, что это невозможно для языка того типа, который мы хотим описать, т.е. для языка, достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики.

С другой стороны, при доказательствах "относительной" непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) метаматематическая часть рассуждения (ср. гл.I, § 2, п. 4) настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть ее сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, еще ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда.

Если бы дело и сложилось иначе, то, конечно, замеченное противоречие было бы внутренне присуще самим принципам, положенным в основание Теории множеств, а потому нужно было бы видоизменить эти принципы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми мы наиболее дорожим. И ясно, достичь этого тем более легко, что применение аксиоматического метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и отделять от них следствия более определенно. Впрочем, приблизительно это и произошло недавно, когда устранили "парадоксы" Теории множеств принятием формализованного языка, по существу эквивалентного с описываемым здесь нами. Подобную ревизию следует предпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.

Итак, мы верим, что математике суждено выжить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо, кроме опыта. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно.

Об авторе

Коллективный псевдоним, под которым группа математиков (преимущественно французских) выступила с попыткой дать систематическое изложение современной математики на основе аксиоматического метода. Группа была образована в середине 1930-х гг. из выпускников Высшей нормальной школы. Численность и точный состав группы не разглашались, но известно, что в ее работе в разное время принимали участие такие выдающиеся математики, как Анри Картан, Жан Дьедонне, Андре Вейль, Клод Шевалле, Лоран Шварц, Жан-Пьер Серр, Александр Гротендик.

В многотомном трактате Н. Бурбаки "Элементы математики", выходившем с 1939 г. (во Франции издано более 40 книг), развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики. Изложение носит сугубо абстрактный характер; его основу составляют так называемые структуры, определяемые посредством аксиом, например структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения – от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной. Деятельность Н. Бурбаки принесла существенные плоды в таких областях математики, как топология и топологическая алгебра, теория чисел, алгебра, функциональный анализ и другие.