URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Реньи А. Диалоги о математике. Пер. с англ.
Id: 105837
 
149 руб.

Диалоги о математике. Пер. с англ. Изд.3

URSS. 2010. 96 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-354-01207-7.

 Аннотация

Предлагаемая вниманию читателя книга написана известным венгерским математиком, профессором Будапештского университета Альфредом Реньи, и посвящена многочисленным философским проблемам математики. Каков предмет математики? Каково ее отношение к действительности? Как возникают ее понятия? На эти и многие другие вопросы автор дает определенные и обоснованные ответы. А.Реньи, благодаря оригинальной форме изложения, не поучает читателя, а как бы беседует с ним, заранее предугадывая возможные сомнения, и в результате читатель сам становится участником диалога и воспринимает обсуждаемые проблемы как близкие своим интересам.

Книга предназначена самому широкому кругу читателей, интересующихся историей и методологией математики.


 Содержание

Предисловие к русскому изданию
Диалог о сущности математики
Диалог о применениях математики
Диалог о языке книги природы
Послесловие

 Предисловие к русскому изданию


Книга и ее автор

Диалоги о математике, предлагаемые вниманию советских читателей, первоначально опубликованные в некоторых физических и философских журналах, впоследствии составили книжку, изданную на венгерском, немецком, английском и других европейских языках. И статьи и сборник вызвали большой интерес среди широких кругов читателей не только благодаря оригинальной форме изложения, но и вследствие довольно глубокой трактовки методологических вопросов математики, Книгу читали не только математики, физики, биологи, инженеры, но и школьники. Каждой категории читателей она давала пищу для размышлений. В ней читатели находили ответы на многие принципиальные вопросы, возникавшие при встречах и беседах автора с учеными -- физиками, математиками и биологами.

Почти двадцать пять столетий математика существует не как сборник практических рецептов, а как дедуктивная наука, в которой огромное количество содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожного количества предложений -- аксиом. Естественно, что и в самой математике и в философии с древних времен возникали и обсуждались многочисленные животрепещущие проблемы:

Каков предмет математики?

Каково ее отношение к действительности?

Как возникают ее понятия?

Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникать глубже и точнее в течение явлений, чем непосредственное их наблюдение и экспериментальное изучение?

Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития самой математики и ее применений к реальным проблемам?

Все эти вопросы, а также многие другие продолжают волновать человечество и сегодня. Как и две тысячи лет назад, представители различных философских направлений отвечают на них по-разному.

Альфред Реньи, будучи убежденным материалистом, превосходным знатоком естествознания и современной математики, дает на многие философские вопросы математики определенные и обоснованные ответы. Особую силу воздействия его "Диалоги" приобретают из-за формы изложения, которая, к сожалению, почти полностью забыта современными авторами. Реньи не поучает читателя, не стремится просто вложить в него собственные мысли, а как бы беседует с ним, заранее предугадывает возможные сомнения и возражения и вкладывает их в уста собеседников. В результате читатель сам становится участником диалога -- предмет изложения перестает быть чем-то внешним, навязываемым ему извне; читатель начинает воспринимать обсуждаемые проблемы как свои внутренние, близкие его интересам.

Форма диалога, так удачно использовавшаяся еще в древности Платоном, а позднее Галилеем и многими другими учеными, писателями и философами, оказалась хорошо приспособленной и к обсуждаемым проблемам. Благодаря литературному дарованию автора и прекрасному знанию им литературы и истории книжка получилась весьма интересной.

Имена собеседников в каждом из диалогов знакомы нам из истории науки. Однако в диалогах не нужно искать абсолютной исторической точности. История служит лишь канвой, фоном, на котором так естественно развивается изложение материала. Исторический фон позволяет держать читателя в постоянном напряжении. И никакого значения не имеет то обстоятельство, что царь Гиерон уже не жил в те дни, когда Рим напал на маленькие Сиракузы. Несомненно, Архимед и Гиерон не вели беседы, о которой мы читаем во втором диалоге. Но она могла бы состояться, поскольку ее содержание, а также высказываемые Архимедом идеи и положения относительно сущности прикладной математики и роли математики в человеческом познании близки духу его творчества.

Сейчас больше, чем когда-либо в прошлом, важно выяснить особенности прикладной математики. К сожалению, даже среди весьма способных математиков, интересующихся лишь абстрактно-теоретическими вопросами, существует своеобразное презрение к занятиям математика-прикладника. Они полагают, что прикладными вопросами способны заниматься лишь бесталанные люди, которые не могут дать ничего полезного абстрактной математике. Это ошибочная и, несомненно, вредная точка зрения.

В диалоге о применениях математики Архимед высказывает очень современные нам и важные мысли о месте и роли математика-прикладника как в познании природы, так и в развитии самой математики. Математик-прикладник -- не узкий ремесленник, а творец очень высокого ранга. Ему необходимо не только знакомство с математикой, ко и глубокое знание предмета прикладного исследования. Он должен создать математическую модель изучаемого явления и найти, а в ряде случаев просто изобрести новые методы математического исследования. Последние годы дают нам многочисленные примеры, когда вопросы практики, даже очень узкие и недостаточно четко сформулированные, приводили к созданию новых областей математических исследований и к глубокому преобразованию наших взглядов на содержание и задачи математики. К этому вопросу мы еще вернемся.

В первом диалоге собеседником Сократа -- непременного участника всех диалогов древнего философа Платона -- является молодой человек по имени Гиппократ. Из курса элементарной геометрии читатель, несомненно, знает о гиппократовых луночках. Гиппократ желает углубить свои знания, и Сократ постепенно открывает ему предмет математических исследований, пути образования математических понятий, истоки которых находятся в непосредственных восприятиях окружающего нас мира. Собеседники затрагивают много острых вопросов, которые возникают как в среде учащихся, так и у тех, кто в своей работе использует математические методы. Например, почему математическое абстрагирование -- казалось бы, уход от рассмотрения непосредственного предмета исследования -- позволяет узнать о некоторых сторонах изучаемого объекта больше и глубже, чем без этого непременного условия использования математики. Особенно актуален в наше время вопрос, который Сократ задает себе: "...почему ты думаешь, Сократ, что эти методы и доказательства могут быть полезны только для изучения чисел и геометрических форм? Почему ты не попытаешься убедить своих сограждан применять те же самые высокие логические стандарты в других областях знания, например в философии и политике, при обсуждении проблем повседневной личной и общественной жизни?". В настоящее время, когда происходит математизация наших знаний, этот вопрос приобретает специальный интерес. Современная организация производства и торговли, биология и медицина, экономика и военное дело уже не могут оставаться на позициях полуинтуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов. Когда перед конструктором стоит задача -- создать автомат для управления технологическим процессом, для ее решения недостаточно общих идей и представлений. Машина не понимает, что значит фраза "варить сталь до готовности". Необходимы точные указания относительно условий прекращения процесса. Точно так же для автомата, который должен не допускать повышения температуры среды выше заданной границы, недостаточно одного указания о прекращении нагревания в случае аварийной ситуации. С требованиями точных количественных методов описания самых разнообразных процессов приходится сталкиваться буквально во всех областях человеческой деятельности. Крайне важно тщательно анализировать особенности математического метода, особенности математического подхода к изучению явлений природы и процессов, с которыми сталкиваются на практике.

Третий диалог дополняет и первый и второй. В нем автор останавливается на важных идеях: о необходимости разработки математических методов изучения движения; о построении математической теории случайных явлений; о невозможности исследования законов природы в отрыве от математики и ее специфического языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке и потому прочесть ее может только тот, кто знаком с ее знаками, за столетия, прошедшие со времени Галилея, нашла множество блестящих подтверждений. Сейчас важно подчеркнуть, что по мере возникновения новых задач познания природы само содержание математики не могло оставаться неизменным. Она, как живой организм, развивалась и развивала новые свои ветви. На примере начал теории вероятностей об этом рассказывает Галилей в третьем диалоге.

Действительный член Академии наук Венгерской Народной Республики Альфред Реньи -- один из виднейших представителей современной математики в Венгрии. Его научные интересы в первую очередь относятся к теории вероятностей и теории чисел, а также приложениям математики к физике и инженерному делу. В течение многих лет он руководит Институтом математики Академии наук Венгерской Народной Республики и является профессором Будапештского университета. Вскоре после окончания второй мировой войны Реньи почти год работал в Ленинграде под руководством академика Ю.В.Линника.

Математика и история

За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжении которого неоднократно изменялся ее характер, содержание и стиль изложения. От первичных представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками, от предметных представлений о целых числах в пределах первого десятка математика пришла к образованию многих новых понятий, позволивших описывать сложнейшие явления природы и технические процессы. Из примитивного искусства счета с помощью камешков, палочек и зарубок математика сформировалась в обширную научную дисциплину с собственным предметом изучения и специфическим методом исследования. Она выработала собственный язык, очень экономный и точный, который оказался исключительно эффективным не только внутри математики, но и в многочисленных областях ее применений.

Первичные математические представления были в обиходе у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Смутные, неоформившиеся понятия "больше", "меньше", "равно", относящиеся к конкретным предметам, представления о кратчайшем расстоянии между двумя точками, выработанные в результате длительного каждодневного опыта, вооружали первобытного человека полезными сведениями. Вероятно, представления о неравенстве числа предметов, неравенстве расстояний и размеров появились у людей раньше, чем представления о числе предметов. Формирование идеи счета в пределах единиц относится к тому периоду истории человечества, от которого не сохранилось никаких письменных памятников. Это вполне естественно, так как речь, искусство счета, первичные навыки мышления относятся к временам гораздо более ранним, чем появление самой несовершенной письменности. Судить о развитии математических понятий на ранней стадии человеческого общества удается лишь на основе косвенных данных -- наблюдений над некоторыми племенами в XVI--XIX вв., изучения особенностей живых и мертвых языков, являющихся не только средством общения, но и памятником духовной культуры прошлого.

Хозяйственные потребности вынуждали людей совершенствовать правила счета, измерения расстояний, а также расширять объем математических понятий. Однако в течение долгого времени накопленные сведения были в какой-то мере рецептурными и не осознавались как самостоятельная ветвь знаний. Интересно отметить, что на этой ступени развития математические сведения различных народов, даже не общавшихся между собой, поразительно близки по форме и по содержанию. Правила вычисления площадей и объемов Древнего Вавилона и Древнего Египта весьма похожи на аналогичные правила Древнего Китая. Свойство сторон прямоугольного треугольника, известное под названием теоремы Пифагора, было найдено для многих частных случаев треугольников с целочисленными сторонами задолго до Пифагора, еще в Древнем Вавилоне и в Древнем Китае. На этот вопрос дан вразумительный ответ в беседе Сократа с Гиппократом (первый диалог Реньи).

Так в течение тысячелетий многочисленными безвестными тружениками закладывался фундамент современной математики. Постепенно люди научились выполнять арифметические действия с целыми числами, а затем и с рациональными дробями, научились правильно вычислять площади довольно сложных фигур и объемы простейших тел. Уже в ту пору люди изобрели вспомогательные средства для упрощения взаимных расчетов. Пусть эти изобретения очень примитивны, но их создание стало важным элементом человеческой культуры. И если теперь человечество знает гораздо больше и мечтает о решении проблем, которые совсем недавно казались фантастическими, то в этом велика заслуга предшествующих поколении, на опыте которых базируются все наши знания.

Примитивный математический аппарат счета и измерения, вызванный к жизни несложными потребностями охотника, скотовода, земледельца и воина тех далеких времен, оказался явно недостаточным, когда начала развиваться астрономия и далекие путешествия потребовали разработки методов ориентации в пространстве. Жизненная практика, в том числе и практика развивающихся естественных наук, стимулировала дальнейшее развитие математики. И действительно, в течение каких-нибудь двухсот лет в Древней Греции был сделан принципиально новый шаг -- математика стала формироваться как дедуктивная наука. Из сборника рецептов, которыми следовало пользоваться в тех или иных житейских ситуациях, она превратилась в логически стройную систему научных знаний. В культурном развитии человечества произошел скачок, равный которому трудно найти на протяжении всей истории научных знаний. В первом диалоге Реньи математика находится на довольно высоком логическом уровне и истоки математических понятий уже не так ясны.

Интересно отметить, что крупнейший прогресс математики в Древней Греции не замедлил сказаться на математическом образовании. В Древнем Вавилоне и Древнем Египте математика преподавалась просто как система практических навыков, крайне важных для будущей работы государственного чиновника. В сохранившихся ученических "тетрадках" того времени нет даже намеков на вывод изучаемых математических правил: все основывалось на зазубривании определенной последовательности действий. Иное положение создалось в Древней Греции. Там были школы, в которых будущие ремесленники обучались математическим сведениям, необходимым для их повседневной деятельности, или, как выражался Платон, для "бытовых нужд". Существовали также школы, в которых математика изучалась как развитая в логическом отношении наука. Она, как писал Платон в своих диалогах, должна быть направлена на познание не "бытного", а "сущего". Человечество осознало важность математического познания как такового, безотносительного к задачам конкретной практики. Несомненно, что на такой подход оказали значительное влияние взгляды пифагорейцев, согласно которым законы природы выражаются числами. Именно к этому времени естественно отнести подразделение математики на "чистую" и "прикладную".

Предпосылки к новому бурному всплеску и последующему все возрастающему прогрессу математических знаний создала эпоха морских путешествий и развития мануфактурного производства. Эпоха Возрождения, давшая миру изумительный расцвет искусства, вызвала также развитие точных наук, в том числе и математики, появилось учение Коперника. Церковь яростно боролась с прогрессом естествознания. Именно к этому моменту приурочен третий диалог Реньи. Для математики этот период можно и должно считать началом многих важных событий. Прежде всего Галилео Галилей впервые поставил изучение движения на научные основы. Это было той искрой, от которой впоследствии вспыхнуло развитие математического анализа и всей современной математики. В значительной мере к Галилею следует отнести и начало изучения случайных явлений. В его трудах имеются далеко продвинутые идеи и результаты теории ошибок наблюдений, существенные для экспериментальных наук. К сожалению, до последнего времени историки науки проходили мимо этого факта.

Последние три столетия внесли в математику много новых идей и результатов, а также возможностей для более полного и глубокого изучения явлений природы, поэтому даже краткое их описание потребовало бы слишком много места. Содержание математики постоянно меняется. Это естественный процесс, поскольку по мере изучения природы, развития техники, экономики и других областей знания возникают новые задачи, для решения которых недостаточно прежних математических понятий и методов исследования. Возникает потребность в дальнейшем совершенствовании математической науки, расширении арсенала ее средств исследования.

Прикладная математика

Астрономы и физики раньше других поняли, что математические методы для них не только способы вычислении, но и один из основных путей проникновения в существо изучаемых ими закономерностей. В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. В результате многие науки и области знания, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина такого внимания к математике, конечно, не в преходящей моде, а в том, что качественное изучение явлений природы, техники, экономики зачастую оказывается недостаточным. Как можно создать автоматически работающую вычислительную машину, если имеются только общие представления о длительности последействия передаваемых импульсов на элементы? Как можно автоматизировать процесс выплавки стали или крекинга нефти без знания точных количественных закономерностей этих процессов? Вот почему автоматизация вызывает дальнейшее развитие математики, оттачивание ее методов для решения огромного числа новых и трудных проблем.

Роль математики в развитии других наук и в практических областях деятельности человека невозможно установить на все времена. Изменяются не только те вопросы, которые требуют скорейшего разрешения, но и характер решаемых задач. Ленинский тезис об отсутствии абсолютного знания, о постепенном приближении наших сведений о природе к истинным закономерностям, господствующим в ней, относится и к математическому знанию. Создавая математическую модель реального процесса, мы неизбежно упрощаем его и изучаем лишь приближенную его схему. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее не учтенных факторов удается сделать более полным математическое описание процесса. Процедуру уточнения нельзя ограничить, как нельзя ограничить развитие самого знания. Математизация науки состоит не в том, чтобы исключить из процесса познания наблюдение и эксперимент. Они являются непременными составными частями полноценного изучения явлений окружающего нас мира. Смысл математизации знаний состоит в том, чтобы из точно сформулированных исходных предпосылок выводить следствия, доступные непосредственному наблюдению; с помощью математического аппарата не только описывать установленные факты, но и предсказывать новые закономерности, прогнозировать течение явлений, а тем самым получать возможность управления ими. Если эти предсказания оправдываются, теория укрепляет свое положение и продолжает дальнейшие выводы. Но рано или поздно, поскольку математическая теория того или иного реального явления всегда приближенна, обязательно наступает момент, когда какое-то следствие теории не подтверждается экспериментом или какой-то новый факт не объясняется теорией. Значит, математическая теория оказалась недостаточной. Необходим пересмотр исходных предпосылок теории, изменение положений, которые раньше казались незыблемыми. Такой пересмотр приводит к новой теории, способной шире и глубже проникнуть в структуру изучаемых явлений.

Математизация наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы начать поиски того специфического математического аппарата, который позволил бы наиболее полно описывать интересующий нас круг явлений, выводить из этого описания новые следствия, чтобы уверенно использовать особенности этих явлений на практике. Так случилось в период, когда изучение движения стало насущной необходимостью, а Ньютон и Лейбниц завершили создание начал математического анализа. Этот математический аппарат до сих пор является одним из основных орудий прикладной математики. В наши дни разработка теории управления процессами привела к ряду выдающихся математических исследований, в которых заложены основы оптимального управления детерминированными и случайными процессами.

Двадцатый век резко изменил представления о прикладной математике. Если раньше в арсенал средств прикладной математики входили арифметика и элементы геометрии, то восемнадцатый и девятнадцатый века добавили к ним мощные методы математического анализа. В наше время трудно указать хотя бы одну значительную ветвь современной математики, которая в той или иной мере не находила бы применений в великом океане прикладных проблем. По-видимому, разделение математики на прикладную и теоретическую потеряло смысл. Вероятно, не математика, а математики разделяются по своим интересам и творческой направленности на прикладников и теоретиков. Одни считают своей основной задачей преодоление трудностей, связанных с решением задач, которые не поддавались усилиям прежних поколений. Эти задачи интересуют их сами по себе, вне связи не только с прикладными вопросами, но и прогрессом математики в целом. Других волнует построение математики в ее основах. Они стремятся так отшлифовать центральные понятия математики, чтобы охватить ими возможно более широкий круг задач. Наконец, есть математики, для которых математика и ее методы существуют не ради самих себя, а в качестве орудия познания законов природы. Конкретная практическая задача для них -- лишь источник размышлений; решая ее, они разрабатывают общие приемы, позволяющие освещать широкий круг различных вопросов. Такой подход особенно важен для прогресса науки. От этого выигрывает не только данная область приложений, но и все остальные, а в первую очередь -- сама теоретическая математика. Именно такой подход к математике заставляет искать новые методы, новые понятия, способные охватить новый круг проблем, он расширяет область математических исследований. Последние десятилетия дают нам множество примеров подобного рода. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить появление в математике таких теперь центральных ее ветвей, как теория случайных процессов, теория информации, теория оптимального управления процессами, теория массового обслуживания, ряд областей, связанных с электронными вычислительными машинами.

Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента еще не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их истолкование. Настоящий математик-прикладник не может ограничиваться каким-либо одним методом и втискивать реальную проблему в известный ему математический аппарат; для каждой реальной проблемы он должен находить те математические средства, которые наиболее соответствуют ее природе. И прав Архимед, когда во втором диалоге говорит, что по сравнению с чистыми геометрами он сделал шаг дальше, указав также на нематематические следствия из теоремы о параболе.

Я убежден, что сейчас больше, чем когда бы то ни было, мы должны обратить внимание на воспитание молодых математиков, которые в математическом аппарате, в математических методах и в результатах приучились бы видеть не просто логически стройную систему знаний, но и возможности их использования для проникновения в тайны природы, управления техническими системами, лучшего использования материальных ресурсов. Очень важно -- и это должно быть главной идеей математического образования, -- чтобы возможно больше молодых математиков были способны сделать этот "следующий шаг", о котором говорит Архимед в книге Реньи.

Математика -- язык науки

По-видимому, впервые четко и ярко о математике как языке науки сказал почти четыреста лет назад великий Галилео Галилей: "Философия написана в грандиозной книге, которая открыта всегда для всех и каждого, -- я говорю о природе. Но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее -- математические формулы". Несомненно, что с тех пор наука добилась огромных успехов и математика была ее верной помощницей. Без математики многие успехи науки и техники были бы просто невозможны. Недаром один из крупнейших физиков современности В.Гейзенберг так охарактеризовал место математики в современной теоретической физике: "Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов".

Для общения и для выражения своих мыслей люди создали величайшее средство -- живой разговорный язык и письменную его запись. Язык не остается неизменным -- он приспосабливается к условиям жизни, обогащается словарным запасом, вырабатывает новые средства для выражения тончайших оттенков мысли. И тем не менее в ряде случаев он оказывается непригодным. В различных областях человеческой деятельности вырабатываются как бы собственные языки, специально приспособленные для точного и краткого выражения мыслей, свойственных определенному виду деятельности. При выдаче рабочего задания на изготовление нового изделия никогда не ограничиваются только словесным описанием: для уточнения размеров, формы и иных особенностей изделия необходим еще чертеж. В какой-то мере чертеж является своеобразным языком, приспособленным для передачи той информации, которую должен сообщить исполнителю конструктор. Он не допускает разночтений и позволяет в наглядной форме передать большое количество сведений, необходимых для успешного выполнения работы. Эта форма общения несравненно удобнее обычной словесной, поскольку словесное описание мало-мальски сложного конструктивного задания было бы настолько громоздким, что в нем мог бы запутаться сам автор. Графическое задание прочтет любой специалист, даже не владеющий русским языком.

В науке особенно важна ясность и точность выражения мыслей. Язык науки не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено в процессе рассуждений. Необходимо также предусмотреть все мыслимые исходы и не пропустить каких-либо, кроме рассмотренных, возможностей. Научное изложение должно быть кратким и вполне определенным. Именно поэтому наука обязана разрабатывать собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Прекрасно сказал известный французский физик Луи де Бройль: "...где можно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой неопределенности, ни для какого неточного истолкования". Но к этому нужно добавить, что математическая символика не только не оставляет места для неточности выражения и расплывчатого истолкования -- математическая символика позволяет вдобавок автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример.

Пусть требуется решить задачу, которая формально сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. С помощью привычной алгебраической символики необходимые действия осуществляются очень просто. Нет нужды в каких-либо специальных рассуждениях: они выполнены раз навсегда для всех подобных систем. Применение набора стандартных правил позволяет без принципиальных затруднений довести решение каждой такой задачи до конца. Представим теперь, что мы лишены языка математических символов и в нашем распоряжении имеется только обычный словесный язык. В таком положении находятся, например, те, кто должен решать алгебраические задачи средствами элементарной арифметики. При этом немедленно возникают ненужные осложнения. Каждая задача становится особой проблемой и для нее нужно разрабатывать специальную систему рассуждений, самый простой вопрос требует серьезного умственного напряжения. Вспомним, как просто решаются сложные арифметические задачи, когда для их решения мы используем простейшую алгебраическую символику. А ведь это одна из простейших задач, с которыми приходится встречаться в науке, планировании, экономике или инженерном деле.

Математическая символика позволяет сжимать запись информации, делать ее обозримой и удобной для последующей обработки. В последние годы появилась новая линия в развитии формализованных языков, связанная с вычислительной техникой и использованием электронных вычислительных машин для управления производственными процессами. Необходимо общение с машиной, надо предоставить ей возможность в каждый момент самостоятельно выбирать правильное в данных условиях действие. Но машина не понимает обычную человеческую речь, с ней нужно "разговаривать" на доступном ей языке. Этот язык не должен допускать разночтений, неопределенности, недостаточности или чрезмерной избыточности сообщаемой информации. В настоящее время разработано несколько систем языков, с помощью которых машина однозначно воспринимает сообщаемую ей информацию и действует с учетом создавшейся обстановки. Именно это и делает электронные вычислительные машины столь гибкими при выполнении сложнейших вычислительных и логических операций.

Не произойдет ли так, что математизация науки, использование формализованных символических языков приведет к отмиранию роли обычного языка в научных и практических работах? В действительности дело обстоит гораздо сложнее -- у каждого языка есть сильные и слабые стороны. В результате каждая отрасль науки вынуждена использовать и обычный и символические языки. Чтобы проследить мысль автора во всех тонкостях, недостаточен только математический язык формул, необходим также текст, написанный или изложенный обычным языком. Язык формул не выводит нас за пределы записанных с их помощью понятий и представлений, он прекрасно приспособлен к получению следствий из предпосылок. Но на математическом языке невозможно проведение далеко идущих аналогий или неожиданных индуктивных выводов. Так его сила превращается в слабость. И здесь на помощь приходит обычный, неформализованный язык с его богатством оттенков и возможностей.

Математика развивается. В ней строятся новые кварталы и сносятся устаревшие здания. Многие мелкие строения объединяются в единые комплексы, а между отдаленными областями проводятся дороги для непосредственной взаимосвязи. Этот своеобразный мир растет вширь и вверх. Но, что особенно важно, он не замыкается в себе, а стремится установить дружеские контакты с другими областями знания и оказать им посильную помощь. Естественно, что в таком большом хозяйстве время от времени приходится проводить не только мелкие ремонтные работы, но и капитальную перестройку, чтобы устаревшие здания и узкие улицы не мешали дальнейшему развитию целого района. Время от времени математикам приходится окинуть взглядом всю математику и ее место в системе наук. При этом неизбежно появляются глубокие философские вопросы. Некоторым из них и посвящена книга Реньи. Я убежден, что ознакомление с ней принесет большую пользу читателям.

Б.Гнеденко
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце