Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями

Оглавление

Предисловие

Глава I. Монотонные и аккретивные операторы

§1.1. Дифференциальные неравенства

1.1.1. Верхнее и нижнее решения. Теоремы о дифференциальных неравенствах (6)

§ 1.2. Системы дифференциальных неравенств

1.2.1. Однородные и неоднородные системы (15)

§ 1.3. Почти периодические функции

1.3.1. Некоторые общие свойства почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве Е (24). 1.3.2. Критерий Бох-нера (25)

§ 1.4. Некоторые теоремы о разрешимости операторных уравнений. 25

1.4.1. Лемма о продолжении гомеоморфизма по параметру (25)

1.4.2. Принцип обобщенного сжатия (27)

;§ 1.5. Монотонные операторы в гильбертовом пространстве.. 28

1.5.1. Некоторые общие свойства монотонных операторов (28)

1.5.2. Линейные монотонные операторы (34). 1.5.3. Решение матричного уравнения Ляпунова для матрицы, заданной в форме Фробениуса (38). 1.5.4. Дифференцируемые монотонные операторы (39). 1.5.5. Геометрическая лемма. Контрпример (40)

§ 1.6. Аккретивные операторы..........41

1.6.1. Субдифференциалы выпуклых функционалов. Дуальное отображение (41). 1.6.2. Тождество между средним арифметическим и средним геометрическим (АГС-тождество) и его приложения (50). 1.6.3. Некоторые свойства аккретивных отображений (61)

§ 1.7. Итерационные методы нахождения корней монотонных и

аккретивных отображений..........72

1.7.1. Нахождение корней липшицевых операторов (72)

1.7.2. Рекуррентные числовые неравенства (73). 1.7.3. Сходимость итерационных процессов (ИП) в общем случае (75)

Глава II. Монотонные дифференциальные уравнения

:§ 2.1. Дефинитный случай

2.1.1. Однозначная разрешимость задачи Коши (84). 2.1.2. Периодические решения (87). 2.1.3. Ограниченные решения (88). 2.1.4. Предкомпактные и почти периодические решения (93). 2.1.5. Непрерывная зависимость от параметра (97). 2.1.6. Уравнения с малым параметром (101). 2.1.7. Уравнения с большим параметром (104)

§ 2.2. (?/, %, а)-монотонные уравнения

2.2.1. Периодические решения (108). 2.2.2. Ограниченные ре-

Оглавление

шения (109). 2.2.3. Предкомпактные и почти периодические решения (111). 2.2.4. Непрерывная зависимость решений (U, х, а)-монотонного уравнения от параметра (113). 2.2.5. Уравнения с малым параметром. Метод усреднения (115). 2.2.6. Уравнения с большим параметром (116). 2.2.7 (U, х, а)-монотонность f необходимое условие определенного поведения решений (119)

§ 2.3. Индефинитный случай

2.3.1. Ограниченные решения индефинитно монотонных уравнений (120). 2.3.2. Почти периодические решения (122). 2.3.3. Уравнения с малым параметром. Метод усреднения (123). 2.3.4. Уравнения с большим параметром (124). 2.3.5. Раствор двух подпространств (126). 2.3.6. Существование и свойства многообразий условной устойчивости (131)

§ 2.4. Краевые задачи с нелинейными краевыми условиями

2.4.1. Дефинитный случай (136). 2.4.2. (U, х, а)-монотонные уравнения (138). 2.4.3. Индефинитный случай (139)

§ 2.5. Уравнения высших порядков

2.5.1. Уравнения второго порядка (144). 2.5.2. Уравнения высших порядков (145)

Глава III. Метод Галеркина в условиях монотонности

§ 3.1. Ряды Фурье векторнозначных функций

3.1.1. Равенство Парсеваля (149). 3.1.2. Оценки коэффициентов ряда Фурье в зависимости от гладкости функций. Оценки частичных сумм и остатков в различных нормах (152). 3.1.3. Оценки норм тригонометрических полиномов (154)

§ 3.2. Нелинейный оператор, порождаемый дифференциальным уравнением, в пространстве 4?о

3.2.1. Монотонность оператора суперпозиции (155)

§ 3.3. Однозначная разрешимость галеркинских систем.... 3.3.1. Дефинитный случай (158)

§ 3.4. Сходимость галеркинских приближений. Индефинитный случай 3.4.1. Однозначная разрешимость галеркинских систем. Оценка скорости сходимости (164)

§ 3.5. Сходимость галеркинских приближений. (U, х, а)-монотонные

уравнения

3.5.1. Однозначная разрешимость галеркинских систем. Оценка скорости сходимости (168)

§ 3.6, Итерационные методы решения галеркинских систем

3.6.1. Монотонность конечных операторов, порождаемых галер-кинскими системами (172)

Глава IV. Аккретивные дифференциальные уравнения

§ 4.1. Однозначная разрешимость задачи Коши

4.1.1. Локальная теорема существования. Продолжимость (177)

§ 4.2. Различные классы решений аккретивных дифференциальных

уравнений

4.2.1. Периодические и ограниченные на всей оси решения (181). 4.2.2. Предкомпактные и почти периодические решения (183)

Литературные указания

Литература