Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах.
(Лекции на математической олимпиаде в МГУ). Изд. 5, испр.

Оглавление

Предисловие

В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на математической олимпиаде в МГУ. Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н.М.Коробову, написавшему по конспекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа.

Книга доступна школьникам старших классов.

Введение

Теория чисел изучает в основном арифметические свойства чисел натурального ряда, другими словами, – целых положительных чисел, и принадлежит к числу старейших отделов математики. Одной из центральных задач так называемой аналитической теории чисел является задача о распределении простых чисел в натуральном ряде. Простым числом называется любое целое положительное число, большее единицы, делящееся без остатка только на себя и единицу. Задача о распределении простых чисел в натуральном ряде заключается в изучении правильности поведения количества простых чисел, меньших некоторого числа $N$, при больших значениях $N$. Первый результат в этом направлении мы находим еще у Евклида (IV век до н.э.), именно доказательство бесконечности ряда простых чисел; второй результат после Евклида был получен великим русским математиком П.Л.Чебышевым во второй половине XIX века. Другая основная задача теории чисел – это задача о представлении целых чисел суммами целых чисел определенного типа, например, проблема представления нечетных чисел суммой трех простых чисел. Последняя проблема, проблема Гольдбаха, была решена крупнейшим современным представителем теории чисел – советским математиком И.М.Виноградовым.

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена также одному из наиболее интересных разделов теории чисел, а именно, – решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (II–III век н.э.) и лучшие математики более близкой к нам эпохи – П.Ферма (XVII век), Л.Эйлер (XVIII век), Ж.Л.Лагранж (XVIII век) и другие. Несмотря на усилия многих поколений выдающихся математиков, в этой области отсутствуют сколько-нибудь общие методы типа метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова, позволяющего решать самые различные проблемы аналитической теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

Решение уравнений в целых числах имеет не только теоретический интерес. Такие уравнения иногда встречаются в физике.

Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с многими проблемами теории чисел. Кроме того, элементарные части теории таких уравнений, изложенные в данной книге, могут быть с успехом использованы для расширения математического кругозора учащихся средней школы и студентов педагогических институтов.

В этой книге изложены некоторые основные результаты, полученные в теории решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в ней, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

Об авторе

Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в 1906 г. в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В.В.Степанов и А.Я.Хинчин. С 1931 г. – профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, а с 1938 г. – заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.

Основные научные интересы А.О.Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А.О.Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А.О.Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.