Показать ещё...
Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы, как известно, сводится (при весьма общих предположениях) к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического уравнения линеаризованной системы. Это объясняет живой и непрекращающийся интерес, проявляемый математиками и инженерами к задаче о характеризации многочленов, корни которых расположены слева от мнимой оси (мы будем называть такие многочлены устойчивыми). Цель этой книги – изложить решение задачи о характеризации устойчивых многочленов в максимально простом виде, доступном каждому любителю математики, владеющему алгеброй в объеме, лишь незначительно превышающем объем курса средней школы (требуется знать формулировку основной теоремы алгебры, уметь строить графики простейших рациональных функций, владеть определением предела, уметь обращаться с комплексными числами и т.п.). Кроме того, желательно (но для основного текста необязательно) владеть понятием производной и знать, как производная применяется в задаче об отыскании точек локального экстремума. Исключением являются последние три пункта главы 3, где волей-неволей необходимо предполагать владение теорией определителей (поскольку определители входят в формулировку доказываемых в этих пунктах теорем). Основной текст книги содержит три главы, разбитые на пункты. В п.1 первой, вводной, главы обсуждается проблема локализации корней многочлена, дается определение устойчивого многочлена и объясняется роль таких многочленов в задаче об устойчивости положений равновесия динамических систем. В п.2 доказывается простейший необходимый признак устойчивости многочлена (положительность всех коэффициентов) и приводится пример, показывающий его недостаточность. В п.3 вкратце излагается история задачи об устойчивых многочленах. Глава 2 посвящена критериям устойчивости "теоретического " плана, имеющим дело с числом полуоборотов или индексом. В п.1 этой главы эксплуатируется принцип аргумента теории функций комплексного переменного, в п.2 доказывается теорема Эрмита – Билера о перемежаемости корней, в п.3 излагаются определение и свойства индекса Коши рациональной функции, который в заключительном п.4 применяется к установлению двух критериев устойчивости (одного классического, идущего, по существу, от Штурма и Эрмита, и другого более нового, принадлежащего Льенару и Шипару). В главе 3 рассматриваются критерии "вычислительного " характера, позволяющие в конечное число арифметических действий установить по коэффициентам многочлена, устойчив он или нет. В вводном п.1 излагается классический метод Штурма вычисления индекса рациональной функции (ряд Штурма). Здесь же, в порядке некоторого отступления от темы, доказывается теорема Штурма о числе вещественных корней многочлена на данном интервале. В п.2 на основе результатов п.1 строится алгорифм Рауса, а в п.3 выводятся детерминантные условия Гурвица и Льенара – Шипара. В п.4 результаты п.3 передоказываются с помощью квадратичных форм, а в п.5 – на основе метода Шура. Книга содержит также дополнительную главу 4, в которой обсуждается вопрос о перенесении результатов предыдущих глав на целые функции. В первых трех пунктах этой главы доказывается теорема Чеботарева, являющаяся обобщением на целые функции теоремы Эрмита – Билера. Оказывается, что эту теорему можно доказать на сравнительно элементарном уровне, не предполагающем почти никаких предварительных сведений из теории функций комплексного переменного, кроме принципа максимума модуля. Для читателя, совершенно незнакомого с теорией функций, в п.2 гл.4 вкратце напоминается весь необходимый материал. Последние четыре пункта гл.4, по существу не зависящие от первых трех, посвящены изложению результатов Л.С.Понтрягина об устойчивых квазимногочленах. Хотя гл.4 и труднее предыдущих глав, но все же она вполне посильна внимательному и трудолюбивому читателю, знания которого лишь незначительно выходят за пределы курса средней школы (и который готов принять на веру теоремы из п.2 гл.4). М.М.Постников
Постников Михаил Михайлович Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.
|
2023. 720 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) URSS. 2024. 800 с. Мягкая обложка. 37.9 EUR
ВЕРСАЛЬ: ЖЕЛАННЫЙ МИР ИЛИ ПЛАН БУДУЩЕЙ ВОЙНЫ?. 224 стр. (ТВЁРДЫЙ ПЕРЕПЛЁТ) 11 ноября 1918 года в старом вагоне неподалеку от Компьеня было подписано перемирие, которое означало окончание Первой мировой войны. Через полгода, 28 июня 1919 года, был подписан Версальский договор — вердикт, возлагавший... (Подробнее) 2023. 696 с. Твердый переплет в суперобложке. 119.9 EUR
Опираясь на новейшие исследования, историк Кристофер Кларк предлагает свежий взгляд на Первую мировую войну, сосредотачивая внимание не на полях сражений и кровопролитии, а на сложных событиях и отношениях, которые привели группу благонамеренных лидеров к жестокому конфликту. Кларк прослеживает... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) URSS. 2024. 248 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
В книге изложены вопросы новой области современной медицины — «Anti-Ageing Medicine» (Медицина антистарения, или Антивозрастная медицина), которая совмещает глубокие фундаментальные исследования в биомедицине и широкие профилактические возможности практической медицины, а также современные общеоздоровительные... (Подробнее) URSS. 2024. 240 с. Твердый переплет. 23.9 EUR
Предлагаемая вниманию читателей книга, написанная крупным биологом и государственным деятелем Н.Н.Воронцовым, посвящена жизни и творчеству выдающегося ученого-математика, обогатившего советскую науку в области теории множеств, кибернетики и программирования — Алексея Андреевича Ляпунова. Книга написана... (Подробнее) 2023. 416 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Вам кажется, что экономика — это очень скучно? Тогда мы идем к вам! Вам даже не понадобится «стоп-слово», чтобы разобраться в заумных формулах — их в книге нет! Все проще, чем кажется. Автор подаст вам экономику под таким дерзким соусом, что вы проглотите ее не жуя! Вы получите необходимые... (Подробнее) |