URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Постников М.М. Устойчивые многочлены
Id: 102636
 
212 руб.

Устойчивые многочлены. Изд.3

URSS. 2009. 176 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-354-01192-6.

 Аннотация

Книга посвящена изложению основ теории устойчивых многочленов, играющих основную роль в проблемах устойчивости систем автоматического регулирования и других динамических систем. На простом элементарном материале книга вводит в круг важных идей классической алгебры и анализа. В последней главе, более трудной по содержанию, изложены основные результаты об устойчивости целых функций и, в частности, квазимногочленов.

Для школьников старших классов, студентов математических факультетов вузов и всех любителей математики.


 Оглавление

Предисловие
Глава 1. Вводная
 1.Постановка задачи
  Многочлены и их корни. -- Задача о расположении корней. -- Устойчивые многочлены.
 2.Многочлены малых степеней и теорема Стодолы
  Устойчивые многочлены первой и второй степени, -- Многочлены с положительными коэффициентами.
 3.История задачи
  Максвелл. -- Вышнеградский. -- Эрмит. -- Раус. -- Стодола и Гурвнц, -- Льенар и Шипар.
Глава 2. Теоретическая
 1.Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
  Многочлены g и h. -- Амплитудно-фазовая характеристика. -- Многочлены без чисто мнимых корней. -- Многочлены с вещественными коэффициентами. -- Амплитудно-фазовая характеристика многочленов третьей степени. -- Фазовая функция и фазовая характеристика. -- Фазовые характеристики многочленов третьей степени.- Фазовая функция произведения.- Амплитудно-фазовый критерий устойчивости.- Критерий Вышнеградского.
 2.Теорема Эрмита -- Билера
  Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого многочлена. -- Многочлены с перемежающимися корнями. -- Теорема Эрмита -- Билера.
 3.Индекс рациональной функции
  Полюсы рациональной функции и ее главные коэффициенты. -- Индекс рациональной функции. -- Простейшие свойства индекса, е> Индекс инверсной функции.
 4.Индекс и условие устойчивости
  Устойчивые многочлены и индекс функций h/g и g/h. -- Многочлены с вещественными положительными коэффициентами.
Глава 3. Вычислительная
 1.Вычисление индекса
  Алгорифм вычисления индекса. -- Ряд Штурма. -- Число перемен знака. *^ Теорема Штурма об индексе. -- Теорема Штурма о числе корней.
 2.Теорема Рауса
  Индекс на всей оси. -- Регулярный случай. -- Формулы деления с остатком. -- Алгорифм вычисления индекса в регулярном случае. -- Критерий того, что индекс рациональной функции равен степени знаменателя. -- Критерий Рауса.
 3.Теоремы Гурвица и Льенара -- Шипара
  Матрица Гурвица многочлена. -- Критерий Гурвица устойчивости многочлена с вещественными коэффициентами. -- Критерий Гурвица устойчивости многочлена с произвольными комплексными коэффициентами. -- Матрица Гурвица многочленов одинаковой степени. -- Критерий Льенара -- Шипара.
 4.Квадратичная форма, ассоциированная с рациональной функцией
  Квадратичные формы. -- Разложение рациональной функции на простейшие дроби. -- Вычет рациональной функции в полюсе. -- Разложение рациональной функции в ряд. -- Ганкелевы формы, ассоциированные с рациональной функцией. -- Рациональные функции, все полюсы которых вещественны и просты. -- Рациональные функции, для которых ассоциированная ганкелева форма положительно определена.   Редукция условия Сильвестра к условию Гурвица.
 5.Теорема Шура
  Многочлен f*. -- Определение и свойства преобразования Шура. -- Многочлен F(z, дзета). -- Многочлен fдзета. -- Теорема Шура,- Вспомогательная лемма. -- Доказательство теоремы Гурвица.
Глава 4. Дополнительная
 1.Теоремы Чеботарева и Понтрягина
  Целые функции. -- Амплитудно-фазовая характеристика целой функции. -- Условия Эрмита -- Билера. -- Вещественные пары целых функций. -- Сильно устойчивые целые функции и формулировка теоремы Чеботарева. -- Квазимногочлены. -- Результаты Понтрягина.
 2.Необходимые сведения из теории функций комплексного переменного
  Регулярные функции. -- Принцип максимума модуля. -- Теорема о неявной функции. -- Мероморфные функции. -- Принцип аргумента. -- Теорема Руше. -- Лемма о существовании корня.
 3.Доказательство теоремы Чеботарева
  Равносильность условий (А), (Б) и (В). -- Доказательство теоремы Чеботарева. -- Доказательство предложений о вещественных парах функций из п. 1.
 4.Квазимногочлены без главного члена
  Две вспомогательные леммы. -- Доказательство теоремы.
 5.Доказательство теоремы Понтрягина
  Квазимногочлены с постоянными коэффициентами. -- Квазимногочлены с переменными коэффициентами. -- Доказательство теоремы Понтрягина.
 6.Вещественные тригонометрические многочлены
  Введение. -- Тригонометрические многочлены с постоянными коэффициентами. -- Тригонометрические многочлены с главным членом. -- Число корней тригонометрического многочлена.
 7.Теорема Эрмита -- Билера для квазимногочленов
  Квазимногочлены и тригонометрические многочлены. -- Теорема Эрмита -- Билера для квазимногочленов.
Литература

 Предисловие

Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы, как известно, сводится (при весьма общих предположениях) к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического уравнения линеаризованной системы. Это объясняет живой и непрекращающийся интерес, проявляемый математиками и инженерами к задаче о характеризации многочленов, корни которых расположены слева от мнимой оси (мы будем называть такие многочлены устойчивыми).

Цель этой книги -- изложить решение задачи о характеризации устойчивых многочленов в максимально простом виде, доступном каждому любителю математики, владеющему алгеброй в объеме, лишь незначительно превышающем объем курса средней школы (требуется знать формулировку основной теоремы алгебры, уметь строить графики простейших рациональных функций, владеть определением предела, уметь обращаться с комплексными числами и т.п.). Кроме того, желательно (но для основного текста необязательно) владеть понятием производной и знать, как производная применяется в задаче об отыскании точек локального экстремума. Исключением являются последние три пункта главы 3, где волей-неволей необходимо предполагать владение теорией определителей (поскольку определители входят в формулировку доказываемых в этих пунктах теорем).

Основной текст книги содержит три главы, разбитые на пункты. В п.1 первой, вводной, главы обсуждается проблема локализации корней многочлена, дается определение устойчивого многочлена и объясняется роль таких многочленов в задаче об устойчивости положений равновесия динамических систем. В п.2 доказывается простейший необходимый признак устойчивости многочлена (положительность всех коэффициентов) и приводится пример, показывающий его недостаточность. В п.3 вкратце излагается история задачи об устойчивых многочленах.

Глава 2 посвящена критериям устойчивости "теоретического " плана, имеющим дело с числом полуоборотов или индексом. В п.1 этой главы эксплуатируется принцип аргумента теории функций комплексного переменного, в п.2 доказывается теорема Эрмита -- Билера о перемежаемости корней, в п.3 излагаются определение и свойства индекса Коши рациональной функции, который в заключительном п.4 применяется к установлению двух критериев устойчивости (одного классического, идущего, по существу, от Штурма и Эрмита, и другого более нового, принадлежащего Льенару и Шипару).

В главе 3 рассматриваются критерии "вычислительного " характера, позволяющие в конечное число арифметических действий установить по коэффициентам многочлена, устойчив он или нет. В вводном п.1 излагается классический метод Штурма вычисления индекса рациональной функции (ряд Штурма). Здесь же, в порядке некоторого отступления от темы, доказывается теорема Штурма о числе вещественных корней многочлена на данном интервале. В п.2 на основе результатов п.1 строится алгорифм Рауса, а в п.3 выводятся детерминантные условия Гурвица и Льенара -- Шипара. В п.4 результаты п.3 передоказываются с помощью квадратичных форм, а в п.5 -- на основе метода Шура.

Книга содержит также дополнительную главу 4, в которой обсуждается вопрос о перенесении результатов предыдущих глав на целые функции. В первых трех пунктах этой главы доказывается теорема Чеботарева, являющаяся обобщением на целые функции теоремы Эрмита -- Билера. Оказывается, что эту теорему можно доказать на сравнительно элементарном уровне, не предполагающем почти никаких предварительных сведений из теории функций комплексного переменного, кроме принципа максимума модуля. Для читателя, совершенно незнакомого с теорией функций, в п.2 гл.4 вкратце напоминается весь необходимый материал. Последние четыре пункта гл.4, по существу не зависящие от первых трех, посвящены изложению результатов Л.С.Понтрягина об устойчивых квазимногочленах. Хотя гл.4 и труднее предыдущих глав, но все же она вполне посильна внимательному и трудолюбивому читателю, знания которого лишь незначительно выходят за пределы курса средней школы (и который готов принять на веру теоремы из п.2 гл.4).

М.М.Постников

 Об авторе

Постников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце