URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
599 руб.

Введение в теорию линейных нестационарных систем

1999. 408 с. Твердый переплет. Букинист. Состояние: 4+. .

 Аннотация

В книге дано систематическое изложение основных вопросов теории линейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, при этом исследуются как свободные системы (в которых отсутствуют входные воздействия), так и системы, подверженные влиянию управляющих параметров. Приведены краткие сведения из общей теории линейных систем (существование решений, элементы проблемы устойчивости и др.). На основании понятия приводимости к стационарной форме относительно абстрактной группы линейных преобразований с единой точки зрения изучены приводимые по Ляпунову системы, системы с периодическими коэффициентами, правильные системы, системы, приводимые относительно групп почти периодических, полиномиальных и ортогональных преобразований. Исследованы вполне, дифференциально и равномерно управляемые и наблюдаемые системы, получены условия управляемости и наблюдаемости в классах многочленов Чебышева и обобщенных функций конечного порядка. Установлены неулучшаемые в общем случае признаки приводимости систем управления (наблюдения) к каноническим формам -- скалярным уравнениям n-го порядка (двойственным им системам) -- с помощью различных групп преобразований. Дано применение канонических форм к задачам стабилизации, управления спектром, оценивания элементов движения и др. Рассмотрены вопросы устойчивости, управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости нелинейных систем по линейному приближению.

Книга рассчитана на специалистов в областях дифференциальных уравнений, механики и теории управления. Может быть полезна студентам вузов, обучающимся в этих областях.

Илл. 16. Библиогр. 217 назв.


 Содержание

Предисловие
Глава 1. Системы линейных дифференциальных уравнений
 § 1.Существование решений и некоторые их свойства
 § 2.Системы, интегрируемые в замкнутой форме
 § 3.Элементы теории устойчивости
 § 4.Характеристические показатели линейных систем
 § 5.Правильные системы
 Комментарии к главе 1
Глава 2. Приводимые системы относительно различных групп преобразований (G-приводимые системы)
 § 6.G-приводимые системы. Общие понятия
 § 7.Группа Ляпунова. Приводимые системы
 § 8.Системы с периодическими коэффициентами
 § 9.Экспоненциальная группа. Правильные системы
 § 10.Применение других групп преобразований
 Комментарии к главе 2
Глава 3. Управляемые и наблюдаемые системы
 § 11.Вполне управляемые системы
 § 12.Дифференциальная управляемость
 § 13.Наблюдаемость
 § 14.Управляемость и наблюдаемость в классе функций Чебышева
 § 15.Равномерная управляемость и наблюдаемость
 Комментарии к главе 3
Глава 4. Канонические формы систем управления и наблюдения
 § 16.Действия групп преобразований на множествах систем управления и наблюдения
 § 17.Общая схема построения канонических форм
 § 18.Канонические формы относительно конкретных групп преобразований
 § 19.Канонические формы систем наблюдения
 § 20.Применение канонических форм
 Комментарии к главе 4
Глава 5. Квазилинейные системы
 § 21.Необходимые сведения из теории нелинейных систем дифференциальных уравнений
 § 22.Устойчивость по линейному приближению
 § 23.Локальная управляемость и наблюдаемость нелинейных систем
 § 24.Стабилизируемость по линейному приближению
 Комментарии к главе 5
Литература

 Предисловие

В настоящей монографии рассматриваются некоторые математические задачи теории линейных дифференциальных систем с переменными параметрами, причем исследуются как свободные системы (в которых отсутствуют входные воздействия), так и системы, подверженные влиянию управляющих сил. Изложение группируется вокруг следующих фундаментальных проблем теории систем: устойчивости, управляемости и наблюдаемости, при этом на основании таких понятий как стабилизируемость, управление спектром, асимптотическое оценивание состояний и др. выясняются глубокие взаимосвязи указанных проблем.

Материал книги составлен на базе курса лекций, в течение ряда лет читаемого автором для студентов-механиков механико-математического факультета в Белорусском государственном университете. Вследствие этого требования к математической подготовке, необходимой для понимания текста книги, не превышают современного стандартного инженерного образования и предполагают знание основ теоретической механики, математического анализа, линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Математические факты, выходящие за пределы названных дисциплин, поясняются по ходу изложения материала, при этом даются ссылки на соответствующие источники.

Книга состоит из пяти глав. Первая из них типична для любого руководства по обыкновенным дифференциальным уравнениям; она вводит необходимую терминологию и сообщает стандартные факты о существовании и единственности решений, зависимости их от начальных условий и параметров, представляет общие результаты из теории устойчивости, дает понятия о характеристических показателях решений и о правильных по Ляпунову системах. В этой же главе рассмотрены классы уравнений, интегрируемых в замкнутом виде, которые являются источником многочисленных примеров, конструируемых в дальнейшем.

Вторая глава посвящена приводимым системам относительно различных групп линейных нестационарных преобразований. Хотя здесь используется классическая идея А.М.Ляпунова о преобразовании системы к простейшей (стационарной) форме, однако в методическом плане реализуемый подход возможно окажется новым. Сначала мы исходим из абстрактной группы G преобразований, сохраняющей некоторые свойства решений, получаем общие условия G-приводимости, а затем, конкретизируя выбор G, приходим к различным, как известным, так и к ранее явно не исследуемым, классам приводимых систем. Такой подход, помимо очевидной универсальности, полезен еще тем, что позволяет более детально классифицировать типы групп G, а значит и типы приводимых систем. Так, если у A.M.Ляпунова набор групп G, по сути дела, исчерпывается группой Ляпунова и экспоненциальной группой, то на основании понятия G-приводимости естественным образом приходим не только к группе Ляпунова, но и к ее подгруппам, состоящим из периодических, почти периодических, ортогональных матриц; в качестве подгруппы экспоненциальной группы используем также полиномиальную группу, элементы которой суть полиномиальные матрицы с постоянными ненулевыми определителями. Если говорить об основных результатах главы, то следует указать, что в ней подробно исследованы приводимые по Ляпунову системы, установлен ряд условий приводимости, описана каноническая форма приводимой системы. В качестве частного случая приводимых систем изучены уравнения с периодическими коэффициентами, которые, как известно, приводимы относительно более узкой группы периодических матриц. Если G = Ехр(n) -- так называемая экспоненциальная группа, сохраняющая характеристические показатели непрерывных функций, то установлено, что приводимость относительно нее эквивалентна свойству правильности. Доказаны некоторые признаки приводимости относительно ортогональной, почти периодической и полиномиальной групп.

В третьей главе в структуре линейной системы появляются новые элементы, -- управляющее воздействие и выходной сигнал, -- и, как следствие этого, возникают новые понятия -- управляемость и наблюдаемость (понимаемые в различных смыслах, которые далее подробно анализируются). Условия полной и дифференциальной управляемости и наблюдаемости (неявные критерии) излагаются в соответствии с работами [58, 75, 82, 93, 196]. Что же касается коэффициентных условий, выраженных через матрицы управляемости и наблюдаемости, то они даются в формулировке, существенно ослабляющей ограничения на гладкость параметров (по сравнению с традиционными условиями, требующими дифференцируемость матрицы B(t) п -- 1 раз, а матрицы A(t) -- n -- 2 раза).

Использование многочленов Чебышева в качестве управляющих воздействий или разрешающих операций, осуществленное в §14, насколько известно автору, до настоящего времени в монографической литературе не освещалось. Оказывается, что если перевод системы из произвольного состояния в любое другое состояние возможен с помощью кусочно-непрерывных управлений, то он возможен и в сравнительно узком классе управляющих воздействий -- в классе многочленов Чебышева; аналогичный результат имеет место и для систем наблюдения: полностью наблюдаемая система наблюдаема в классе многочленов Чебышева (как разрешающих операций).

Если переход к многочленам Чебышева существенно сужает выбор входных воздействий, то переход к обобщенным импульсным управлениям, принятый в §15, расширяет возможности управления, в частности, позволяет мгновенно менять состояние системы, что естественным образом приводит к понятию равномерной управляемости (и, двойственным образом, к понятию равномерной наблюдаемости). Импульсные управления являются также эффективным средством регулирования в условиях влияния на систему неизмеряемых помех, что продемонстрировано на задаче стабилизации заданной траектории.

Четвертая глава, посвященная каноническим формам, имеет не только самостоятельное значение, но и является связующей между теорией свободных систем и теорией систем управления-наблюдения. В этой главе для систем управления и наблюдения реализуется идеология второй главы, заключающаяся, как отмечалось выше, в приведении исходной системы к простейшему виду с помощью некоторой группы G линейных преобразований. В качестве простейших здесь рассматриваются системы, тождественные скалярному уравнению n-го порядка с, вообще говоря, переменными коэффициентами. Описаны неулучшаемые условия на параметры системы, позволяющие утверждать, что она имеет единственную каноническую форму относительно абстрактной группы G. Рассмотрены конкретные реализации этой группы (группа Ляпунова, экспоненциальная группа и их подгруппы) и указаны соответствующие признаки существования канонических форм. Дано применение таких форм к проблемам синтеза нерезонансных систем, управления спектром, стабилизации, асимптотического оценивания состояний. Показано, что если система управления допускает каноническую форму относительно группы G, то существует такая линейная обратная связь, что замкнутая система G-приводима в смысле второй главы (тем самым решена задача синтеза G-приводимых систем).

Исследование линейных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных уравнений по их линейному приближению. Пятая глава и посвящена выяснению тех условий, при выполнении которых то или иное свойство линейного приближения наследуется исходной нелинейной системой. Для полноты изложения приведены необходимые факты из общей теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (существование и единственность решений, их продолжимость; зависимость от начальных данных, параметров и возмущений правой части; элементы теории устойчивости). Установлены классические теоремы А.М.Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, когда оно приводимо или правильно; затронуты проблемы устойчивости периодических решений. Изучены вопросы управляемости и наблюдаемости квазилинейных систем, а именно, показано, что если линейное приближение полностью управляемо (наблюдаемо) на заданном отрезке времени, то нелинейная система локально нуль-управляема (локально наблюдаема) на этом же отрезке. Теория канонических форм, развитая в четвертой главе, оказалась эффективной и для стабилизации нелинейных уравнений по линейному приближению. Так, если система линейного приближения обладает канонической формой относительно группы Ляпунова или относительно экспоненциальной группы, то нулевое решение нелинейного уравнения стабилизируется до асимптотически устойчивого некоторой обратной связью вида и = d(t)x + rho(i,x), где d(t) -- непрерывная вектор-строка,

rho(t,X) -- "малая" нелинейная функция.

Как показывает приведенный анализ содержания глав, в настоящей книге не отражены совсем или освещены в недостаточной степени такие важные вопросы теории систем как оптимальное управление, численные методы, оценивание элементов движения и управления в условиях неопределенности и др. Объясняется это следующей основной причиной: объем результатов по теории линейных систем, накопленный к настоящему времени, настолько велик, что его невозможно вместить в одну книгу разумного размера; кроме того, по каждому из названных направлений имеются специальные монографии (например, [28, 33, 34, 71, 75, 85, 93, 97, 114, 122, 132, 136, 150, 173, 182, 184, 207]), из которых читатель может получить необходимые ему сведения.

В силу только что названной причины, библиография по теории линейных систем огромна, вследствие чего не представляется возможным не только сделать обзор ее, но и дать простое перечисление соответствующих публикаций. Поэтому мы ограничились упоминанием лишь тех работ, которые непосредственно связаны с вопросами, излагаемыми в книге. Такой ограниченный список литературы неизбежно неполон и в нем, вероятно, не нашли отражение некоторые важные труды, близкие к содержанию монографии; пропуск их в перечне публикаций следует рассматривать как непреднамеренную ошибку, за которую автор приносит свои извинения. В книге принята сквозная нумерация параграфов. Основные определения, утверждения, примеры и формулы нумеруются двумя числами; первое число означает номер параграфа, второе -- порядковый номер внутри параграфа.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному редактору А.И.Астровскому и рецензентам Н.А.Изобову и С.А.Минюку, замечания которых способствовали значительному улучшению книги. Я многим обязан сотрудникам Института математики Национальной академии наук Беларуси Т.И.Писанко, Л.И.Прокопчук, А.А.Сенько, Т.Н.Терехович, подготовившим рукопись к изданию, и выражаю им искреннюю благодарность. Я признателен также Белорусскому республиканскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку.

И.В.Гайшун
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце