URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля
Id: 1023
 
549 руб.

Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля

URSS. 2000. 360 с. Твердый переплет. ISBN 5-8360-0062-X.

 Аннотация

В монографии исследуется проблема построения асимптотических решений уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности при стремлении малого параметра к нулю. Данные уравнения возникают в статистической физике и в квантовой теории большого числа полей. Рассмотрена проблема перенормировки квантовой теории поля в гамильтоновом формализме, в котором возникают дополнительные трудности, связанные с расходимостями Штюкельберга и теоремой Хаага. Отмечено, что асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений с малым параметром при операторе дифференцирования и развиваемые в монографии асимптотические методы решения задач статистической физики и квантовой теории поля можно рассмотреть с единой точки зрения, если ввести понятие абстрактного канонического оператора.

Книга рассчитана на научных работников --- специалистов в области асимптотических методов, статистической физики, квантовой теории поля, а также на аспирантов и студентов соответствующих специальностей.


 Предисловие

В книге рассматривается проблема построения приближенных решений уравнений для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности при стремлении малого параметра к нулю. Данные уравнения часто встречаются в приложениях. В то же время, известные асимптотические методы [] применимы только к уравнениям для функций фиксированного числа аргументов.

В книге развивается новый асимптотический метод, позволяющий строить аппроксимации для функций большого числа аргументов. При этом оказывается, что различные уравнения, отвечающие различным физическим задачам, могут быть исследованы с помощью единого метода.

В статистической физике часто исследуется задача N классических частиц, находящихся во внешнем поле и взаимодействующих между собой, при следующих предположениях: внешний потенциал порядка единицы, а коэффициент при потенциале взаимодействия равен1/N. Данная физическая задача отвечает многочастичному уравнению Лиувилля (уравнение (9) 3.1 книги) для функции плотности распределения вероятности, которая зависит от 6N+1 аргументов, один из которых играет роль времени,3N аргументов являются координатами частиц,3N -- импульсами.

Известные методы исследования этой проблемы при больших N [] заключаются в следующем. Вместо задачи о построении асимптотики дляN-частичной функции распределения вероятности рассматривается задача о построении аппроксимаций для так называемых k-частичных распределений, получающихся из N-частичной плотности интегрированием по всем аргументам, кроме6k+1 (см. п.3.1.4). Эти частичные распределения удовлетворяют цепочке уравнений ББГКИ (Боголюбова--Борна--Грина--Кирквуда--Ивона) [] (см. п.2.1.3). Исследование этой цепочки уравнений позволяет построить асимптотику для частичных распределений. Эта асимптотика выражается через решение известного в статистической физике уравнения Власова. Эту асимптотику можно использовать для построения аппроксимаций средних значений наблюдаемых величин специального вида.

Оказывается, что по известным аппроксимациям для частичных распределений нельзя, вообще говоря, однозначно найти аппроксимации при  для средних значений от ограниченных равномерно по N наблюдаемых общего вида. Для вычисления таких средних значений необходимо использовать аппроксимацию не для функций конечного числа аргументов, а для N-частичного распределения. Асимптотика N-частичной плотности не может быть найдена с помощью асимптотического анализа цепочки ББГКИ, для построения такой асимптотики необходим принципиально новый метод.

Именно такой метод и развивается в монографии. Мы строим асимптотику решения задачи Коши для многочастичного уравнения Лиувилля. Асимптотическая формула выражается не только через решение известного уравнения Власова [], но и через решения новых уравнений. Соответствующие асимптотические формулы приведены в §3.1 и 3.4 книги.

Построенные асимптотики позволяют по-новому взглянуть на проблему хаоса. Со времен Больцмана в статистической физике известно предположение о молекулярном хаосе, которое заключается в том, что частицы являются независимыми, т.е. N-частичная функция плотности распределения вероятности распадается на произведение одночастичных. Ослабленная формулировка этого предположения, рассмотренная М.Кацем [], заключается в том, что корреляционные функции конечного ранга распадаются при больших N на произведения одночастичных функций. Это свойство было доказано методом цепочек ББГКИ. Развиваемый в монографии метод позволяет не только подтвердить данный результат, но и построить аппроксимацию для N-частичной плотности, которая равна в начальный момент времени произведению одночастичных. Оказывается, что в остальные моменты времениN-частичная плотность не близка к произведению одночастичных, т.е. гипотеза о сохранении хаоса в сильном смысле нарушается. Аналогичные аппроксимации построены также для температурного канонического распределения Гиббса в равновесной статистической механике.

Помимо задач классической статистической механики, развиваемый в книге метод построения асимптотических решений многочастичных уравнений позволяет рассматривать и задачи квантовой механики многих частиц и квантовой статистики. Данные задачи также исследовались ранее [] методом цепочек ББГКИ [] по аналогии с задачей многих классических частиц; строились аппроксимации для величин, выражающихся через многочастичные функции, а не для самих многочастичных функций. Эти асимптотики выражаются через решения известных уравнений самосогласованного поля (Хартри и Хартри--Вигнера).

В квантовой механике состояния системы N частиц задаются в фиксированный момент времени N-частичными волновыми функциями -- функциями N аргументов, являющихся координатами частиц. Эти функции удовлетворяют эволюционному уравнению Шредингера. В случае, если внешний потенциал порядка единицы, а потенциал взаимодействия между частицами порядкаO(1/N), эволюционное уравнение принимает вид формулы (1) 3.1, к нему применим развиваемый в книге метод. Многочастичное уравнение Вигнера также может быть исследовано с помощью этого метода. Асимптотики для многочастичной функции, приведенные в §3.2 и 3.3, выражаются не только через решения известных уравнений самосогласованного поля, но и через решения новых уравнений. Исследована проблема сохранения хаоса в квантовом случае.

Задача о спектре многочастичного гамильтониана в квантовой механике также является весьма актуальной. Н.Н.Боголюбовым [] был найден асимптотический спектр в случае, если внешний потенциал для системы N частиц равен нулю, а потенциал взаимодействия зависит только от разности координат частиц. Н.Н.Боголюбов показал также, что этот спектр отвечает явлению сверхтекучести. Развиваемый в монографии подход позволяет строить серии асимптотических собственных значений и собственных функций многочастичного гамильтониана и исследовать вопрос о сверхтекучести при наличии внешнего поля. Эти серии построены в 3.3.

Проблема аппроксимации средних значений наблюдаемых величин рассмотрена в наиболее общем виде (для случая абстрактной гамильтоновой алгебры) в 3.5.

Асимптотический метод, применимый к построению приближенных решений многочастичных уравнений Шредингера, Лиувилля и Вигнера, развивается в главе 2. Асимптотические формулы строятся с помощью многочастичного канонического оператора, который вводится в 2.2. Доказательство асимптотических формул производится в 2.7 (см. также 5.3) следующим образом: сначала с помощью формул коммутации многочастичного канонического оператора с другими операторами доказывается, что построенные асимптотики приближенно удовлетворяют многочастичному уравнению, затем оценивается обратный оператор с помощью метода []. Хотя все вычисления проведены для случая, когда коэффициент при потенциале взаимодействия стремится к нулю как1/N, оценку невязки можно провести для произвольного коэффициента, и в каждом конкретном случае оценить, мала погрешность или нет.

В главе 5 рассматривается еще один тип многочастичных уравнений -- уравнение с операторнозначным символом. Эти уравнения возникают при исследовании систем k частиц, взаимодействующих с рассмотренной в главе 3N-частичной системой. Рассматривается случай, когда k остается фиксированным,N стремится к бесконечности, масса каждой из k частиц стремится к нулю как 1/N, внешний потенциал для этих частиц порядка N, потенциал взаимодействия с каждой из N частиц порядка единицы. Данная система не может быть исследована даже методом цепочек ББГКИ.

В 5.3 построены асимптотические решения таких уравнений. При этом оказывается, что уравнением самосогласованного поля является в данном случае не известное уравнение Хартри, а бесконечный набор новых, более сложных уравнений (независимых). Одному решению любого из этих уравнений отвечает серия асимптотических решений многочастичного уравнения с операторнозначным символом. Оказывается также, что для этого типа уравнений свойство хаоса невыполнено даже в слабом смысле.

На первый взгляд, построение приближенных решений многочастичных уравнений и квазиклассическое приближение к уравнениям квантовой механики являются совершенно разными проблемами. Оказывается, однако, что между этими задачами существует весьма интересная связь, которая также рассмотрена в книге.

В обоих случаях существует метод построения асимптотик "в слабом смысле", позволяющий строить аппроксимации лишь для средних значений наблюдаемых величин специального вида. В теории квазиклассического приближения таким методом является подход, основанный на теореме Эренфеста, в теории многих тел -- подход, основанный на цепочке ББГКИ. Эти методы позволяют выразить искомые величины через (точные) решения "классических" уравнений, которые являются "более простыми", чем первоначальные уравнения: в случае квазиклассики это система обыкновенных дифференциальных уравнений (система Гамильтона) вместо уравнения в частных производных, в теории многих частиц это уравнение самосогласованного поля на функцию конечного числа аргументов вместо уравнения на функцию большого числа аргументов.

Однако метод построения асимптотик "в слабом смысле" не позволяет строить аппроксимации для средних значений ограниченных наблюдаемых величин общего вида. Так, в квазиклассической квантовой механике существуют приближенные решения уравнения Шредингера типа "волновых пакетов". С помощью теоремы Эренфеста можно определить, вдоль какой классической траектории двигается этот волновой пакет, но нельзя определить, как изменяется форма этого волнового пакета со временем. Аналогично, в теории многих тел с помощью метода ББГКИ нельзя определить, аппроксимируется ли многочастичная функция произведением одночастичных.

Таким образом, для построения асимптотик "в сильном смысле" необходимы подходы, отличающиеся от теоремы Эренфеста в квазиклассической квантовой механике и от метода ББГКИ в статистической физике. В квантовой механике таким подходом является теория комплексного ростка, которая позволяет определить не только классическую траекторию, вдоль которой движется волновой пакет, но и изменение формы волнового пакета со временем. Для решения последнего вопроса необходимо использовать решения уравнений, отличающихся от классической системы Гамильтона. Аналогом теории комплексного ростка является развиваемый в книге метод построения асимптотик решений многочастичных уравнений, который также позволяет строить аппроксимацию для средних значений наблюдаемых величин общего вида, требуя использования решений уравнений, отличающихся от известных уравнений самосогласованного поля.

Помимо систем, квазиклассических по всем переменным, в квантовой механике рассматриваются также системы, квазиклассические по одним переменным и "квантовые" по другим []. Система Гамильтона для таких систем является "многозначной": каждое из собственных значений операторнозначного символа оператора Гамильтона является функцией Гамильтона. Аналогом таких квантовомеханических систем являются многочастичные системы, рассмотренные в главе 5.

Возникает вопрос, можно ли ввести общие понятия, частными случаями которых являются понятия, возникающие в теории квазиклассических асимптотик и в теории построения приближенных решений многочастичных уравнений. Оказывается, что такое обобщение возможно. Оно рассмотрено в главе 1, см. также [].

Вводится новое понятие абстрактного канонического оператора, частными случаями которого являются канонический оператор, используемый в теории комплексного ростка в точке, и многочастичный канонический оператор, используемый для построения асимптотик решений многочастичных уравнений. Оказывается, что каждому абстрактному каноническому оператору можно однозначно сопоставить фазовое пространство с симплектической структурой. Для теории квазиклассического приближения таким фазовым пространством является2n-мерное вещественное линейное пространство\{(p,q)\mid p,q\in {\Bbb R}^{n} \}с симплектической структуройdp\land dq, для задачи многих тел -- единичная сфера в комплексном гильбертовом пространстве.

Оказывается, что можно установить универсальные тождества на асимптотические решения абстрактных уравнений. Тождества могут быть применены как к асимптотикам, построенным с помощью традиционной теории комплексного ростка в конечномерной квантовой механике, так и к асимптотикам решения многочастичных уравнений, которые получены с помощью нашего метода. Эти тождества установлены в главе 1 монографии. Используя только полученные тождества (и не используя даже эволюционные уравнения движения!), можно получить достаточно широкий класс результатов (в частности, многие известные результаты, относящиеся к традиционной теории квазиклассического приближения, в том числе для задач с операторнозначным символом), а также найти спектр многочастичного гамильтониана, решить вопросы о том, имеет ли место сверхтекучесть, выполняется ли свойство сохранения хаоса в сильном смысле и т.д. В частности, несохранение хаоса оказывается прямым следствием нелинейности уравнения Власова. Отметим, что непосредственная проверка тождеств для уравнений с операторнозначным символом является нетривиальной задачей.

Тождества главы 1 позволяют определить понятие формального асимптотического решения уравнений движения как функции, для которой выполнены тождества. Это определение не использует самих уравнений движения. Поэтому данное понятие можно использовать для развития нового подхода к проблеме асимптотического квантования, которая интенсивно исследуется в последние годы []. Аналогичный подход может быть использован также для построения новой аксиоматики релятивистской квантовой теории поля.

Все результаты книги получены двумя способами: исходя из полученных универсальных тождеств (этот способ описан более подробно) и прямой подстановкой асимптотической формулы в уравнение (описан менее подробно). Поэтому монография не повторяет опубликованные статьи авторов [, --, --51, --, --,,, ], а дополняет их. В частности, в 1.5 мы иллюстрируем теорию абстрактного канонического оператора на примере метода комплексного ростка в теории квазиклассического приближения, а в §2.3--2.6 -- на примере построения формальных асимптотических решений в задаче многих тел.

В главе 4 рассмотрено некоторое обобщение предложенного во второй главе метода, которое применимо и для систем с переменным числом частиц. Асимптотики могут быть эвристически построены следующим образом: можно записать исходные (вторично-квантованные) уравнения через операторы рождения и уничтожения, выбрать для этих операторов такое представление, в котором вторично-квантованное уравнение имело бы вид бесконечномерного обобщения уравнения Шредингера, и применить к преобразованному уравнению теорию лагранжевых (изотропных) многообразий с комплексным ростком []. К сожалению, традиционная трактовка этой теории не очень удобна для обобщения на бесконечномерный случай, поэтому в §4.3--4.4 приведено отличающееся от традиционного изложение метода комплексного ростка на лагранжевом многообразии. Данный подход к теории лагранжевых многообразий с комплексным ростком основан на построении асимптотик, отвечающих изотропным многообразиям, в виде суперпозиций асимптотик типа волновых пакетов. Суперпозиции волновых пакетов, являющихся асимптотическими решениями квантового уравнения, рассматривались ранее в работе [], суперпозиции гауссовских волновых пакетов фиксированной формы -- в работе []. В §4.3--4.4 рассмотрены суперпозиции произвольных волновых пакетов.

Оказывается, что понятие лагранжевого многообразия с комплексным ростком может быть обобщено и на общий случай абстрактного канонического оператора. В 4.5 (см. также []) определяются формальные асимптотические решения уравнений движения, отвечающие лагранжевому многообразию с комплексным ростком.

В 4.7 приводится обобщение теории лагранжевых многообразий с комплексным ростком на бесконечномерный случай. При специальном выборе одномерного изотропного многообразия построенные асимптотики переходят в асимптотики главы 2. Строятся асимптотики в пространстве Фока, отвечающие конечномерным изотропным многообразиям с бесконечномерными комплексными ростками. При специальном выборе одномерного изотропного многообразия построенные асимптотики переходят в асимптотики главы 2. В качестве еще одного примера приложения построенной теории рассмотрена задача двух типов частиц, причем число частиц каждого типа велико. Строятся двумерные инвариантные изотропные многообразия и отвечающие им серии асимптотических собственных значений и собственных функций.

Применяемый к многочастичным уравнениям подход можно назвать бесконечномерным обобщением теории лагранжевых многообразий с комплексным ростком. Отметим, что теория комплексного ростка, которая часто применяется в теории дифференциальных уравнений для функций конечного числа аргументов, была обоснована только в конечномерном случае. В монографии развивается бесконечномерное обобщение теории комплексного ростка.

Еще одним приложением бесконечномерной теории лагранжевых многообразий с комплексным ростком является построение асимптотик в квантовой теории поля. Однако строгое обоснование этих асимптотик натыкается на проблему придания математического смысла самой квантовой теории поля [, --]. Без решения этой проблемы, подходы к которой были разработаны только в частных случаях [], невозможно и думать об обосновании эвристических асимптотических формул, которые также строятся в монографии.

В главе 6 рассматривается квазиклассическая теория поля.

В 6.2 строятся серии асимптотических собственных значений и собственных функций в скалярной теории поля и квантовой электродинамике. В частном случае асимптотические собственные значения переходят в получаемые с помощью известного метода квантования в окрестности солитонов; построены также асимптотические собственные функции.

В 6.3 рассмотрены уравнения, отвечающие системе kчастиц, взаимодействующих с квантованным полем. Показано, что при определенных соотношениях на параметры применима операторнозначная теория комплексного ростка. Построенные асимптотики не могут быть получены с помощью методов типа квантования в окрестности солитонов [, --, ] и теории процессов в сильных внешних полях [].

В квантовой теории поля возникают расходимости. Для их устранения применяется процедура перенормировки. Рассмотрен вопрос о том, как проявляются данные расходимости в главном порядке квазиклассического разложения.

Методы главы 2 могут быть применены также к системам большого числа квантованных полей. В главе 7 (см. также []) для таких систем построены спектральные серии, которые не могут быть найдены с помощью известных асимптотических методов (1/N-разложения, квантования в окрестности солитонов). Проведена процедура перенормировки спектра.

Авторы искренне признательны И.Я.Арефьевой, В.П.Белавкину, В.В.Белову, Е.М.Воробьеву, В.Л.Дубнову, В.В.Кучеренко, В.Е.Назайкинскому, О.Н.Найде, Ю.Б.Орочко, Л.Д.Фаддееву, А.М.Чеботареву, В.М.Четверикову и Д.В.Ширкову, с которыми в разное время обсуждались темы этой книги.

Авторы благодарят также Е.А.Дергачеву, Е.В.Заплетину, О.С.Смирнову и М.В.Чесалову, которые набрали эту книгу в формате.


 Оглавление

Предисловие
Список обозначений
Глава 1. Абстрактный канонический оператор и симплектическая геометрия
 § 1.Введение
 § 2.Абстрактный канонический оператор и индуцированные им геометрические структуры на фазовом пространстве
 § 3.Абстрактный комплексный росток и построение формальных асимптотических решений уравнений движения
 § 4.Асимптотика решения задачи Коши
 § 5.Теория комплексного ростка в точке в конечномерной квантовой механике
  Приложение 1.А. Классическая и квантовая механика: основные определения
  Приложение 1.Б. Некоторые сведения из дифференциальной геометрии
Глава 2. Многочастичный канонический оператор и его свойства
 § 1.Введение
 § 2.Определение многочастичного канонического оператора
 § 3.Геометрические структуры на одночастичном пространстве, индуцированные многочастичным каноническим оператором
 § 4.Канонические и собственные канонические преобразования многообразия ${\fam \tw@ M}$
 § 5.Комплексный росток
 § 6.Формальные асимптотические решения уравнений движения
 § 7.Коммутация канонического оператора с гамильтонианом и основная теорема
  Приложение 2.A. Метод вторичного квантования
  Приложение 2.Б. Некоторые свойства единичной сферы в пространстве $L^2$
  Приложение 2.В. Доказательство существования решений некоторых уравнений
Глава 3. Асимптотические решения задачи многих тел
 § 1.Введение
 § 2.Асимптотические формулы для многочастичной матрицы плотности
 § 3.Асимптотические решения $N$-частичного уравнения Шредингера при $N\to \infty $ и сверхтекучесть
 § 4.Асимптотика решения $N$-частичного уравнения Лиувилля при $N \to \infty $ и нарушение гипотезы хаоса для функции плотности
 § 5.Асимптотические решения уравнения, отвечающего униформизации функционала на абстрактной гамильтоновой алгебре
  Приложение 3.А. Существование решений уравнений Хартри и Риккати
Глава 4. Метод комплексного ростка в пространстве Фока
 § 1.Введение
 § 2.Комплексный росток в точке в пространстве Фока
 § 3.Суперпозиция волновых пакетов в конечномерной квантовой механике
 § 4.Канонический оператор, отвечающий лагранжевому многообразию с комплексным ростком
 § 5.Суперпозиция волновых функций, отвечающих абстрактному каноническому оператору
 § 6.Особенности постановки задачи Коши в случае топологически нетривиального изотропного многообразия
 § 7.Асимптотические формулы в пространстве Фока, отвечающие конечномерным изотропным многообразиям
  Приложение 4.А. Выделение циклической переменной и построение туннельной асимптотики
Глава 5. Асимптотические методы в задачах с операторнозначным символом
 § 1.Задачи с операторнозначным символом в квантовой механике
 § 2.Абстрактный канонический оператор в задачах с операторнозначным символом
 § 3.Уравнения с операторнозначным символом в задаче многих частиц
Глава 6. Квазиклассическая теория поля в гамильтоновом формализме
 § 1.Введение
 § 2.Лагранжевы многообразия с комплексным ростком в квантовой теории поля
 § 3.Уравнения с операторнозначным символом в квантовой теории поля
 § 4.Трудности гамильтоновой теории поля
 § 5.Общая схема перенормировки гамильтоновой теории поля
 § 6.Преобразование Фаддеева и устранение расходимостей Штюкельберга
 § 7.$S$-матрица Боголюбова и ее применение к перенормировке уравнений движения
 § 8.Перенормировка в квазиклассической теории поля
 § 9.Инвариантность условий на комплексный росток
Глава 7. Асимптотические методы для систем большого числа полей
 § 1.Введение
 § 2.$O(N)$-симметричный ангармонический осциллятор как аналог многополевой системы
 § 3.Формализм третичного квантования и квазиклассическое приближение
 § 4.О перенормировке классических уравнений
 § 5.Асимптотический спектр гамильтониана большого числа полей
Заключительные замечания
Список основной литературы
Список дополнительной литературы
Предметный указатель
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце