Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука:
Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Пер. с голл. Изд. 4, стереот.

Оглавление

Предисловие переводчика

Авторов, пишущих об истории науки, можно разделить на четыре группы. К первой относятся люди, хорошо знающие свою науку, но не обладающие достаточными сведениями по истории, ко второй, наоборот, те, которые хорошо знают историю, но не являются специалистами в науке (к этому классу принадлежат почти все историки, которым приходится касаться области науки в своих сочинениях по общей истории). К сожалению, довольно многочисленна группа авторов, не знающих как следует ни истории, ни науки, но совсем мало таких, которые хорошо знают и свою науку и вполне понимают значение исторических условий ее развития. Ван дер Варден как раз принадлежит к последней группе авторов. Советским ученым хорошо знакомы его труды по алгебре; вместе с этим он много занимался и историей математических наук; специалистам известны его работы по истории египетской математики, пифагорейской науки и другие.

Отличительные особенности книги "Пробуждающаяся наука" достаточно хорошо описаны самим автором в его предисловии; о достоинствах книги говорит уже тот факт, что вскоре после своего выхода она была переведена на английский и немецкий языки, а теперь мы предлагаем советским читателям ее русский перевод.

Последний выполнен в основном с голландского текста издания 1950 года, но при этом были учтены исправления и дополнения, сделанные в английском и, наиболее позднем, немецком переводах (наиболее существенные разночтения отмечены в тексте квадратными скобками).

Руководствуясь немецким изданием (1956 г.), мы, тем не менее, сочли возможным сделать от него некоторые отступления. Так, предисловие автора "Несколько слов к читателю" дается нами в том виде, какой оно имеет в голландском и английском изданиях; кроме того, опущена имеющаяся только в немецком переводе легенда о том, как Фалес по длине тени определял высоту пирамиды. Относительно приводимых в книге текстов древних авторов мы придерживаемся следующего принципа: если текст ясен, то совершенно безразлично, переводить ли его с подлинника или с хорошего перевода на другой язык (в английском переводе текст дан в переводах Loeb's Classical Library); если же текст не ясен, то его надо давать в том переводе, в каком его дал сам автор. Поэтому с греческого подлинника переведены лишь эпиграмма Эратосфена (у автора был дан прозаический перевод) и место из "Послесловия к законам" Платона (в статье о пифагорейской теории музыки, где дан и подлинный греческий текст).

Рассматриваемое сочинение ван дер Вардена, как и всякая другая книга, имеет свои недостатки, и по ее адресу можно сделать ряд критических замечаний.

Автор, как известно, не принадлежит к числу марксистски образованных историков, но вносить в его текст какие-либо исправления в процессе перевода, разумеется, недопустимо. Поэтому мы оставили текст книги без всяких изменений по существу, надеясь, что советский читатель не будет искать феодализма в древней Греции и не станет так переоценивать Платона, как это делает наш автор. Не со всеми положениями и гипотезами ван дер Вардена, высказанными в этой книге, можно согласиться; в частности, мы не можем вполне согласиться с утверждением автора о том, что VIII книга "Начал" Евклида принадлежит Архиту Тарентскому, но не собираемся оспаривать эту оригинальную (и притом исторически возможную) теорию. Но, кроме этого, в книге ван дер Вардена имеются некоторые утверждения, согласиться с которыми нельзя, поскольку они являются исторически или неверными, или невозможными. Ряд мелких ошибок такого рода исправлен в подстрочных примечаниях; возражения более серьезные и требующие большего места вынесены в Послесловие. По существу, таких пунктов всего три: это, во-первых, история происхождения нашей системы счисления (глава II), во-вторых, соотношение между математиками ионийцев и пифагорейцев (глава IV) и, в-третьих, вопрос об упадке греческой математики (глава VIII).

Мы сочли целесообразным приложить к настоящему изданию перевод помещенной в журнале "Гермес" статьи ван дер Вардена "Die Harmonielehre der Pythagoreer", на которую он часто ссылается в своей книге; это было тем более существенно, что на русском языке почти нет работ, касающихся греческой теории музыки и ее связи с математикой.

Английский и немецкий переводы снабжены хорошо подобранными иллюстрациями с очень ценными пояснениями, принадлежащими перу голландского археолога Бейена; русское издание удерживает их, поскольку они и сами по себе представляют большой интерес.

Переводчик выражает свою благодарность писателю С.П.Боброву, сверившему первоначальный текст русского перевода с английским, а также приложившему много сил для того, чтобы русский перевод был понятным и доступным для широких масс советских читателей и хорошо обработанным литературно (в частности, С.П.Боброву принадлежат все имеющиеся в книге стихотворные переводы).

Предисловие автора к английскому изданию 1954 года

Скоро после выхода в свет моей книги "Ontwakende Wetenschap" почувствовалась необходимость в английском переводе. Мы были очень рады найти переводчика, хорошо знакомого как с голландским и с английским языками, так и с математической терминологией. Я очень в долгу перед профессором Дрезденом за великолепно выполненную им работу.

У моего издателя Нордгофа появилась блестящая идея попросить X. Г.Бейена, профессора археологии в Гронингенском университете, о помощи в выборе хорошего иллюстративного материала. Это было очень трудным делом. Иллюстрации должны быть одновременно и привлекательными, и поучительными; они должны проиллюстрировать как историю науки, так и общий фон древней цивилизации. Так как издатели все время просили нас находить возможно лучшие иллюстрации, то X. Г.Бейен заказал фотографии почти со всего мира, никогда не теряя ни энергии ни энтузиазма. В высшей степени поучительные подписи г.Бейена помогут читателю найти взаимную связь между бытом, искусством и наукой в древних цивилизациях. Я очень благодарю обоих упомянутых лиц.

Я также обязан благодарностью О.Беккеру, О.Нейгебауэру и другим, которые подсказали мне некоторые добавления и исправили ошибки. В английском издании добавлены разделы об астролябиях, стереографической проекции и об архимедовом построении семиугольника. Были расширены также отделы, касающиеся перспективы и "Анафорика" Гипсикла.

Цюрих, февраль 195 .

Предисловие автора к немецкому изданию 1956 года

Во многих благосклонных рецензиях моей книги "Ontwakende Wetenschap", появившейся сперва в 1950 году на голландском языке, было высказано пожелание о том, чтобы моя книга была также переведена и на немецкий язык. Правильный и удобочитаемый перевод был дан Гельгой Хабихт-ван дер Варден.

Благосклонной критике О.Беккера, О.Нейгебауэра и других внимательных читателей я обязан целым рядом улучшений текста. Добавлены разделы относительно архимедовой конструкции правильного семиугольника, астролябии и стереографической проекции. Расширены разделы, касающиеся перспективы и Гипсиклова "Анафорика", и дополнены литературные указания.

Издательство П.Нордгофа в Гронингене великодушно предоставило в распоряжение издателя немецкого перевода весь очень сильно расширенный иллюстративный материал английского издания с высшей степени поучительными подписями гронингенского археолога X. Г.Бейена. Цюрихское издательство Биркхойзера с готовностью пошло навстречу моим желаниям относительно печати и оформления книги. Я очень благодарю обоих издателей, которые в своей совместной работе сделали возможным появление в свет этого издания.

От автора

Я благодарю гг. д-ра Бринкмана, проф. Фрейденталя и, прежде всего, д-ра Дейкстергейса, которые критически просмотрели эту рукопись и сделали много полезных замечаний. Я благодарю также и многих других, которые помогли мне небольшими замечаниями такого же рода. Я также очень благодарен  г.Вейденсу, который при помощи своего великолепного художника  г.Буше со свойственной ему тщательностью позаботился о рисунках. Я, наконец, благодарю издателя за истинно щедрую манеру, с которой он шел навстречу моим желаниям.

Несколько слов к читателю

Зачем нужна история математики?

Каждый знает, что мы живем в эпоху техники, но очень редко отдает себе отчет о том, что буквально вся наша техника основана на математике и физике.

Когда вечером мы возвращаемся на трамвае домой, зажигаем электрический свет и включаем радио, то все это действует при помощи искусственных физических приспособлений, в основе которых лежат математические расчеты. Более того, в значительной степени мы обязаны физике не только этими приятными предметами роскоши, но даже нашим хлебом насущным; не говоря уже о том, что хлеб у нас главным образом привозной и его везут к нам на пароходах из-за моря, но даже и наше собственное земледелие давало бы значительно меньшие урожаи без искусственных удобрений. А искусственное удобрение – это химический продукт, а химия опирается на физику.

Впрочем, наука приносит нам не только блага. Все уничтожающее оружие, с помощью которого современное человечество разрушает собственную культуру, тоже является одним из продуктов, который неизбежно является плодом развития математики и физики.

Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь и настолько, что мы редко можем представить себе это полностью. Вслед за необычайным взлетом, который пережило в 17-м веке естествознание, последовал неизбежно рационализм 18-го века, обожествление разума, упадок религии. То же самое уже случилось однажды в древней Греции. Подобно этому вслед за триумфами техники 19-го века последовало в 20-м веке обожествление техники. Увы, люди слишком склонны обожествлять все могущественное и ведущее к успеху.

Отсюда ясно, что наука накладывает печать на всю нашу жизнь, материальную и духовную, во всех ее проявлениях как хороших, так и дурных. Наука является важнейшим культурным явлением нашего времени и важнейшей составной частью нашей цивилизации.

Но если это так, то для истории культуры очень важно представить себе, каким образом возникло современное естествознание?

Надо сказать, что в большей части исторических трудов этот вопрос или вовсе не рассматривается, или на него даются совершенно неудовлетворительные ответы. В какой истории греческой культуры можно найти имена Теэтета и Евдокса, двух величайших математиков всех времен? Кто отдает себе отчет в том, что с исторической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой 17-го века?

Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самым значительным и наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени.

Именно Ньютон нашел основные законы движения, которым подчиняются как земные, так и небесные тела. Он увенчал дело обновления древней астрономии, начатое Коперником и Кеплером. Он нашел общий метод решения всех дифференциальных и интегральных задач, которые Архимед, величайший гений древности, решил только особо подобранными методами и для частных случаев.

Однако понять труды Ньютона, не зная античной HayKPi, невозможно. Ньютон ничего не творил из ничего. Без огромных трудов Птолемея, дополнившего и завершившего античную астрономию, была бы невозможна и "Новая Астрономия" Кеплера, а вслед за ней и механика Ньютона. Без конических сечений Аполлония, которые Ньютон знал в совершенстве, точно так же был бы немыслимым и вывод закона тяготения. И интегральное исчисление Ньютона можно понять только как развитие архимедовых методов для определения площадей и объемов. История механики как точной науки начинается только с установления закона рычага, определения направленного вверх давления воды и нахождения центров тяжести у Архимеда. Короче говоря, все сходящиеся к Ньютону линии развития математики, механики и астрономии получили свое начало в Греции.

История греческой математики

От Фалеса до Аполлония прошло четыре века – от 600 до 200 годов до н.э. Еще незадолго до нашего времени первые три из этих веков были покрыты почти полным мраком, так как мы располагали только двумя подлинными текстами, относящимися к этой эпохе, – фрагментом о луночках Гиппократа и фрагментом Архита об удвоении куба. К этому можно добавить еще два кратких фрагмента Архита, несколько разрозненных указаний у Платона, Аристотеля, Паппа, Прокла и Евтокия и, кроме того, ряд противоречащих друг другу пифагоровских легенд. В более старых сочинениях, вроде "Истории математики" Кантора, относительно этого времени мы найдем лишь рассуждения о предметах, которые, в сущности, нам неизвестны, как, например, происхождение "теоремы Пифагора".

Однако за последнее время в эти сумерки начинает проникать много света. Во-первых, благодаря неутомимому усердию Отто Нейгебауэра и его сотрудников мы знаем теперь математические клинописные тексты," которые совершенно по-новому осветили не только теорему Пифагора, но, что еще важнее, древнейшую историю арифметики и алгебры. Следуя по пути Цейтена, Нейгебауэр сумел обнаружить скрытый алгебраический компонент греческой математики и показать ее связь с вавилонской алгеброй. Теперь история алгебры начинается уже не с Диофанта, но двумя тысячами лет раньше, в Месопотамии. А о том, что касается арифметики, Нейгебауэр писал в 1937 году: "То, что в греческом предании называлось пифагорейским, вероятно, вернее называть вавилонским". И действительно, открытый в 1943 году клинописный текст о "пифагорейских числах" полностью доказал справедливость этих слов Нейгебауэра.

Еще один импульс был дан филологическими работами с философским уклоном. Штенцель и Теплиц вместе с Нейгебауэром основали в 1937 году издание "Источников и исследований по истории математики, астрономии и физики" (Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik).

Они ставили себе задачей шире ознакомиться с философией Платона путем тщательного исследования основных понятий греческой математики и совершенно так же, наоборот, исследуя тщательно Платона, ознакомиться ближе с сутью греческой математики. При помощи этого метода Беккер, Рейдемейстер и другие получили в высшей степени ценные результаты. Несколько ранее Ева Сакс вызвала из забвения имя замечательного математика Теэтета.

Очень плодотворным методом оказался анализ "Начал" Евклида. Это произведение, написанное около 300 года до н.э., является, по-видимому, в большей своей части компиляцией различных отрывков математических произведений очень разнообразной значимости и очень разного возраста. Когда эти отрывки были тщательно разобраны, прекрасно обработаны и отнесены к той математико-исторической среде, в которой они первоначально возникли, удалось получить значительно более ясную картину греческой математики от 500 до 300 годов до н.э.

Все эти вещи никогда еще не излагались вместе в одной книге. Правда, имеется прекрасная книга О.Нейгебауэра о "догреческой математике", существуют также замечательные труды об Евклиде, Аристархе, Архимеде и Аполлонии. Таким образом, относительно этих последних мы можем ограничиться наиболее интересным и самым важным; из их произведений мы можем там и сям вытащить лакомый кусочек и постараться приготовить возможно более вкусное угощение. Но основной целью книги является, как можно яснее показать: каким образом Фалес и Пифагор, исходя из вавилонской математики, придали ей совершенно другой, специфически греческий характер;

каким образом в школе пифагорейцев и вне ее математика все больше и больше развивалась, удовлетворяя постоянно все более строгим требованиям логики;

каким образом математика трудами Теэтета и Евдокса, друзей Платона, была приведена к той высшей степени совершенства, красоты и точности, которой мы можем подивиться в "Началах" Евклида.

А затем мы увидим, что математические доказательства были образцами как для диалектики Платона, так и для логики Аристотеля.

Историю математики нельзя отделить от общей истории культуры. Математика является частью духовной жизни, глубоко связанной не только с астрономией и механикой, но также с архитектурой и техникой, с философией и даже с религией (Пифагор).

Политические и общественные условия имеют огромнейшее значение для расцвета и характера науки. Это будет ясно показано в VII главе при сравнении александрийской математики с математикой классической эпохи и еще яснее в VIII главе при изучении причин упадка греческой математики.

Как построена эта книга

Основной целью было сделать книгу научной и вместе с тем понятной. Понятной в том смысле, чтобы каждый учившийся математике в средней школе и интересующийся историей математики мог ее понимать. Научной в том смысле, чтобы она основывалась на самостоятельном изучении источников и для каждого утверждения давала доказательства, так чтобы читатель мог сам судить о значимости аргументации.

Наивный читатель, может быть, подумает, что все это и так само собой разумеется. Но как раз против этого-то и грешили. Сколько утверждений в книгах по истории математики списывалось из других подобных же книг без всякой критики и без изучения источников! Сколько находится в обращении побасенок, которые считаются "общепризнанными истинами"!

Один пример. В девяноста процентах всех таких книжечек можно найти сообщение, что египтяне знали прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 и употребляли его для построения прямых углов. Какую цену имеет это указание? Ровно никакой. На чем оно основано? На двух фактах и одном рассуждении Кантора. Факты таковы: в церемонии при основании египетских храмов участвовали "гарпедонапты", и углы при основании храмов и пирамид большей частью являются действительно прямыми. Кантор на основании этого рассуждает так: прямые углы должны были быть построены гарпедонаптами, а я (Кантор) не могу представить себе никакого другого способа получения прямого угла при помощи натянутых веревок, кроме как посредством трех веревок длиной в 3, 4 и 5, которые образуют треугольник. Отсюда следует, что египтяне должны были знать этот треугольник.

Ведь это почти невероятно. Не то, что Кантор обнародовал однажды такую гипотезу, а то, что после многих переписываний из книги в книгу гипотеза эта сделалась "общепризнанным фактом ". И, однако, это было именно так!

Для того чтобы избежать подобных ошибок, я неуклонно проверял все утверждения, которые я встречал у современных авторов. Это не так трудно, как кажется, даже если человек (как я) не знает египетского языка, не может читать клинописных текстов и не является филологом-классиком. Почти для всех текстов можно найти надежные переводы. Так, все математические клинописные тексты были переведены и изданы Нейгебауэром. Все египетские математические тексты переведены на английский или немецкий языки. Платон, Евклид, Архимед... – все они прекрасно переведены на французский, немецкий и английский языки. Только в отдельных, сомнительных случаях надо было привлекать греческий подлинник. Вместе с тем читать классиков в полном их тексте (хотя бы и в переводе) гораздо более поучительно, нежели читать их в современных изложениях, да к тому же это и гораздо приятнее. Если моя книга сможет внушить эту мысль читателю, то моя цель будет достигнута. Поэтому я настоятельно рекомендую моим читателям: не верьте моим словам, но обо всем рассуждайте сами.

Я старался вообразить себе великих математиков, как живых среди живых людей, и воссоздать впечатление, которое они производили на современников. Из-за скудости источников это не всюду удалось, но, однако, такие выдающиеся личности, как Пифагор, Архит, Теэтет и Архимед, можно было показать в очень ясном свете. Можно, пожалуй, составить себе известное представление о Фалесе, Евдоксе и Эратосфене. Что же касается египетских и вавилонских математиков, то мы не знаем даже их имен.

Об авторе

Варден Бартел Лендерт ван дер

Известный голландский математик. Профессор университетов в Гронингене (1928–1931), Лейпциге (1931–1945), Амстердаме (1948–1951) и Цюрихе (с 1951 г.). Основные работы относятся к алгебре и алгебраической геометрии. Его книга «Современная алгебра» (1930–1931; русский перевод — 1934–1937) завершила период создания современной «общей» алгебры. Также работал в области математического анализа, теории чисел, комбинаторики, теории вероятностей, квантовой механики. Кроме того, ван дер Варден много занимался вопросами истории точных наук, проблемами развития математики и астрономии в странах Древнего мира.