Израилович М.Я., Обухов А.Н. Параметрическое управление автоколебаниями

Оглавление

Введение

Параметрическим колебаниям посвящена обширная литература, включая как отечественную, так и зарубежную [1], [2], [3], [4].

Это обусловлено тем, что они играют весьма важную роль в самых различных технических дисциплинах – от радиотехники и теории авторезонансных вибромашин до динамики сооружений и конструкций, динамики летательных аппаратов, теории активных виброзащитных систем, и т.д.

В одних случаях параметрические колебания, обусловленные периодическим изменением какого-либо из параметров системы, представляют собой весьма нежелательное явление, вызывающее, даже при малом уровне интенсивности, сильные вибрации механизма, прибора, либо конструкции, что иногда может привести к их отказам либо даже разрушениям [6].

В других случаях параметрические возбуждающие воздействия используются для резонансного возбуждения колебаний для генерации электромагнитных волн [1], для возбуждения резонансных автоколебаний в вибрационных машинах [7].

Вместе с тем, параметрические воздействия, как программные [5], [8], [9], так и с обратной связью, используются для гашения нежелательных колебаний, включая как вынужденные [10], [11], [12], так и автоколебания [13].

Следует отметить, что во всех этих случаях речь идет о периодических режимах динамических систем. Поскольку рассматриваемые динамические системы являются нелинейными, а для анализа периодических режимов таких систем существуют эффективные процедуры, в том числе асимптотические методы [14], метод эквивалентной (гармонической) линеаризации [15] и другие, то наиболее эффективным путем решения задач определения управляющих параметрических воздействий являются процедуры, основанные на сочетании такого рода приближенных методов анализа с методами теории оптимального управления. Арсенал методов теории оптимального управления к настоящему времени уже широко разработан и весьма обширен.

Процедуры синтеза оптимальных управляющих воздействий в сочетании с приближенными методами нелинейной механики разрабатываются в последние несколько десятилетий. Одной из первых публикаций в этом направлении является статья Н.Е. Колосова и Р.Л. Стратоновича [16]. В этой статье, однако, рассматривается не задача управления периодическим режимом, а задача оптимального выхода на стационарную автоколебательную траекторию.

Один из вариантов методов решения задач управления периодическими режимами на основе сочетания асимптотического метода и методов теории оптимального управления изложены в монографии [17].

Задачи управления периодическими режимами рассматривались в ряде работ как отечественных так и зарубежных авторов [18-27].

Задачи управляемого возбуждения, а также гашения автоколебаний с использованием параметрических воздействий на основе сочетания асимптотического метода либо метода гармонической линеаризации и одного из методов теории оптимального управления – метода моментов [28], [29] – рассматривались в работах [30-34]. Существенная особенность задач управления периодическими режимами связана с тем обстоятельством, что в нелинейных системах имеет место множественность периодических режимов. В силу этого при введении в систему, уже содержащую заданную (пассивную) нелинейность, дополнительной нелинейности (а это всегда имеет место при введении параметрического управления с обратной связью) расчетный оптимальный режим может оказаться как неединственным, так и неустойчивым. При этом как в случае его устойчивости, так и неустойчивости, возможно существование других устойчивых режимов. В результате введение управляющего воздействия может привести к нереализуемости расчетного режима или даже дать негативный эффект: например, привести к повышению интенсивности нежелательных автоколебаний вместо ее снижения. При этом неустойчивость расчетного режима может иметь место и при отсутствии в системе пассивной нелинейности.

Для избежания такого рода нежелательных эффектов, стабилизации расчетного режима и устранения (либо дестабилизации) других режимов в случае аддитивного управляющего воздействия был предложен принцип построения расширенного (мультипликативно-стабилизирующего) управления [35]. Его суть заключается в том, что первоначально определенный закон оптимального (либо квазиоптимального) управления вводится сомножитель, зависящий от рассогласования текущего значения амплитуды, определяемой через фазовые координаты системы, и расчетного оптимального (квазиоптимального) значения амплитуды. Структура этого сомножителя такова, что при совпадении значений этих амплитуд он обращается в единицу, а при их расхождении он принимает значения, тем большие, чем большевеличина расхождения между значениями амплитуд. Таким образом расчетному режиму придаются свойства искусственного аттрактора со сколь угодно большой степенью притяжения.

Для случая параметрических управляющих воздействий этот принцип был обобщен в работах [36], [37].

Другой принцип обеспечения устойчивости и единственности расчетного режима и устранения (либо дестабилизации) других режимов был предложен в работе [38]. Его суть заключается в том, что в систему вводится демпфирующее воздействие, пропорциональное скорости движения. Однако, в отличие от обычного линейного демпфера коэффициент пропорциональности этого демпфирующего воздействия, также как и в случае мультипликативно-стабилизирующего воздействия, зависит от рассогласования текущей амплитуды колебаний и амплитуды колебаний расчетного режима. При совпадении значений обеих амплитуд коэффициент обращается в ноль, а при их рассогласовании он монотонно возрастает в функции величины этого рассогласования. Введение такого воздействия – аддитивного стабилизатора – позволяет обеспечивать устойчивость нужного режима и устранение (либо дестабилизацию) других режимов. При этом введение аддитивного стабилизатора возможно как в случае систем заданной структуры, либо пассивных систем, так и равным образом в случаях систем с синтезируемыми аддитивными или параметрическими управляющими воздействиями.

Помимо стабилизации (в случае его неустойчивости) расчетного оптимального или квазиоптимального режима и дестабилизации или устранения других режимов введение мультипликативно-стабилизирующего управляющего воздействия либо аддитивного стабилизатора позволяет обеспечить сколь угодно быстрое установление требуемого периодического режима.

Значительный интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения могут представлять системы с двумя источниками возбуждения колебаний – параметрическим и аддитивным. В силу существенно нелинейного взаимодействия этих двух источников такая схема возбуждения автоколебаний (либо подавление нежелательных автоколебаний) оказывается более эффективной, чем традиционно применяемые схемы с одним управляющим воздействием – параметрическим или аддитивным. Наиболее обоснованное направление построения таких систем состоит в согласованном синтезе обоих управляющих воздействий. В случае систем с линейной пассивной частью решение задачи о возбуждении автоколебаний в соответствии с такой схемой приведено в [39].

Задачи возбуждения автоколебаний при учете заданных нелинейностей при использовании двух управляющих воздействий рассматривались в работах [40-41], а задача гашения в работе [46].

Следует отметить, что в многочисленных работах по анализу параметрических колебаний всегда, в том числе в монографиях [1-3], [14], исследуются системы, содержащие заданную нелинейность. Это обусловлено тем, что существование устойчивых периодических режимов при параметрическом возбуждении возможно только при наличии нелинейности.

Однако, при введении в систему искусственной нелинейности – параметрического управляющего воздействия со стабилизирующим сомножителем – мультипликативным стабилизатором [36], [37], либо аддитивного стабилизатора [38] даже при отсутствии априорно заданной пассивной нелинейности оказывается возможным получить устойчивый автоколебательный режим. На примере системы с простейшим непрерывным параметрическим законом возбуждения с обратной связью, который представляет собой произведение координаты и скорости, это показано в работе [42]. Такой закон является квазиоптимальным в гармоническом приближении в том случае, когда задаваемая частота автоколебаний совпадает с ее собственной частотой (без учета поправки на линейное демпфирование). В том случае, когда необходимо обеспечить частоту автоколебаний, несколько отличающуюся от собственной частоты системы, закон параметрического возбуждения имеет более сложную структуру [43]. При ограничении на амплитуду параметрического возбуждающего воздействия соответствующий закон имеет релейный характер с функцией переключения, зависящей от координаты и скорости [44]. В том случае, когда частота автоколебаний совпадает с собственной частотой системы, такой закон вырождается в простейший релейный закон, функция переключения которого является произведением координаты и скорости. Следует отметить, что такой закон изменения переменной составляющей жесткости для возбуждения автоколебаний использовался ранее в работе М.Е. Герца [7]. При использовании этих законов параметрического возбуждения, также как и в случае простейшего непрерывного закона [42], в системах с линейной неизменяемой частью с помощью указанных выше принципов оказывается возможным осуществление единственного устойчивого периодического режима с максимальной амплитудой и заданной частотой (при условии ее близости к собственной частоте.

Следует отметить, что параметрическая обратная связь уже сравнительно давно используется в некоторых системах автоматического регулирования. Этому классу задач посвящена монография [50]. Однако, изложенный в ней круг вопросов существенно отличается от рассматриваемых в настоящей монографии. Он касается использования элементов систем с параметрической обратной связью в качестве корректирующих устройств, то есть средств повышения качества переходных процессов, а также повышения точности систем регулирования. Целью же задач, излагаемых в настоящей монографии, является управление периодическими режимами.

В монографии содержится систематическое изложение задач синтеза и последующего анализа систем с параметрическими законами управления автоколебаниями. В первой главе излагаются общие процедуры синтеза квазиоптимальных законов параметрического управления при наличии в системе произвольной нелинейности симметричного типа (без постоянной составляющей), а также стабилизации и устранения неоднозначности режимов.

Во второй главе рассматриваются задачи параметрической генерации автоколебаний и стабилизации режимов автоколебаний в системах с линейной пассивной частью, то есть при отсутствии заданных нелинейностей. Излагается также решение задачи согласованного синтеза параметрического и силового возбуждающих воздействий.

В третьей главе решаются задачи для системы с нелинейными упругими характеристиками.

В четвертой главе рассматриваются системы с нелинейными демпфирующими характеристиками различных типов.

В пятой главе рассматриваются задачи параметрического управления автоколебаниями при наличии в системе источника автоколебаний заданной структуры. При этом параметрическое управление может вводиться в систему как с целью дополнительной интенсификации автоколебаний, так и с целью снижения их уровня в том случае, когда они являются нежелательными. Это имеет место, в частности, для многих узлов машин и механизмов при возникновении фрикционных автоколебаний [48]. В последнем разделе этой главы излагается также решение задачи синтеза одновременно двух управляющих воздействий – параметрического и силового.

В шестой главе рассматриваются задачи параметрического возбуждения автоколебаний в случае несимметричных режимов. При этом несимметричность, то есть наличие постоянной либо медленно меняющейся составляющей, может быть обусловлено как наличием нелинейности несимметричного типа, так и действием внешней нагрузки.

Во второй-шестой главах анализируются системы с простейшим непрерывным законом параметрического управления [42], о котором уже упоминалось выше. Это обусловлено тем, что такой закон является наиболее доступным с точки зрения его технической реализуемости, и вместе с тем он позволяет обеспечить как эффективную генерацию автоколебаний высокой интенсивности, так и гашение нежелательных автоколебаний.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что решение задач о параметрической генерации колебаний максимальной интенсивности имеет двойственное значение. Помимо основной цели синтеза систем генерации автоколебаний их решение позволяет оценить максимально достижимый уровень интенсивности колебаний при действии временного параметрического возмущения в условиях неполной информации о его структуре: например, когда известны только частота и амплитудное значение параметрического воздействия, или его интегральное квадратичное значение, либо величина его импульса. Возможность расчета таких оценок вытекает из самой процедуры построения квазиоптимальных законов параметрического управления. Эта про- цедура заключается в первоначальном определении параметриче- ского управления как функции времени (полной фазы колебаний) в установившемся периодическом режиме, а уже затем определяется соответствующий параметрический закон с обратной связью. В силу этого при решении задач параметрического управления попутно решаются практически не менее значимый класс задач – о накоплении периодических параметрических возмущений.

Монография, в силу специфики основного направления работы авторов, написана в основном в терминах механики. Это, однако, отнюдь не исключает возможности ее использования специалистами других отраслей знаний – в области радиотехники, электротехники, электроники, систем автоматического управления и других научно-технических сферах, связанных с расчетом и проектированием колебательных систем различного назначения.

Монография предназначена для научных и инженерно-технических работников, занятых в упомянутых выше областях знаний. Она может быть также полезна аспирантам соответствующих специальностей и студентам.

Об авторах

Доктор технических наук, главный научный сотрудник ИМАШ РАН (2003), профессор кафедры физики МИРЭА (ГТУ). Специалист в области математического моделирования и управления сложными системами, прикладной теории колебаний, управления колебательными системами, управления динамическими системами. Автор около 170 публикаций, из которых около половины в изданиях АН СССР – РАН. Изобретатель СССР (1986), автор 30 изобретений.

Анатолий Николаевич ОБУХОВ (род. в 1981 г.)

Кандидат технических наук (2008), научный сотрудник ИМАШ РАН. Специалист в области динамики машин, прикладной теории колебаний и численных методов анализа.